泰州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份泰州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共39页。试卷主要包含了考试时间，有一个分式等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
第Ⅰ卷选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列说法错误的是（）
A．是16的平方根B．没有立方根
C．的平方根是D．
2．2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”、“大雪”、“小寒”、“立春”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．《城市公共交通条例》自2024年12月1日起施行，落实城市公共交通优先发展战略，构建安全、便捷、高效、绿色、经济的城市公共交通体系．经过某路口的公交车，只能直行或右转，若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆公交车都右转的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．B．函数的最大值为1，最小值为0
C．函数不存在对称轴D．随着的增大，函数和函数越来越接近
6．如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（ ）
①；②点到直线的距离为；
③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
第Ⅱ卷非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式．
8．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12000公里用科学记数法表示为公里．
9．如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是．
第9题第11题
10．一元二次方程的两个根为a，b，则的值为．
11．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为米．（结果保留）
12．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为．
第12题第13题
13．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为分．
14．对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为．
15．如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮的直径为AB，车架经过圆心，地面水平线CD与车轮相切于点，连接AD，BD．小明测出车轮的直径米，米，则AD的长为米．
第15题第16题
16．如图，点是菱形的边AD的中点，点是AB上的一点，点是上的一点，先以CE为对称轴将折叠，使点落在CF上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在CF上．若，，则CE的值为．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）（1）化简：；（2）解方程：．
18．（本题8分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
19．（本题8分）数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》、《几何原本》、《世界数学通史》、《古今数学思想》（依次用A、B、C、D表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两名同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率．
20．（本题8分）尺规作图：
（1）请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
（2）请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
21．（本题10分）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可.
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程组的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
（1）任务一：解方程组
（2）任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
22．（本题10分）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
23．（本题10分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
24．（本题10分）【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
25．（本题12分）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．
（1）在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________；
（2）如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长；
（3）如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值．
26．（本题14分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．
参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列说法错误的是（）
A．是16的平方根B．没有立方根
C．的平方根是D．
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解
【分析】本题考查平方根，立方根的定义，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、16的平方根是±4，故-4是16的平方根，本选项说法正确；
B、任何一个数都有立方根，-4的立方根是，故本选项的说法错误；
C、，故的平方根是，本选项的说法正确；
D、25的算术平方根是5，即，故本选项的说法正确．
故选：B
2．2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”、“大雪”、“小寒”、“立春”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．是中心对称图形，故A选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式逐项分析即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；
B．，正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选B．
4．《城市公共交通条例》自2024年12月1日起施行，落实城市公共交通优先发展战略，构建安全、便捷、高效、绿色、经济的城市公共交通体系．经过某路口的公交车，只能直行或右转，若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆公交车都右转的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】列举法求概率
【分析】本题考查简单概率的计算，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键．从所有等可能的情况中找出符合条件的情况数，利用概率公式求解．
【详解】解：由题意知，，两辆汽车经过该路口时共有4种等可能的情况，
分别是：直行右转，直行直行，右转右转，右转直行，
因此经过该路口的两辆汽车都右转的概率为．故选：C．
5．对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数的最大值为1，最小值为0
C．函数不存在对称轴
D．随着的增大，函数和函数越来越接近
【答案】B
【知识点】新定义下的实数运算、求反比例函数值
【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解的含义，通过取特殊值法来进行判断．
【详解】解：A．正确，不符合题意；
B．函数没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意；
C．当时，，当时，，故函数不存在对称轴，正确，不符合题意；
D．随着的增大，函数和函数的函数值越来越接近0，正确，不符合题意；
故选：B．
6．如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（ ）
①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、正多边形的内角问题、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】根据旋转的性质求出可判断①；作于点H，解直角三角形可判断②；由旋转的性质得由、、三点共线先求出，进而可求出，从而判断③；证明五边形各边相等，各角相等，根据正多边形的定义可判断④．
【详解】解：①，故①正确；
②由旋转的性质得，
∴．
作于点H
∴，故②不正确；
③由旋转的性质得，，
∵、、三点共线
∴，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，
∴，
同理可证，．
∵，
∴，
同理可证，，
∴五边形是正五边形，故⑤正确．
故选B．
第二部分非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据当时，分式有意义；当时，分式的值为0，再构建分式即可．
【详解】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．
∴分式可以为，
故答案为：
8．2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000公里，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．其中12000公里用科学记数法表示为公里．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数．
根据科学记数法的表示形式进行解答即可．
【详解】解：12000公里用科学记数法表示为公里，
故答案为：．
9．如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，F为上一点，，若，，则的长是．

【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，结合已知得出，利用相似三角形的性质结合题意求出的长度即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴AD的长是，
故答案为：．
10．一元二次方程的两个根为a，b，则的值为．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义、根与系数的关系是解题关键．
先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，再代入求值即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
则，
故答案为：．
11．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为米．（结果保留）
【答案】
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了求弧长，锐角三角函数值的求法，旋转的性质，求出圆心角的度数是解答关键．
过点作于点，得出的长度，根据得到，最后根据弧长公式即可解答．
【详解】解：过点作于点，
∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，
当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，
∴．
∵，
∴
，
∴，
∴秋千底部所经过的路径长．
故答案为：．
12．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为．
【答案】17
【知识点】作线段（尺规作图）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故答案为：17．
13．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分为分．
【答案】33
【知识点】其他问题（二元一次方程组的应用）
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分．
【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分，
根据题意得：
，
得：，
∴小红得分为33分．
故答案为：33．
14．对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为．
【答案】2
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查二次函数的性质，新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答．
先设二次函数的三倍点为，然后即可得到方程，再根据二次函数有且只有一个“三倍数”，可知方程有两个相等的实数根，从而可以求得的值．
【详解】解：设二次函数的三倍点为，
则，
，
，
∵二次函数有且只有一个“三倍数”，
，
解得：，
故答案为：2．
15．如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车．如图②是马车的侧面示意图，车轮的直径为AB，车架经过圆心，地面水平线CD与车轮相切于点，连接AD，BD．小明测出车轮的直径米，米，则AD的长为米
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握切线的性质，直接所对圆周角等于90°，相似三角形的判定和性质，勾股定理的知识是解题的关键．
连接，作延长线于点，可证，可得的长，根据勾股定理可得的值，在直角中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长CD，作延长线于点，
∵CD与切与点，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，则，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴在中，，
∴AD的长为，
故答案为：．
16．如图，点是菱形的边AD的中点，点是AB上的一点，点是上的一点，先以CE为对称轴将折叠，使点落在CF上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在CF上．若，，则CE的值为．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】过点作延长线于点，设菱形的边长为，设，根据勾股定理可得，然后根据，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点作延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
，
设菱形的边长为，
，
，
设，
则，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
，，
由折叠可知：，
，
，
，
，
，
．
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）（1）化简：；（2）解方程：
【答案】（1）；（2），．
【知识点】分式化简、解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查的是分式的化简，一元二次方程的解法；
（1）先计算分式的加法运算，再合并同类项可得化简的结果；
（2）先把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
18．（本题8分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）88；87；40
（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析
（3）310人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的某项数目、求中位数、求众数
【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等：
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值；
（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论；
（3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案．
【详解】（1）解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数；
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数；
由题意得，，
∴；
故答案为：88；87；40；
（2）解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生数学文化知识较好；
（3）解：人，
∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人．
19．（本题8分）数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》、《几何原本》、《世界数学通史》、《古今数学思想》（依次用A、B、C、D表示）四本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两名同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率．
【答案】（1）16种
（2）
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率的问题，解题的关键是列出表格或画出树状图．
（1）根据题意列出表格或树状图，即可得到答案；
（2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择阅读同一本名著的情况，得出概率．
【详解】（1）根据题意列表如下：
共有以上16种等可能结果．
（2）其中甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的结果有4种：
甲、乙两位同学都选择到同一本名著的概率为．
20．（本题8分）尺规作图：
（1）请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
（2）请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、画圆（尺规作图）、尺规作图——正多边形
【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可；
（2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，
（2）解：如图，点、即为所求，
21．（本题10分）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可.
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程组的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
（1）任务一：解方程组
（2）任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
【答案】（1）
（2）
【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.
（1）直接运用整体代入消元法解答即可；
（2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可.
【详解】（1）解：
由①得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，解得，
所以原方程组的解为.
（2）解：将代入得
拋物线与轴有唯一的交点，
，解得，
抛物线的解析式为.
22．（本题10分）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】根据矩形的性质求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：
（1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案；
（2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴

（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
23．（本题10分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）；
（3）不能．
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、喷水问题（实际问题与二次函数）
【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可；
【详解】（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
24．（本题10分）【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可；
[深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可；
[拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可．
【详解】[初步感知]解：∵为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
解得，，
∴；
[深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H，
同理，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，整理得，，
解得，或（舍去）；
∴；
[拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
同理，，，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述：的值为或或．
25．（本题12分）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．
（1）在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________；
（2）如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长；
（3）如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】反比例函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接点C和中点D，根据题意得出，设，则，则，通过证明为等边三角形，得出，即可求解；
（2）过点B作于点H，易得，根据题意得出，求出，最后根据即可解答；
（3）根据题意得出，然后进行分类讨论：①当时，过点B作轴于点N，过点C作于点M，通过证明，设，则，得出，，即可解答；②当时，
过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，通过证明，设，则，则，设，则，得出，，即可解答．
【详解】（1）解：连接点C和中点D，
∵为卓越角，为卓越边，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
∵，点D为中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）解：过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
解得：，
∵是卓越角，为卓越边，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴；

（3）解：∵卓越中，为卓越边，为卓越角，
∴，
①当时，
过点B作轴于点N，过点C作于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，点的纵坐标为，
∴，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得：（舍去），
∴；

②当时，
过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，
∵，点的纵坐标为，
∴，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得：（舍去），

综上：．
26．（本题14分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．
【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、证明某直线是圆的切线、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论；
实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解；
问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：，
得到，根据，易证，得到，即可证明结论．
【详解】操作发现：
解：连接并延长交于点M，连接，
是直径，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
是的半径，
与相切；
实践探究：
解：由旋转的性质得：，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
问题解决：
证明：过点E作交于点N，
由旋转的性质知：，
，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
，
，
，
，
．A
B
C
D
A
B
C
D