扬州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份扬州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共33页。试卷主要包含了考试时间，在平面直角坐标系中，点一定在，如图，已知在中，，，，分解因式等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的相反数是（ ）
A．-2025B．-2024C．2024D．2025
2．下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．明天买彩票中奖
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一组数据，，，，的平均数是，那么这组数据的中位数是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．由五个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A．B．C．D．
7．根据物理学知识，作用于物体上的压力F（N）所产生的压强p（）与物体受力面积S（）三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于S的说法正确的是（ ）
A．S小于B．S大于C．S小于D．S大于
8．如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．“九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为．
10．分解因式：．
11．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为．（精确到0.01）
12．函数中，自变量的取值范围是．
13．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为米．（结果保留）
14．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为．
15．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是．
16．我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中，勾股定理的证明是将个边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图所示的五边形．若，，则空白部分的面积是．
17．如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以为边作菱形．与交于点M．若双曲线恰好经过C，M两点．则k的值为．
18．如图，在中，，，，是边上的一点，作点关于的对称点，连接，分别交于点，，若，则的值为．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：；（2）化简：．
20．（8分）求满足不等式组的负整数解．
21．（8分）3月27日，是“全国中小学生安全教育日”．学生安全，关系到千千万万家庭的幸福与社会的稳定．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了150名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（，，，，），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中，这150名学生的测试成绩的中位数落在组；
（2）求这150名学生的平均测试成绩；
（3）若该校有3000名学生，规定成绩80分以上（含80分）的学生成为“安全明星”，估计该校学生能成为“安全明星”的共有多少人？
22．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率．
23．（10分）七年级某班开展劳动教育实践活动，植树节当日第一小组分配到的是植树任务，以下是该小组两位同学的对话，请根据对话内容就第一小组有多少人或第一小组准备种多少棵树，选择一个问题用一元一次方程进行解答．
24．（10分）如图，点A在的边上，于于于C．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
25．（10分）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）如图，已知，．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图；
①在上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点（保留作图痕迹，标注相应的字母）；
②若交于D，求作上一点E，使E为劣弧的中点．（写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）
（2）在（1）的条件下，连接交于点F，若，，则__________．
27．（12分）（1）观察猜想：如图1，已知、、三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，，将矩形绕点旋转任意角度，连接、，是中点，若，求点运动的路径长．
28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A，B，C，D；
（2）如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．
①用含t的代数式表示f；
②请直接写出f的最大值为：．累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝下次数
22
46
94
143
236
473
944
1413
2350
盖面朝下频率
0.440
0.460
0.470
0.477
0.472
0.473
0.472
0.471
0.470
组别
分数段（成绩为x分）
频数
组内学生成绩总分（分）
A
3
165
B
12
780
C
45
3420
D
m
5100
E
30
2850
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的相反数是（ ）
A．-2025B．C．2024D．2025
【答案】D
【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数定义是解题关键．首先根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：-2025的相反数是2025．故选：D．
2．下列事件属于不可能事件的是（ ）
A．明天买彩票中奖
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下
【答案】B
【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件和随机事件的定义．在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件，由此逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A．明天买彩票中奖，是随机事件，故A不符合题意；
B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合题意；
C．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C不符合题意；
D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下，是必然事件，故D不符合题意．
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项等知识．根据运算法则计算后即得到答案．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意；
故选：D
4．已知一组数据，，，，的平均数是，那么这组数据的中位数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了中位数和平均数，根据平均数先求出的值，再由中位数的概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：∵，
∴，
则这组数据由小到大排列为，，，，，
∴中位数为，
故选：．
5．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点所在象限，
判断出点的横，纵坐标的符号，再根据各象限的符号特征即可求解．
【详解】解：∵，
∴点在第二象限.
故选：．
6．由五个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从上面看该图形有3列，每列小正方形的个数从左往右为2，1，1，由此即可得出答案，考查了空间想象能力．
【详解】
解：由题意，从上面看该几何体的形状图是：，
故选：D．
7．根据物理学知识，作用于物体上的压力F（N）所产生的压强p（）与物体受力面积S（）三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于S的说法正确的是（ ）
A．S小于B．S大于C．S小于D．S大于
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．由题意得，，令，可得，由反比例的性质可知函数在第一象限内随的增大而减小，故当时，则有，即可得出结论．
【详解】解：当时，压强p与物体受力面积S的关系为，
令，则，
解得：，
，
函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，则有．
若压力为时，压强要大于，此时S小于．
故选：A．
8．如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键；
根据题意作出图形，连接，，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，根据，直角三角形的性质求出，进而求出的取值范围；
【详解】解：连接，，过点作于，
在中，，
，
在中，，
，
；
点是边的中点，
，
点是边上的动点，
当点与点重合时，有最大值，
，
当点与点重合时，有最小值，
；
故选：A
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．“九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据0.000001用科学记数法表示为；
故答案为：．
10．分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】首先，观察式子可以发现，每一项都有公因式3，先提取公因式 3 ，
得到：．
然后，括号内的式子可以利用平方差公式，
，
原式分解因式的结果为．
故答案为：．
11．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为．（精确到0.01）
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握频率估计概率的知识是解答本题的关键，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近，
故答案为：．
12．函数中，自变量的取值范围是．
【答案】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件的二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
13．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为米．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了求弧长，锐角三角函数值的求法，旋转的性质，求出圆心角的度数是解答关键．
过点作于点，得出的长度，根据得到，最后根据弧长公式即可解答．
【详解】解：过点作于点，
∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，
当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，
∴．
∵，
∴
，
∴，
∴秋千底部所经过的路径长．
故答案为：．
14．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理；过作交于，由作图痕迹得平分，角平分线的性质定理得，即可求解；理解角平分线的尺规作图作法，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：过作交于，
由作图痕迹得：平分，
，
，
．
故答案为：．
15．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，则不等式的解集是．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是利用函数图象求不等式的解集．
从图象上找到在上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵直线与直线交点的横坐标是4，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
16．我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中，勾股定理的证明是将个边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图所示的五边形．若，，则空白部分的面积是．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由空白部分的面积等于正方形的面积减去个直角三角形面积即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四个直角三角形全等，
∴，，
∵，
∴为正方形，
∴空白部分的面积为：
，
故答案为：．
17．如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以为边作菱形．与交于点M．若双曲线恰好经过C，M两点．则k的值为．
【答案】/
【分析】先求出，，然后根据菱形的性质得出，，设点，则，根据点M在双曲线上，得出，求出，得出，根据，得出，求出k的值即可．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴M为的中点，
设点，则，
∵点M在双曲线上，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，中点坐标公式，两点间距离公式，熟练掌握中点坐标公式和两点间距离公式，是解题的关键．
18．如图，在中，，，，是边上的一点，作点关于的对称点，连接，分别交于点，，若，则的值为
【答案】3
【分析】由轴对称的性质可得，进而得到，即；再根据勾股定理以及正切的定义可得，，进而得到；再结合已知条件可得，设，则，先证明，根据相似三角形的性质列比例式可求得，进而求得；如图：过作于，则四边形是矩形，可得，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：∵点关于的对称点，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，解得：，
如图：过作于，
则四边形是矩形，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了正切的定义，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的混合运算，
（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式及特殊角的三角函数，然后计算加减即可；
（2）先计算分式的除法，然后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20．（8分）求满足不等式组的负整数解．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式，得：
解不等式，得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的负整数解是．
21．（8分）3月27日，是“全国中小学生安全教育日”．学生安全，关系到千千万万家庭的幸福与社会的稳定．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了150名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（，，，，），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中，这150名学生的测试成绩的中位数落在组；
（2）求这150名学生的平均测试成绩；
（3）若该校有3000名学生，规定成绩80分以上（含80分）的学生成为“安全明星”，估计该校学生能成为“安全明星”的共有多少人？
【答案】（1）60；D
（2）82.1分
（3）1800人
【分析】本题考查数据统计和分析，解题关键是求出未知频数，熟练掌握中位数、平均数的计算方法，用样本频率估计总体数量．
（1）用总数减去组别中已知的频数求出的值，即可补全直方图，确定中位数所在位置；
（2）求和各组总成绩再除以学生数即可；
（3）用样本数频率估计总体数量．
【详解】（1）解：由题意得：，
补全频数分布图如图所示：
学生测试成绩的中位数落在D组（或）．
故答案为：60，D；
（2）（分）．
答：这150名学生的平均测试成绩为82.1分．
（3）（人）．
答：估计该校学生能成为“安全明星”的共有1800人．
22．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______；
（2）先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率．
【答案】（1）
（2）摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为；
（2）解：列表如下：
由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种
其中取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果有2种，即（凉，平）；（平，凉），
摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．
23．（10分）七年级某班开展劳动教育实践活动，植树节当日第一小组分配到的是植树任务，以下是该小组两位同学的对话，请根据对话内容就第一小组有多少人或第一小组准备种多少棵树，选择一个问题用一元一次方程进行解答．
【答案】问题1：第一小组有8人；问题2：第一小组准备种104棵树
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意和问题，正确设未知数并列式求解即可．
【详解】解：问题1：第一小组有多少人？
设：第一小组有人，
由题意得：，
解得：，
答：第一小组有8人；
问题2：第一小组准备种多少棵树？
设：第一小组准备种棵树，
由题意得：，
解得：，
答：第一小组准备种104棵树．
24．（10分）如图，点A在的边上，于于于C．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解
（2）5
【分析】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．注意利用勾股定理求线段的长是关键．
（1）根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：于，于，
．
在与中，
∴，
．
．
又，，
．
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知，
，
设，则，．
在中，由得：，
解得．
．
25．（10分）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【分析】（1）连接，由，证明即可；
（2）连接，根据已知求出，从而可得和，即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
∴直线是的切线；
（2）连接，如图：
，
，
，
，
，
∵的半径为2，
，
【点睛】本题考查圆的综合题，考查切线判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．
26．（10分）如图，已知，．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图；
①在上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点（保留作图痕迹，标注相应的字母）；
②若交于D，求作上一点E，使E为劣弧的中点．（写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）
（2）在（1）的条件下，连接交于点F，若，，则__________．
【答案】（1）①见解析②图见解析
（2）
【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的尺规作图方法．
（1）①作的垂直平分线交于O，以O为圆心，为半径作，点O，即为所求；
②过O作的垂线交劣弧于E，点E即为所求；
（2）连接，证明，可得，，由勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：①作的垂直平分线交于O，以O为圆心，为半径作，如图：
点即为所求；
②过O作的垂线交劣弧于E，如图，则点E即为所求；
（2）（2）连接，如图，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
27．（12分）（1）观察猜想：如图1，已知、、三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，，将矩形绕点旋转任意角度，连接、，是中点，若，求点运动的路径长．
【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质即可判定；
（2）延长至点M，使，延长交于N，证明，得出，，利用平角定义和三角形内角和定理可证出，证明，得出，，
结合，可得出，结合，可得出，进而得出，即可得出结论；
（3）延长至点M，使，取中点O，连接，同（2）证明，，，证明，得出，求出，利用三角形中位线定理求出，则判断出点H在以O为圆心，2为半径的圆上运动，即可解答．
【详解】解：（1）∵正方形和正方形，、、三点共线，
∴，，，
∴，，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2），
理由：延长至点M，使，延长交于N，
∵是中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，延长至点M，使，取中点O，连接，
∵是中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵矩形，矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵O为中点，，
∴，
∴点H在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∴点运动的路径长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，明确题意，倍长中线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．
28．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A，B，C，D；
（2）如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．
①用含t的代数式表示f；
②请直接写出f的最大值为：．
【答案】（1），，，
（2）
（3）①；②
【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求出点，，利用，即可求，解，故点、的坐标分别为、，，代入抛物线即可作答；
（3）①证明，故，则，即可求解；
②，即可求解．
【详解】（1）当时，抛物线的表达式为：，
令，则或；当时，，函数的对称轴为，
故点、、、的坐标分别为、、、；
故答案为：、、、；
（2），令，则，则点，
函数的对称轴为，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，故点，，
则，
，
解得：，
故点、的坐标分别为、，，
抛物线的表达式为：，
（3）①如图，作与的延长线交于点，
由（2）知，抛物线的表达式为：，
故点、的坐标分别为、，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
设点，则点；
则，
由点，、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，故，
，轴，
故，，
，故，
则，
；
②；
当时，．
故答案为：累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝下次数
22
46
94
143
236
473
944
1413
2350
盖面朝下频率
0.440
0.460
0.470
0.477
0.472
0.473
0.472
0.471
0.470
组别
分数段（成绩为x分）
频数
组内学生成绩总分（分）
A
3
165
B
12
780
C
45
3420
D
m
5100
E
30
2850
魅
力
平
凉
魅
（力，魅）
（平，魅）
（凉，魅）
力
（魅，力）
（平，力）
（凉，力）
平
（魅，平）
（力，平）
（凉，平）
凉
（魅，凉）
（力，凉）
（平，凉）