宿迁卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份宿迁卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共33页。试卷主要包含了考试时间，分解因式等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的绝对值是（ ）
A．-2025B．2025C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．根据文化旅游部公布数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游765000000人次，将765000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数之和为，则的值为（ ）
A．5B．7C．D．
6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（ ）
A．8B．16C．D．12
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．．
10．分解因式：．
11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为．
12．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是．
13．表示不超过a的最大整数，则的值为．
14．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了．
15．如图，边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为1,0，则点B的坐标是．
16．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则．
17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则．
18．如图，在射线上依次取点、，使，，分别以、为边在射线上下两侧作等边与等边，为上一点，，现将线段沿射线平移，得到，连，，则
（1）当时，的长为．
（2）线段的平移过程中，最小值为．

三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a为绝对值小于或等于 2的整数．
21．（8分）已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：．
22．（8分）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，______；
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______；
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数．
23．（10分）春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别．
（1）王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是；
（2）用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率．
24．（10分）如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，）
25．（10分）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求线段的长及阴影部分的面积．
26．（10分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
27．（12分）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．

【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由．
【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．

【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______．
28．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
（3）如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值．
最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表
最喜爱的奥运会项目
人数
篮球
20
羽毛球
9
自行车
10
游泳
a
其他
b
合计
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的绝对值是（ ）
A．-2025B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：-2025的绝对值是2025，故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则，幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，而不是，所以 A 选项错误．
B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，而不是，所以 B 选项错误．
C．根据幂的乘方，，而不是，所以 C 选项错误．
D．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，， D 选项正确．
故选D．
3．根据文化旅游部公布数据显示，2024年国庆节假期，全国国内出游765000000人次，将765000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选A．
4．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
故选：A
5．如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数之和为，则的值为（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，结合纸盒中相对两个面上的数之和为，分别求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
故选：D．
6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x，金价为y钱，下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为x，金价为y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于的x二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意：
，
故选：C．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：．
8．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（ ）
A．8B．16C．D．12
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，，根据正方形的性质求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入反比例函数的解析式可求出，由此即可得．
【详解】解：设点的坐标为，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，，
∵为的中点，
∴，
将点代入反比例函数得：，
整理得：，
∴，
∴正方形的面积是，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质．根据二次根式性质进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
10．分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11．等腰三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长为．
【答案】4或7
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，理解并掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，分类讨论：当腰长是4时，三边长分别为4，4，7；当腰长是7时，三边长分别为4，7，7；再根据三角形三边数量关系判定是否符合题意即可．
【详解】解：当腰长是4时，三边长分别为4，4，7，
∵，符合题意，
∴第三边长为4；
当腰长是7时，三边长分别为4，7，7，
∵，符合题意，
∴第三边长为7；
综上所述，第三边长为4或7，
故答案为：4或7 ．
12．已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是．
【答案】或/8或3
【分析】此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程．根据这组数据的中位数和平均数相等，分和两种情况列方程求解即可．
【详解】解：这组数据的中位数和平均数相等，
当时，，
解得：．
当时，，
解得：．
故答案为：或．
13．表示不超过a的最大整数，则的值为．
【答案】1
【分析】本题考查了求不等式的整数解，根据题意可得=1，即可求解．
【详解】解：∵表示不超过a的最大整数，
∴的值为，
故答案为：
14．某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了．
【答案】
【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可．
【详解】解：．
故答案为：．
15．如图，边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为1,0，则点B的坐标是．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，连接，过点作，根据正六边形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出的长，即可得出结果．
【详解】解：连接，过点作，
∵正六边形的边长为2，点A的坐标为1,0，
∴，
∴，
∴，即：轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16．已知关于x，y的方程组与有相同的解，则．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键。
依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解，
∴，解得：，
把分别代入与
得：，解得：；
故答案为：．
17．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，．若，则．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，平方的非负性，根据题意正确列式是解题关键．根据题意，先用含有a、b的代数式分别表示 、，再根据，得到，然后利用平方的非负性求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
18．如图，在射线上依次取点、，使，，分别以、为边在射线上下两侧作等边与等边，为上一点，，现将线段沿射线平移，得到，连，，则
（1）当时，的长为．
（2）线段的平移过程中，最小值为．

【答案】
【分析】（1）根据是等边三角形，，，，可得，是等腰三角形，从而可得是直角三角形，利用勾股定理可得的长；
（2）连接，作交于点，可得四边形和四边形是平行四边形，通过边的转化，可得，即即当D、、G三点共线，时，的值最小，由证得，可得，在中，利用勾股定理求出的长度，即最小值．
【详解】解：（1），，，
，
是等腰三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
即是直角三角形，
，，
（2）连接，作交于点，
线段沿射线平移，得到，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
要使有最小值，即当D、、G三点共线，时，的值最小，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
即线段的平移过程中，最小值为
【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，掌握平移的性质和等边三角形的性质时解决本题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了化简绝对值、负整数指数幂运算、二次根式化简、特殊角度三角函数、二次根式加减运算的知识，掌握以上基础运算的法则是解本题的关键．先计算负整数指数幂、化简绝对值，再化简二次根式，从而完成求解．
【详解】
．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a为绝对值小于或等于 2的整数．
【答案】，时，原式=
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，再计算减法得到最终化简结果，最后根据分式有意义的条件确定a的值并代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且且，
∵a为绝对值小于或等于 2的整数，
∴，
∴原式．
21．（8分）已知，如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，，与相交于点O．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形性质和判定，结合平行四边形性质题意证明四边形为平行四边形，进而即可证明．
【详解】证明：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
与相交于点O，
.
22．（8分）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，______；
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______；
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数．
【答案】（1）50，11
（2）
（3）480人
【分析】本题主要考查了扇形统计图的有关计算，用样本估计总体，准确分析是解题的关键．
（1）用“羽毛球”的人数除以所占百分比即可得出结果；用总人数减去其他三项的人数即可得到结果；
（2）先算出“自行车”的占比，再乘以即可；
（3）用总人数乘以“篮球”占比即可；
【详解】（1）解：，，
故答案为：50，11；
（2）解：项目为“自行车”占，
∴“自行车”对应的扇形的圆心角为：，
故答案为：；
（3）解：该校1200名学生中，估计最喜爱的省运会项目是“篮球”的学生人数为：（人）．
23．（10分）春节是中华民族的盛大节日，蕴含着中华民族深厚的历史文化内涵，北京时间12月4日，我国申报的“春节”申遗成功，表明国际社会对春节承载的文化价值的认可．春节意味辞旧迎新、阖家欢乐、祈求吉祥，有贴春联、赏烟花、拜年等众多的习俗，表达人们对美好生活的期盼．小东将写有“新”、“年”、“快”、“乐”的卡片反面朝上放在桌上，反面没有任何差别．
（1）王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是；
（2）用列表法或画树状图，求王明随机翻开两张卡片，刚好能组成一个词语的概率．
【答案】（1）；
（2）见解析，．
【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可；
（）画出树状图，利用概率公式计算即可；
本题考查了列表法或画树状图求概率，熟练掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键．
【详解】（1）解：王明随机翻开一张卡片，是“新”字的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图，
一共有种等可能的结果，刚好能组成一个词语有种，
∴刚好能组成一个词语的概率为．
24．（10分）如图，数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升到距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度约为多少米．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】教学楼的高度约为16米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角、俯角的意义是解题的关键；延长，交的延长线于点C，由题意易得，，，，然后根据三角函数可进行求解
【详解】解：如图，延长，交的延长线于点C，
由题意知，，，，．
在中，，
∴．
在中，．
∴．
答：教学楼的高度约为16米．
25．（10分）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求线段的长及阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2），阴影部分的面积为
【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
（1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明；
（2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用，求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，
为的切线，
，
．
，
，
即垂直平分，
．
在和中，
，
，
，
．
又是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，，
由（1）可知．
，
，
解得：，
，
，
，
，
，，
．
，
，
．
26．（10分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
【答案】（1）甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元
（2）三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答．
（2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答．
【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，
依题意得：，
解得．
答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元．
（2）解：设生产B产品a件，生产A产品件．
根据题意，得．
解得：．
∵a的值为非负整数，
∴，
则分别等于12、11、10．
∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个．
27．（12分）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．

【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由．
【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．

【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______．
【答案】（1）；（2）作图见解析，理由见解析；（3）；（4）
【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长；
（2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，，根据翻折的性质得到，，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，，根据矩形的性质可得，，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，，，可得，，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论；
（4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，，可得答案．
【详解】解：（1）∵在矩形中，，，
∴，
∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处，
∴，
∴在中，，
∴的长为；
（2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿翻折，点落在正方形内一点处，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴射线是的角平分线，
则射线即为所作；

（3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，，
∴，，，，
∴，，
，
∴，即，
∴，
在中，，
即：，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴的面积是；
故答案为：；

（4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵将沿翻折，点落在点处，
∴，，
∴，
∵的角平分线与的延长线交于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴当点与点重合时，，
此时在中，，
∵，
即：，
解得：，
∴，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为．
故答案为：．

【点睛】本题是四边形综合题，考查翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握翻折的性质、正方形和矩形的判定和性质是解题的关键．也考查了应用与设计作图．
28．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
（3）如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可知，则有，然后求出直线的解析式为，然后可设，则有，进而根据可建立方程进行求解；
（3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）可知，则令时，，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表
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a
其他
b
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