高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式第1课时导学案，共6页。学案主要包含了条件概率的理解，利用定义求条件概率，缩小样本空间求条件概率等内容，欢迎下载使用。
一、条件概率的理解
问题 抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
(1)两次都是正面向上的概率是多少？
(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？
(3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
知识梳理
条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称____________．
例1 判断下列几种概率哪些是条件概率：
(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率．
(2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率．
(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率．
反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．
跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是eq \f(2,5)，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
二、利用定义求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
跟踪训练2 (1)为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为2023年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出，两人都希望能抛出兔的图案朝上，寓意玉兔呈祥.2人各抛一次，则在第一人抛出兔的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(11,72) C.eq \f(143,144) D.eq \f(23,144)
(2)在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________．
三、缩小样本空间求条件概率
例3 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点．
(3)算：利用P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)求得结果．
跟踪训练3 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为8}，则P(B|A)等于( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
(2)5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．
1．知识清单：
(1)条件概率的理解．
(2)利用定义求条件概率．
(3)缩小样本空间求条件概率．
2．方法归纳：定义法、缩小样本空间法．
3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”.
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
3．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(3,5)
4．一个盒子内装有大小相同的3个红球，5个白球，从盒子中任取2个球，已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为________．
参考答案与详细解析
问题 (1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(正正，正反，反正，反反))，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(正正))，故P(B)＝eq \f(1,4).
(2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A，则A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(正正，正反，反正))，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为eq \f(1,3).在事件A发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化．
(3)将第一次出现正面向上的事件记为C，则C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(正正，正反))，那么，在C发生的条件下，B发生的概率为eq \f(1,2).在事件C发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化．
知识梳理
eq \f(PAB,PA) 条件概率
例1 解 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是．
跟踪训练1 B [由条件概率的定义知B为条件概率．]
例2 解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝Aeq \\al(2,6)＝30.
根据分步乘法计数原理，得n(A)＝Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(1,5)＝20，
所以P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3).
(2)因为n(AB)＝Aeq \\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq \f(nAB,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5).
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5).
跟踪训练2 (1)A [设第一人抛出兔的图案的事件为A事件，第二人抛出兔的图案的事件为B事件，
则P(A)＝eq \f(1×12,12×12)＝eq \f(1,12)，P(AB)＝eq \f(1×1,12×12)＝eq \f(1,144)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,144),\f(1,12))＝eq \f(1,12)，
即在第一人抛出兔的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为eq \f(1,12).]
(2)eq \f(3,4)
解析 设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，
则P(A)＝eq \f(2,5)，P(AB)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4).
例3 解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
跟踪训练3 (1)B [P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)，其中AB表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故n(AB)＝2，而n(A)＝Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)＝9，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(2,9).]
(2)eq \f(1,2)
解析 设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(3×2,3×4)＝eq \f(1,2).
随堂演练
1．A [依题意P(A)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(1,4)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2).]
2．A [根据条件概率公式得所求概率为eq \f(0.6,0.75)＝0.8.]
3．D [男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少有一个被选中记作事件B，
则P(A)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(3,7))＝eq \f(3,7)，P(AB)＝eq \f(C\\al(1,4)＋C\\al(1,4)＋1,C\\al(3,7))＝eq \f(9,35)，
由条件概率公式可得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(3,5).]
4.eq \f(2,5)
解析 取出2个球，记事件A＝“一个球是白球”，
则P(A)＝eq \f(C\\al(2,5)＋C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(2,8))＝eq \f(25,28)，
取出2个球，记事件B＝“另一个球是白球”，
则P(AB)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,8))＝eq \f(10,28)＝eq \f(5,14)，
由条件概率公式得P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(5,14),\f(25,28))＝eq \f(2,5)，
所以已知一个球是白球，另一个球也是白球的概率为eq \f(2,5).