盐城卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份盐城卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共38页。试卷主要包含了考试时间，窗花是我国民间传统剪纸艺术，定义，若，，则，已知，则代数式的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．|-2025|的相反数是（ ）
A．2025B．-2025C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．2024年9月25日，中国向太平洋公海发射了一枚东风31AG洲际导弹，导弹在飞行12000000米以后精准打击到了预定目标，充分展现出了中国导弹的可靠性．根据当前各国媒体的报道来看，中国的这次导弹实验是相当成功的．将12000000用科学记数法表示为（ ）
A．12×106B．1.2×107C．1.2×106D．0.12×106
4．窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ）
图① 图②
A．主视图与俯视图B．左视图与主视图
C．左视图与俯视图D．左视图、主视图、俯视图均相同
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
第6题第7题
7．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等份，即可得到的内接正十二边形，取弧的中点G；连接．若，则的长为（ ）
A．4B．C．D．
8．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若，，则．
10．已知，则代数式的值为．
11．如图①，春臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该春臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在春臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面cm．
12．如图，四边形内接于，，，，则的半径长为．
第12题第13题
13．如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长的差为（用含，d的式子表示）．
14．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，则天头长为cm．
第14题第15题
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为．
16．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转60°得到．连接，，，则周长的最小值是．
三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：．
18．（本题6分）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围．
19．（本题8分）代数式的值为P．
（1）当时，求x的值；
（2）在（1）的条件下，求P的值．
20．（本题8分）一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子．
（1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________；
（2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率．
21．（本题8分）如图，在中，，，点D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转到（点D的对应的为E），连接．
（1）求证：；
（2）若，，直接写出线段的长为．
22．（本题10分）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
23．（本题10分）数学定理的证明是数学知识体系的基础，它确保了数学理论的严谨性和可靠性．其次，定理的证明有于提高助思维能力和创新能力．
（1）证明相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，请画出示意图，写出已知与求证，并证明此定理．
（2）请利用（1）证明的定理解决第（2）小题，如图；在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点．与是否垂直？为什么？
24．（本题10分）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息：
八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，，96，96，，，，，，，
，，，，，，，，，
请根据以上信息完成下列问题：
（1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
25．（本题10分）【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点．
【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式；
【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解决问题】
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）连接，过点作于点，求的值：
（3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本题12分）随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车尾部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全？”为解决这一困惑．小组成员分工开展活动：
成员小梧查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．）
任务：小梧认为该型号汽车的行驶速度与刹车距离之间存在函数关系，请你协助小梧求出该函数解析式；
任务：成员小杭发现小区门口路段限速．请你帮小杭计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全？实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离，是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案？小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“秒定律”一一跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足；
任务：你认为陈老师常用的“秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“秒定律”的适用范围．
27．（本题14分）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成（如图，当点在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同．
【提出问题】的面积是否存在最大值？
【分析问题】由于点C的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形．
【解决问题】
（1）如图3，当时，试求y与x的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？
（2）当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长；
（3）的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由．
某型号汽车行驶速度与刹车距离的关系
行驶速度
10
刹车距离
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，由绝对值的意义可得|-2025|=2025，再根据相反数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵|-2025|=2025，∴|-2025|的相反数是-2025，故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
【详解】解：A．，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．2024年9月25日，中国向太平洋公海发射了一枚东风31AG洲际导弹，导弹在飞行12000000米以后精准打击到了预定目标，充分展现出了中国导弹的可靠性．根据当前各国媒体的报道来看，中国的这次导弹实验是相当成功的．将12000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将12000000写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选B．
4．窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念结合选项解答即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故该选项错误；
B、不是轴对称图形，故该选项错误；
C、是轴对称图形，故该选项正确；
D、不是轴对称图形，故该选项错误．
故选：C．
5．图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ）
图① 图②
A．主视图与俯视图B．左视图与主视图
C．左视图与俯视图D．左视图、主视图、俯视图均相同
【答案】B
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可．
【详解】解：该几何体的三视图如图所示：
由三视图可知，左视图与主视图相同，
故选：B．
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用面积计算即可．
【详解】解：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
．
故选C．
7．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等份，即可得到的内接正十二边形，取弧的中点G；连接．若，则的长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】连接，过点作于点，则，可得，则，则由勾股定理得，，在中，运用勾股定理求解．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵六边形是的内接正六边形，
∴点在直径上，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵点把二等分，
∴，
∴，
则由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵为直径，
∴，
∴，
故选：D．
8．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】新定义下的实数运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的最值、已知两点坐标求两点距离
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若，，则．
【答案】7
【知识点】分式的求值、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，分式的加减运算，根据代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：7．
10．已知，则代数式的值为
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式、因式分解的应用
【分析】本题主要考查代数式的值与提公因式．
根据提公因式可进行求解，再将已知条件整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
11．如图①，春臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该春臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在春臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面cm．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，

由题意得，
∴，
则cm，
∵，
∴，
∴，
∵cm，
∴cm，
∴，
∴cm，
∴cm，
答：端此时距地面cm．
故答案为：．
12．如图，四边形内接于，，，，则的半径长为．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解．
【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，
∵，
∴，，
∴为的直径，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长的差为（用含，d的式子表示）．
【答案】
【知识点】求弧长
【分析】本题考查弧长的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数，设“下圆弧”的半径为，分别表示出和，再求差即可．
【详解】解：∵由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，
∴每一枚邮票的圆心角为，
设“下圆弧”的半径为，则设“上圆弧”的半径为，
∴“上圆弧”长，
“下圆弧”长，
∴“上圆弧”长与“下圆弧”长的差为，
故答案为：．
14．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，则天头长为cm．
【答案】
【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据找出等量关系列方程．设边的宽为，则天头长与地头长的和为，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设边的宽为，则天头长与地头长的和为，由题意可得，
，
解得：，
∵天头长与地头长的比是，
∴天头长为：，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1，
∴A（，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，
∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，
∴△OAB∽△HAC，
∴
∵OA=，OB=1，，
∴
∴AH=，CH=2，
∴OH=1，
∵点C在第一象限，
∴C（1，2），
∵点C在上，
∴．
故答案为：2．
16．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转60°得到．连接，，，则周长的最小值是．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、线段问题（轴对称综合题）、线段问题（旋转综合题）
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．
∴
∵将绕点顺时针旋转60°得到．是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴，
∴点在射线上运动，
如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根和立方根的意义化简，再算乘法，后算加减．
【详解】解：
．
18．（本题6分）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案．
【详解】解；
去分母：，
去括号：，
合并同类项：，
∴，
去括号：，
合并同类项：，
∵不等式组有5个整数解，
∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，，
∴，
∴．
19．（本题8分）代数式的值为P．
（1）当时，求x的值；
（2）在（1）的条件下，求P的值．
【答案】（1）；（2）
【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，特殊角的三角函数值；
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算进行计算，然后将代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，
即x的值为；
（2）

当时，
20．（本题8分）一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子．
（1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________；
（2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率．
【答案】（1）（2）
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
（1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可；
（2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可．
【详解】（1）解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第3排第2列的那个位置时，符合题意，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为；
故答案为：
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果，
∴．
21．（本题8分）如图，在中，，，点D为上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转到（点D的对应的为E），连接．
（1）求证：；
（2）若，，直接写出线段的长为．
【答案】（1）见解析（2）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．
（1）先由旋转的性质得，，再由已知证明即可得出结论；
（2）连接，先由得，，再由已知推出，进而可得，再由勾股定理得，再由可得答案．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点C顺时针旋转到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
由（1）得，，
∴，
故答案为：．
22．（本题10分）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）点E坐标为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键．
（1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可；
（2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意点B的坐标为，
∵点、B都在反比例函数图象上，
∴，解得，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵点A坐标为，点E坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数图象上，
∴，
解得，，
因为点A坐标为，
所以舍去，所以点E坐标为．
23．（本题10分）数学定理的证明是数学知识体系的基础，它确保了数学理论的严谨性和可靠性．其次，定理的证明有于提高助思维能力和创新能力．
（1）证明相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，请画出示意图，写出已知与求证，并证明此定理．
（2）请利用（1）证明的定理解决第（2）小题，如图；在正方形中，P是上的点，且，Q是的中点．与是否垂直？为什么？
【答案】（1）见解析
（2）与垂直，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握相似三角形到判定定理是解答的关键．
（1）根据定理叙述画出图形，写出已知，求证，然后利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明即可；
（2）设，则，进而证明，由（1）中定理可证明，则，进而证得即可得出结论．
【详解】（1）解：已知：如图，在和中，，，
求证：．
证明：在中，在截取，过D作，交于E，
则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴；
（2）解：与垂直，理由：
∵正方形，
∴；
∵，
∴设，
则，
∵Q是的中点，
∴，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
即与垂直．
24．（本题10分）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息：
八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，，96，96，，，，，，，
，，，，，，，，，
请根据以上信息完成下列问题：
（1）填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
【答案】（1），，补图见解析
（2）九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析
（3）人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求中位数、求众数
【分析】（）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图；
（）根据平均数、中位数和众数判断即可；
（）用乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解；
本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多，
∴，
故答案为：，，
由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人，
∴补全八年级的成绩条形统计图如下：
（2）解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下：
两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀；
（3）解：，
答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人．
25．（本题10分）【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点．
【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式；
【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解决问题】
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）连接，过点作于点，求的值：
（3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）利用待定系数法求直线与双曲线的解析式；
（2）根据，求出，再利用勾股定理求出，即可求解；
（3）过点A作轴，先证是等腰直角三角形，推出，分或两种情况，则或，代入数值求出即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
直线解析式为，
点在直线上，
，
，
将代入，得：，
解得，
双曲线的解析式为；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点A作轴，垂足为点N，
对于直线，令，得，
，
，，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
若以点、、为顶点构成的三角形与相似，
则或，
或，
或，
解得或，
，点D在点C右侧，
点的坐标为或．
26．（本题12分）随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车尾部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全？”为解决这一困惑．小组成员分工开展活动：
成员小梧查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．）
任务：小梧认为该型号汽车的行驶速度与刹车距离之间存在函数关系，请你协助小梧求出该函数解析式；
任务：成员小杭发现小区门口路段限速．请你帮小杭计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全？实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离，是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案？小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“秒定律”一一跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足；
任务：你认为陈老师常用的“秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“秒定律”的适用范围．
【答案】任务：；任务：；任务：不适用，用范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题（实际问题与二次函数）
【分析】任务：由表格可知，当时，刹车距离随着汽车行驶速度的增大而增大，可知是二次函数，再利用待定系数法解答即可求解；
任务：先单位换算得，再把代入（）所得的函数解析式求出的值即可求解；
任务：画出函数与y=2x图象，求出时的值，并结合函数图象解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式并利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：任务：由表格可知，当时，刹车距离随着汽车行驶速度的增大而增大，
∴是的二次函数，
∵函数图象经过点，
∴设，把、代入得，
，
解得，
∴函数解析式为；
任务：，
当时，，
∴如果汽车以最高限速行驶，至少保持车距才能保障道路安全；
任务：不适用，理由如下：
画函数与y=2x图象如下：
由图象得，当函数的图象位于函数y=2x图象下方时，意味着与前车距离充足，即适用于“秒定律”；当函数图象位于函数y=2x图象上方时，意味着与前车距离不足，即不适用“秒定律”，
当时，解得，，
∴结合函数图象可得，当时，函数的图象位于函数y=2x图象下方，
∵，
∴“秒定律”的适用范围为．
27．（本题14分）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点弯折后，再连接形成（如图，当点在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同．
【提出问题】的面积是否存在最大值？
【分析问题】由于点C的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形．
【解决问题】
（1）如图3，当时，试求y与x的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，的值为多少？
（2）当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长；
（3）的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），的面积存在最大值，
（2）的长为或
（3）的面积存在最大值，最大值是2，此时，点C是的中点
【知识点】解直角三角形的相关计算、面积问题（二次函数综合）
【分析】（1）先构建图形，求解，再利用面积公式建立函数关系式即可；
（2）当时，利用面积公式可得．当时，如图，过作于，则，可得，再利用面积公式可得，利用，再建立方程求解即可；
（3）分两种情况结合（1）（2）得出函数关系式，再结合函数性质可得结论．
【详解】（1）解：此时的面积存在最大值；理由如下：
如图3所示，过点作于点，
设，．
在中，，，
．
，
，
有最大值，此时的面积存在最大值，
当，
；
（2）解：当时，．
当时，过作于，如图4，
，
，
，
，
根据题意得：，
解得：，，
的长为或；
（3）解：的面积存在最大值；理由如下：
由（1）（2）可得：
当为锐角或直角三角形时，
，
当为钝角三角形时，
，
当时，有最大值是2，此时，点是的中点．，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
某型号汽车行驶速度与刹车距离的关系
行驶速度
10
刹车距离