新高考数学一轮复习考点分类提升 第47讲 二项展开式问题（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.二项式定理
(1)二项式定理：；
(2)二项展开式的通项公式：，它表示第项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数.
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.
(2)增减性：
当时，随的增加而增大；
当时，随的增加而减小.
(3)最大值：
当n为偶数时，中间的一项取得最大值；
当n为奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值
3.三项（及以上）展开式问题
基本题型：求的展开式中含有的项.
解决思路1：利用完全平方公式将三项式转化为二项式，从而用二项式定理解决即可.
解决思路2：从个中取出个，再从剩下的个中取出个，剩下的个中全部取出，从而含有的项为：.
4.常用结论
(1).
(2).
考点一：二项展开式问题
例1．（2023·山东烟台·统考二模）设，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
例2．（2023·四川绵阳·统考二模）已知的展开式中常数项为24，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
考点二：三项（及以上）展开式问题
例3．（2023·全国·校联考三模）的展开式中的系数为（ ）
A．18B．135C．540D．1215
例4．的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．C．30D．
考点三：利用项的系数求参数
例5．（2023·江西新余·统考二模）二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于________.
例6．（2023·四川达州·统考二模）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中系数为___________.
考点四：赋值法求部分项系数或二项式系数和
例7．（2023·陕西安康·统考三模）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128D．第4项的系数最大
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考三模）的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．9D．10
2．的展开式中的系数是（ ）
A．20B．C．10D．
3．设，若，则实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．
4．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（ ）
A．B．C．D．
7．若的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A．-960B．960C．448D．-448
8．已知，若，则自然数（ ）
A．6B．5C．4D．3
9．设，则的值等于（ ）
A．0B．1C．D．
10．（2023·山东日照·统考二模）已知，则（ ）
A．-54B．-52C．–50D．-48
11．已知，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
二、填空题
12．（2023·上海浦东新·统考三模）的二项展开式中项的系数为__________．
13．（2023·天津河东·一模）的展开式中，项的系数为________．（用数字作答）
14．（2023·安徽黄山·统考三模）将展开后按的升幂排列，则第3项为____________.
15．（2023·福建漳州·统考三模）的展开式中项的系数为_________.
16．的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示）
17．在的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则______．
18．已知，则______．
19．已知 a>0，若，且，则a=______.考点一
二项展开式问题
考点二
三项（及以上）展开式问题
考点三
利用项的系数求参数
考点四
赋值法求部分项系数或二项式系数和