2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共35页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1 .如图为某地连续4天的天气预报图，其中日最低气温中最高的为（ ）

A．B．C．D．
2． 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ）
A． B．C．D．
3． 目前世界上最长的大桥，是我国的丹昆特大桥，全桥总长约165000米，是之前吉尼斯世界录所记载的世界第一长桥美国庞恰特雷恩湖桥的四倍长．数字165000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4． 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7． 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）

A．B．
C．D．
10．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点
在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么为________

12．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，向A地均速行驶．
甲车到达A地后停止，乙车到达A地后停留1小时，然后再调头按原速向C地行驶．
若A、B两地相距400千米，在两车行驶过程中，甲、乙两车之间的距离（千米）与乙车行驶时间
（小时）之间的函数图象如图所示，则他们出发后经过 小时相遇.

如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算：
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 CD、AB 上的点，BF=DE，
连接 EF；M、N 为线段EF上两点，EN=FM，连接 AN、CM．求证：AN=CM．

嘉嘉使用桌上书架如图所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，
顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．
嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），
舒适度较为理想．

书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长
(2) 如图这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处．当她看书上距离桌面高度为的点时，
她向下看的俯角为，眼睛到桌面高度，求此时眼睛到点的距离，即的长度．
（结果精确到；参考数据：）

为纪念五四运动周年，我县某中学举行“我的青春我奋斗”演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，
将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，
但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，
表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，图中m的值为______；
补全条形统计图；
(3) 组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，
已知A等级中男生有1名，请用“列表或画树状图”的方法求出所选2名学生中两个都是女生的概率．
21．如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
22．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，
因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，
计划购买，两种型号直播设备．已知型设备价格是型设备价格的1.2倍，
用4800元购买型设备的数量比用3000元购买型设备的数量多5台．
求、型设备单价分别是多少元；
(2) 该校计划购买两种设备共60台，要求型设备数量不少于型设备数量的一半，
设购买型设备台，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买使用．
23．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，
另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，
满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，
得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，
同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，
木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或_____m，______m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．
发现直线可以看成是直线通过平移得到的，
在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象
在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．
抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，
交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；
(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；
(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
2025年中考第一次模拟考试数学试卷·解析版
满分150分．考试时间为120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1 .如图为某地连续4天的天气预报图，其中日最低气温中最高的为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数绝对值大的反而小，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴日最低气温中最高的为，
故选：C．
2．如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键．
根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求；
B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求；
故选：A．
3．目前世界上最长的大桥，是我国的丹昆特大桥，全桥总长约165000米，是之前吉尼斯世界录所记载的世界第一长桥美国庞恰特雷恩湖桥的四倍长．数字165000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法进行求解即可．
【详解】，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，即可以把一个绝对值大于1的数表示成的形式，其中为整数，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．逐一判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相乘法则、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则计算并逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，，进行比较即可．
【详解】∵点，，在反比例函数的图象上，
∴，，，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．
8．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：

一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
9．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么为________
【答案】
【分析】由题意可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得的度数．
【详解】解：如图，
∵把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．注意运用：两直线平行，同位角相等．
12．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】4
【分析】用含的代数式表示出此方程的根的判别式，根据根的判别式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
∵方程有两个相等的实数根，
解得：
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练根据根的情况转化为根的判别式进行计算是解决本题的关键．
如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，向A地均速行驶．
甲车到达A地后停止，乙车到达A地后停留1小时，然后再调头按原速向C地行驶．
若A、B两地相距400千米，在两车行驶过程中，甲、乙两车之间的距离（千米）与乙车行驶时间
（小时）之间的函数图象如图所示，则他们出发后经过 小时相遇.

【答案】6
【分析】观察函数图象可知A、C两地的间距，由速度=路程÷时间可求出乙车的速度，结合甲、乙两车速度间的关系可求出甲车的速度，再求出乙车从A地返回时，两车的间距，依据相遇时间=5+两车间的间距÷两车速度和，即可求出甲、乙两车相遇的时间．
【详解】解：∵最终两车相距600千米，
∴A、C两地相距600千米．
乙车的速度为：（400+600）÷（11-1）=100（千米/小时），
乙车从B到达A地的时间为400÷100=4（小时），
甲车的速度为：（400-200）÷4=50（千米/小时），
乙车从A地返回时，两车的间距为：400-50×（4+1）=150（千米），
两车相遇的时间为：4+1+150÷（100+50）=4+1+1=6（小时）；
故答案为6.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象结合数量关系，列式计算是解题的关键．
如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，
折痕交于点．若，，则的长等于 ．

【答案】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算：
【答案】
【分析】首先根据绝对值的性质、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数进行运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角形函数以及实数混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 CD、AB 上的点，BF=DE，
连接 EF；M、N 为线段EF上两点，EN=FM，连接 AN、CM．求证：AN=CM．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可推出CDAB，AB=CD，进而可得到∠CEF=∠AFE，CE=AF，通过证明△ANF≌△CME即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴CDAB， AB=CD，
∴∠ CEF=∠AFE ①，
∵BF=DE，
∴ CE=AF② ，
又 EN=MF，
∴EN+MN=MF+MN，即：EM=FN ③，
∴由①②③可得：△ANF≌△CME ，
∴AN=CM．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，证明△ANF≌△CME是解题的关键．
嘉嘉使用桌上书架如图所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，
顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．
嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），
舒适度较为理想．

书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长
(2) 如图这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处．当她看书上距离桌面高度为的点时，
她向下看的俯角为，眼睛到桌面高度，求此时眼睛到点的距离，即的长度．
（结果精确到；参考数据：）

【答案】(1)边缘点到走过的路径长
(2)．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可．
（）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
∴边缘点到走过的路径长．
（2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵向下看的俯角为，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键．
为纪念五四运动周年，我县某中学举行“我的青春我奋斗”演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，
将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，
但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，
图中m的值为______；
(2)补全条形统计图；
(3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，
已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中两个都是女生的概率．
【答案】(1)20，72，40
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，用乘以等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得的值；
（2）求出等级的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）解：根据题意得：总人数为：（人，
表示“等级”的扇形的圆心角为；
等级所占的百分比为，
所以，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级的人数为（人，
补全统计图，如图所示：

（3）解：根据题意，列出表格，如下：
共有6种等可能结果，其中两个都是女生的有1种，
所以两个都是女生的概率为．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
21．如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，进而可证得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到即可证得结论；
（2）连接，先利用圆周角定理和勾股定理求得，再证明得到，进而求得即可求解
【详解】（1）证明：连接，
∵边所在的直线是的切线，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵经过圆心并与圆相交点，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明求解是解答的关键．
22．随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买，两种型号直播设备．已知型设备价格是型设备价格的1.2倍，用4800元购买型设备的数量比用3000元购买型设备的数量多5台．
(1)求、型设备单价分别是多少元；
(2)该校计划购买两种设备共60台，要求型设备数量不少于型设备数量的一半，设购买型设备台，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买使用．
【答案】(1)型设备的单价为240元，型设备的单价为200元
(2)，最少购买费用为12800元
【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，用4800元购买型设备的数量比用3000元购买型设备的数量多5台，列方程求解即可．
（2）根据型设备数量不少于型设备数量的一半，设购买型设备台，购买总费用为元，则，解得，再由总费用等于购买两种设备费用之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，
根据题意，得：，
解得，
检验，当时，
所以是原方程的解且符合题意，（元），
答：型设备的单价为240元，型设备的单价为200元；
（2）解：根据题意，得，
解得，
由题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，最小，
（元）．
答：与的函数关系式为，最少购买费用为12800元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式应用，一次函数的应用，分析题意，找到合适的数量关系列出方程与不等式，以及函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
23．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，
解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为：4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把代入得：，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
24．在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或
【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标；
（2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标；
（3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，解得：，
抛物线表达式为，
当时，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：设直线的表达式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的表达式为：，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，
点在直线上，
将代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，
，，
，
点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，
，
顶点坐标为，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，解得：；
②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，
，解得：，
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
25．在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；
(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；
(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案；
（3）连接，先证明是等边三角形，，得出，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为．
【详解】（1）解：∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
由矩形和矩形可得，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如答案图1，过点作于点，
由矩形和矩形可得，，
，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如答案图2，连接，
∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，
∴，，，
∴，
∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为．

【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
男
女1
女2
男
女1、男
女2、男
女1
男、女1
女2、女1
女2
男、女2
女1、女2