新高考数学一轮复习考点分类提升 第45讲 排列与组合（1）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
3.排列与组合的概念
4.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
(3)公式：
①，
②，
(4)性质：
①，②，③，④，
5. 分组分配问题
(1)分组问题属于“组合”问题:
①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,因此分组后一定要除以;
②对于部分均分,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以;
③对于不等分组,只需先分组,后排列.
(2)分配问题属于“排列”问题:
①不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;
②限制条件的分配问题采用分类法求解.
考点一：分类分步问题
例1．（2023·安徽合肥·二模）某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．52种
【答案】B
【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.
【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：
相同的课程为“数学文化”时，有种，相同的课程不是“数学文化”时，有种，
所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种，
当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有,
所以，两位同学不同的选课方案有，
故选：B.
考点二：特殊元素（位置）法
例2．（2023·辽宁·校联考二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．14种B．16种C．18种D．20种
【答案】C
【分析】可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.
【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有种可能.
故选：C.
例3．（2023·湖北·统考二模）用组成没有重复数字的四位数，其中能被15整除的有（ ）
A．38个B．40个C．42个D．44个
【答案】A
【分析】四位数能被15整除即能被5整除，且能被3整除. 能被5整除则个位为0或者5，能被3整除则所有位数之和为3的倍数.又千位不能为0，通过限制条件分析即可.
【详解】由题意，四位数能被15整除即四位数的个位为0或者5，且所有位数之和为3的倍数.
个位为0时，其他三位可以为1、2、3或1、3、5或2、3、4或3、4、5，故有个；
个位为5时且其它3位没有0时，可以为1、2、4，有个；
个位为5时其它3位有0时，0只能做十位或百位，其他两位为1、3或3、4，共有个；
故共有个
故选：A.
考点三：间接法
例4．（2022·河南商丘·校联考三模）已知甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，每名志愿者只能参加1个比赛项目的服务工作，则乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】使用间接法，若求乙、丙不在同一个比赛项目服务的安排方法，在所有的安排方法中排除乙、丙在同一个比赛项目服务的安排方法．
【详解】甲、乙、丙3名志愿者参加2022年杭州亚运会的3个比赛项目的服务工作，有种安排方法；
而乙、丙在同一个比赛项目服务，有种安排方法，
所以乙、丙不在同一个比赛项目服务的概率为．
故选：C．
考点四：分组分配问题
1.不平均分组问题
例5．（2023·四川乐山·统考三模）将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．6种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【分析】选2人去一个场馆，其余2人各去一个场馆，即可得．
【详解】由题意有且只有2名志愿者去一个场馆，因此不同的分配方案数为，
故选：C．
2.平均分组问题
例6．（2023·全国·学军中学校联考二模）大学生志愿服务西部计划（简称西部计划）是经国务院常务会议决定，由共青团中央､教育部､财政部､人力资源社会保障部共同组织实施的一项重大人才工程.现招募选派一定数量的西部计划全国项目志愿者到西部地区基层工作，某大学计划将6名志愿者平均分成3组，到3个不同地点服务，若每组去一个地点，每个地点都有人服务，且甲､乙两名志愿者在同一个地点服务的分配方案有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．144种
【答案】A
【分析】根据题意先分组，再排列即可得解.
【详解】先分组，甲乙一组，其余4人再平均分两组，最后再排序，种；
故选：A
3.部分平均分组问题
例7．（2023·山东青岛·统考二模）某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（ ）
A．300种B．210种C．180种D．150种
【答案】D
【分析】根据部分均匀分组分配求解即可.
【详解】由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有种.
故选：D.
一、单选题
1．（2023·河南开封·统考三模）从3名男生，2名女生中随机抽取2名学生到社区当志愿者，则正好抽取1名男生、1名女生的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据排列组合以及古典概型的计算公式即可求解.
【详解】从5个人中随机抽取2人，总共有种，正好1个男生一个女生的情况共有,所以概率为 ，
故选：D
2．（2023·陕西榆林·统考三模）某省将从5个A类科技项目、6个B类科技项目、4个C类科技项目中选4个项目重点发展，其中这3类项目都要有，且A类项目中有1个项目已经被选定，则满足条件的不同选法共有（ ）
A．96种B．144种C．192种D．206种
【答案】C
【分析】按照A类项目选2个、选1个进行分类，结合组合知识求解.
【详解】若A类项目选2个，则不同选法共有种；若A类项目选1个，则不同选法共有种．故满足条件的不同选法共有种．
故选：C
3．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ）
A．21种B．30种C．42种D．60种
【答案】C
【分析】把4人分成2个组，选择2个社团，把2个组分配给2个社团.
【详解】4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2 人，有种方案，
3个社团选择2个社团，有种方案，
把2个组分配给2个社团，有种方案，
由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有种．
故选：C
4．（2023·河南开封·统考三模）将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ）
A．24B．50C．72D．150
【答案】D
【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案.
【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有；
则不同分法为60+90=150种.
故选：D
5．（2023·辽宁大连·统考一模）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先讨论分书的总方法，再求概率即可.
【详解】解：可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有（种）方法；
②“1，2，3型”，有（种）方法；
③“1，1，4型”，有（种）方法，所以一共有（种）方法．
甲得到4本方法，.
故选：A
6．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】C
【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.
【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，
②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，
所以不同的安排方法有种.
故选：C
7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）
A．2640B．1440C．2160D．1560
【答案】D
【分析】先分组再排序即可.
【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，
所以不同安排方案的总数为.
故选：D.
8．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为（ ）
A．60B．90C．120D．150
【答案】D
【分析】这是不同元素的分配问题，先按不同情况分好组，再排列.
【详解】分两种情况：①将5张分别写有一种书体的临摹纸分为
1，1，3组，共有种分法；
②将5张分别写有一种书体的临摹纸分为
2，2，1组，共有种分法.
所以不同的分法种数为60+90=150.故A，B，C错误.
故选：D.
9．设直线方程，从中每次取两个不同的数作为的值，则所得不同直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用任取个不同的数字作为的所有情况，减掉重复直线的条数即可得到结果.
【详解】从个数字中任取个不同的数字作为，共有种情况；
当时，对应的直线相同，则有条重复直线；
当时，对应的直线相同，则有条重复直线；
当或时，对应的直线相同，则有条重复直线；
不同直线的条数为.
故选：B.
10．如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220B．200C．190D．170
【答案】C
【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.
【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个，
故选：C.
11．（2023·全国·高三专题练习）从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为（ ）
A．336B．252C．216D．180
【答案】C
【分析】先用排除法，由8艘舰艇选3艘，减去3艘全是护卫舰的选法即得选法，然后安排它们去担任不同的任务．
【详解】由题意方法数为，
故选：C．
12．从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为（ ）
A．9B．10C．18D．20
【答案】A
【分析】先得到从3名男生和2名女生中选出3人的方法数，再减去只选男生的方法数即可.
【详解】解：从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛一共有种选法，
从3名男生中选出3人的方法有种，
所以选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为种，
故选：A
13．（2023·四川成都·统考二模）某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】基本事件总数为，大学恰好被选中的基本事件为：，根据古典概型概率公式即可求解.
【详解】依题意，
在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：，
大学恰好被选中的基本事件为：，
所以大学恰好被选中的概率为：.
故选：B.
14．已知共个人，从中选1名班长1名副班长，但不能当班长，不能当副班长，不同的选法总数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分当班长和不当班长两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：当当班长时，有选法，
当不当班长时，有种选法，
所以不同的选法总数是种.
故选：C.
15．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下的三门，由此计算出正确答案.
【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，方法有种，
再排剩下的三门，方法数有种，
故总的方法数有种.
故选：C
16．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.
【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得种不同的涂色方法.
故选:C
17．（2023·云南·校联考二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】所有的涂色方案分3类，利用排列组合求出涂色方法，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】所有的涂色方案分3类：
(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为；
(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为；
(3)用到五种颜色，涂色方法为；
因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是.
故选：B．
18．在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）
A．105种B．210种C．260种D．315种
【答案】A
【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案.
【详解】由题可知，不同的路线有种．
故选：A
19．如图，沿着网格线，先从点A到点B，然后经过点C，到达点D的最短的路径的条数为（ ）
A．720B．480C．360D．240
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算即可求解.
【详解】从A点到B点需要向右走3段，向上走3段，共有种，
从B点到C点，向下走1段，向右走2段，共种，
从C点到D点，向右走2段，向上走2段，共种，
因此，从A点到D点的最短路径的走法有种．
故选：C．
20．夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23B．24C．25D．26
【答案】D
【分析】先求出由到的最短路径的条数，然后求出由到且经过的最短路径的条数，最后相减即可.
【详解】由到的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有条路，
由到的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有条路，
由到的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有条路，
所以由到不经过的最短路径有.
故选：D.
21．某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】根据题意，按甲是否在道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有种排法，
②若甲不在道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，
此时有种安排方法，
故共有种不同的安排方法，
故选：B．
二、填空题
22．将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）.
【答案】
【分析】利用先分组后排序的方法求出总的情况数，然后求出对立面编号为1，2号小球放在同一个盒子的情况数，总的减去对立面的情况数即可.
【详解】由题意得4个小球有2个放在一个盒了里的种数是，
把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有种结果，
而编号为1，2号小球放在同一个盒子里有种结果，
所以编号为1，2的小球不放到同一个盒子里的种数是.
故答案为：30.
23．（2023·安徽·校联考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．
【答案】14
【分析】根据特殊元素法进行安排即可.
【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为．综上，不同的安排种数为14．
故答案为：.
24．（2023·河南新乡·统考三模）为了参加学校组织的米接力赛，某班挑选甲、乙、丙、丁4名员进行训练，现要求甲、乙必须安排交接棒，但甲、丙不能安排交接棒，则不同的交接棒顺序有__________种.
【答案】8
【分析】应用分类计数原理结合排列数计算求解即可.
【详解】若甲第一棒，则乙必须第二棒，此时有种交接棒顺序；
若甲第二棒，则乙必须第一棒或者第三棒，此时丙只能在第四棒，所以有2种交接棒顺序；
若甲第三棒，则乙必须第二棒或者第四棒，此时丙只能在第一棒，所以有2种交接棒顺序；
若甲第四棒， 则乙必须第三棒，此时有种交接棒顺序.
故共有8种不同的交接棒顺序.
故答案为：8.
25．（2023·山西运城·统考三模）2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.
【答案】
【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.
【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；
（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，
故所求的概率为.
故答案为：
26．（2023·安徽马鞍山·统考三模）甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为________．
【答案】/0.25
【分析】6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，故每名同学去哪个社区之间相互独立，只需考虑甲乙即可.
【详解】设4个社区分别为A、B、C、D，
由题意，每名同学去A、B、C、D这4个社区任意一个的事件相互独立，甲同学有4中情况，乙同学也有4中情况，根据分布乘法共有种情况.
如甲乙到同一社区，则有A、B、C、D，4个社区中选择一个共4种情况.
故甲、乙选到同一个社区的概率为，
故答案为：.
27．（2023·四川宜宾·统考三模）甲，乙，丙3名大学生分到A，B两个学校实习，每个学校至少分到1人，则甲，乙二人在同一个学校实习的概率是______．
【答案】
【分析】利用捆绑法结合古典概型分析运算.
【详解】每个学校至少分到1人，共有种不同的安排方法，
甲，乙二人在同一个学校实习，共有种不同的安排方法，
所以甲，乙二人在同一个学校实习的概率是.
故答案为：.
28．（2023·重庆·统考二模）饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为___________.
【答案】
【分析】首先将所求事件分类，再根据组合公式，古典概型公式求解.
【详解】由条件可知，舀到的有1个白菜，2个韭菜，或是2个白菜，1个韭菜，
所以概率.
故答案为：.名称
定义
排列
从n个不同元素中取出个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
考点一
分类分步问题
考点二
特殊元素（位置）法
考点三
间接法
考点四
分组分配问题