新高考数学一轮复习考点分类提升 第10讲 函数性质问题（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1、函数的奇偶性
2.奇(偶)函数的性质
(1)如果函数是偶函数,那么.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数.
(4)若函数是奇函数,且在处有定义,则.
3、周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4.常用结论
(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(2)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
②若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(3)函数对称性常用结论
①f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线对称．
当时，f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②f(a+x)+f(b-x)=c⇔f(x)的图象关于点对称，
当时，f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．
考点一：利用函数奇偶性求参数值
例1．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由题可得函数为奇函数，然后利用即得.
【详解】由已知得的定义域为且是奇函数，
，
解得，
检验：当时，，
，
故
故选：B.
例2．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义可求得，利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程.
【详解】为偶函数，，
即，，解得：，
，则，，
，在点处的切线方程为，即.
故选：A.
考点二：定义法判断证明函数的奇偶性
例3．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义判断各选项是否为奇函数，再判断各函数的单调性即可.
【详解】对于A选项，因为时，，时，，所以函数不是奇函数，A错误；
对于B选项，因为时，，时，，所以函数不是奇函数，B错误；
对于C选项，记，则，所以函数为奇函数，
但时，，时，，所以函数在上不单调递增，C错误；
对于D选项，设，则，所以函数为奇函数，
又函数在上都为增函数，所以函数在上为增函数，D正确；
故选：D．
例4．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】若，则，
则是偶函数，故A错误；
若，则,则是偶函数，故B错误；
若，则，则是奇函数，故C正确；
若，则，
则是偶函数，故D错误.
故选：C
考点三：利用函数奇偶性解抽象函数不等式
例5．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解.
【详解】由于 是偶函数，
又因为时，为增函数，
所以，
有 ，即；
故选：D.
例6．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，，
所以当时，，当时，，
所以由，可得或
解得或，即，
故选：C.
考点四：对称性，周期性，单调性与奇偶性综合问题
1.奇偶性与周期性综合问题
例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且满足.若，则（ ）
A．0B．4C．1010D．1012
【答案】A
【分析】通过为奇函数，，可以得到函数的周期性为4，，即可根据周期求值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，且，
又因为，所以，则，
又，所以，所以的周期为4，
对于，令，得；
令，得，且，
所以，所以
，
故选：A.
2.单调性与奇偶性综合问题
例8．已知函数，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数的解析式求出函数的定义域，设，分析可得为奇函数且在上为增函数，据此⇒，解可得a的取值范围．
【详解】根据题意，函数，有0，解可得，即函数f（x）的定义域为，
设，则，则函数为奇函数；
分析易得在上为增函数，
⇒ ⇒⇒⇒，
解可得：a＜0，即a的取值范围为.
故选：C．
3.对称性与奇偶性综合问题
例9．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】结合函数的奇偶性、对称性等知识求得正确答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以，
由于是偶函数，图象关于轴对称，
所以的图象关于直线对称，
所以，
，
所以.
故选：B
4.利用周期性求函数值
例10．已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．－3B．3C．－1D．1
【答案】D
【分析】根据，可得，从而可得函数的周期，再根据函数的周期性计算即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
则.
故选：D.
例11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数关系式和函数奇偶性可推导得到是周期为的周期函数，再结合，可求得所求函数值之和.
【详解】由得：，
又为上的奇函数，，，
，即，是周期为的周期函数，
，，
.
故选：B.
一、单选题
1．已知函数，，若，则（ ）
A．－2B．－3C．2D．3
【答案】D
【分析】构造并判断奇偶性，根据及函数奇偶性即可得结果.
【详解】令，，则，
所以为奇函数，
由，即，
所以，
结合奇函数的性质知：，得.
故选：D
2．下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求解定义域，判断定义域是否关于原点对称，再根据函数是否满足，做出判断.
【详解】对于 A 项，，定义域为R，，所以为偶函数，A错误；
对于 B 项，定义域为R，，所以为偶函数，B错误；
对于C项，的定义域为，
且，故不是偶函数，C正确；
对于 D 项，的定义域为R，
且，
所以是偶函数，D错误.
故选：C.
3．若函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由偶函数的性质且，可得,时的取值范围，再将目标式转化可得 或，求解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，所以，
所以在上，时的取值范围是 ，
又由偶函数的对称性可知，在上，的的取值范围是，
则时的取值范围是 ，
所以 或
解得的取值范围为 ，
故选：C
4．奇函数是定义域为上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，还需注意函数的定义域，解得即可.
【详解】解：因为是定义域为上的增函数，且为奇函数，
则不等式，即，
等价于，解得，即，
即实数的取值范围是.
故选：B
5．若是上周期为的奇函数，且满足，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性与周期性求值.
【详解】由函数是上周期为的奇函数，
可知，，
所以，
故选：C.
6．已知定义在R上的函数满足，为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据为偶函数，得到，再结合，得到，故函数的一个周期为4，故可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，所以．
又，所以，
所以，所以函数的一个周期为4，
所以．
故选：A．
7．已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和周期性即可得到答案.
【详解】因为为奇函数，所以①，
因为为偶函数，所以，
用替换得到②.
在②中，用替换得到，即，
代入①式得：，即，
的周期为4，所以.
故选：C
8．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；
对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.
故选：D.
9．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得在上单调递减，再根据偶函数的性质得到在上的单调性，根据单调性与奇偶性判断即可.
【详解】解：因为对任意的，有，
所以在上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则，
又，所以.
故选：A
10．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据所给条件结合函数的奇偶性赋值求解.
【详解】因为是奇函数，所以，
令可得，
又因为是偶函数，所以，
令则有，
中令可得，
所以，
故选:A.
11．已知函数 对任意实数x都有 且 ，则 等于（ ）
A． B．0C．3D．6
【答案】B
【分析】根据题意可推出即，可得函数是奇函数，利用赋值法求得以及，继而根据推得函数的周期，由此利用周期求得的值.
【详解】因为对任意实数x都有函数满足，即，即，
所以函数是奇函数，
对于，令，则可得；
由，令得，，
即 ，
所以，即，
所以 ，即12为函数的周期，
所以 ,
故选：B．
12．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性和函数的对称性，推出的周期为，再根据周期可求出结果.
【详解】因为函数是偶函数，所以，
因为函数的图象关于点成中心对称，所以，所以，
将换为，得，
又，所以，
将换为，得，
所以，
将换为，得，所以是周期函数，且周期为，
所以.
故选：C
13．若定义在上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性,结合对称性,可以求出函数的周期,再分别求函数值即可.
【详解】因为为偶函数,所以,
又因为,所以,
即,即得,,
故,所以的周期为.
的图像关于对称,且的图像关于对称;
函数值不可知,故选项错误
因为,令得,因为的周期为.
所以,即,故选项错误; 故选项正确;
故选: .
二、多选题
14．若定义域为R的函数满足为奇函数，且对任意，都有，则下列正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．在 R上是增函数
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BD
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
【详解】对A，因为定义域为R的函数满足为奇函数，所以函数关于对称，A错；
对B，因为对任意，都有，所以在上单调递增，根据函数的对称性可知在R上单调递增，B对；
对C，由关于对称可知，C错；
对D，因为为奇函数且定义域为R，所以，∵在R上单调递增，由可得，D正确．
故选：BD．
15．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A．的对称中心为
B．的对称轴为直线
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．
【详解】因为为偶函数，所以，
所以图象关于直线对称，故A错误，B正确；
又在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，故C正确；
由不等式结合的对称性及单调性，得，
即，即，解得或，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD．
16．已知函数对任意实数，都满足，且，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．
【答案】AC
【分析】令可得，从而可判断B；令可判断A；令，可得，令可判断C；由AC的解析可得函数的周期为2，从而可判断D.
【详解】在中，
令，可得，即，解得，故B错误；
令可得,即，
故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；
令，则，故，
令，可得,
故，故C正确；
因为是偶函数，所以，故,
即，
所以,所以，故函数的周期为2，
因为，，所以，.
所以，故D错误.
故选：AC.
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．为周期函数，且4为的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令中，即可得出答案；
对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A选项：令，得，故A正确.
B选项：令，则，因此，
又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误.
C选项：令，则，
所以，因此，
所以为周期函数，且周期为4，故C正确.
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
18．（2023·吉林长春·校联考一模）若为奇函数，则实数______.
【答案】
【分析】根据奇函数定义结合指数运算求解.
【详解】若为奇函数，则，
故，解得.
故答案为：1.
19．若函数是偶函数，则__________．
【答案】1
【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得的值即可.
【详解】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
20．已知函数，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【分析】判断的奇偶性、单调性，结合已知不等关系得，即可求范围.
【详解】由，且定义域为R，
所以为奇函数，则，
根据在R上均为减函数，故也为减函数，
所以，则.
故答案为：
21．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
22．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为________．
【答案】
【分析】根据函数为奇函数,由已知得函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，可得函数大致图象，结合图象即可得解集.
【详解】已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，
不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
23．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为______.
【答案】
【分析】构建函数，根据题意分析可得函数为偶函数，在上单调递增，则函数在上单调递减，将不等式整理可得，结合函数的单调性和奇偶性运算求解.
【详解】∵，则，
故函数为偶函数，
对于上的，不妨设，则，
由可得，即，
故函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
对，则，即，
则，即，解得，可得或，
故不等式的解集为.
故答案为：.
24．已知定义在R上的奇函数满足恒成立，且，则的值为______．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性得到，且，结合函数的周期和，求出，得到答案.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，
故，且，
又，所以，
且，
当时，，故，解得：，
种，当时，，
又，所以，
故.
故答案为：-1奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,∀x∈I,都有-x∈I,且
f(-x)=f(x)
关于y轴对称
奇函数
f(-x)=-f(x)
关于原点对称
考点一
利用函数奇偶性求参数值
考点二
定义法判断证明函数的奇偶性
考点三
利用函数奇偶性解抽象函数不等式
考点四
对称性，周期性，单调性与奇偶性综合问题