新高考数学一轮复习考点分类提升 第53讲 二项分布、超几何分布与正态分布（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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一、二项分布
1.伯努利试验与n重伯努利试验
(1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.二项分布
(1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 .
(2)均值和方差：若，则.
(3)当时，随机变量X服从两点分布，此时.
二、超几何分布
1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
其中.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
2.均值：设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则，即 .
三、正态分布
1.正态密度函数及其图象
(1)正态密度函数的解析式为.
(2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线.
2.正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布.
3.正态曲线的特点
(1)曲线在x轴的上方，曲线与x轴围成的面积总为1;
(2)曲线是单峰的，它关于直线对称;
(3)曲线在处达到峰值
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
4.3σ原则
假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.特别地，，，.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为3σ原则.
考点一：二项分布问题
例1．（2023春·北京房山·高二统考期中）已知随机变量，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·模拟预测）某学校高一年级进行趣味投篮比赛，规定投进球加2分，没有投进扣1分，已知李同学投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，则经过5次投篮后李同学得分超过5分的概率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则（ ）
A．B．C．D．1
例6．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示．
(1)若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；
(2)用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望．
考点二：超几何分布问题
例7．（2023·四川成都·校考三模）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为则（ ）
A．B．1C．D．2
例9．（2023·天津·天津市滨海新区塘沽第一中学校联考模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为_______________________________.
考点三：正态分布问题
例10．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·江西·校联考二模）某地市在2023年全市一模测试中，全市高三学生数学成绩服从正态分布，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023春·四川绵阳·高二校考期中）某地区高二理科学生有28000名，在一次模拟考试中，数学成绩服从正态分布，已知，则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有（ ）
A．11200人B．8400人C．4200人D．2800人
例13．（2023·辽宁大连·统考一模）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16
例14．（2023·山东济南·统考三模）已知随机变量，其中，则___________.
例15．（2023·全国·高三专题练习）某单位为了解职工对垃圾回收知识的重视情况，对本单位的200名职工进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50名，统计其考核成绩（单位；分），制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这50名职工考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到0.01）；
(2)若该单位职工的考核成绩服从正态分布，其中“近似为50名职工考核成绩的平均数近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该单位200名职工考核成绩高于90.06分的有多少名？（结果四舍五入保留整数.）
附参考数据与公式：，，则，，.
一、单选题
1．据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（ ）
（参考数据：若，则，，．）
A．B．C．D．
2．若，则当，1，2，…，100时（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·天津·三模）某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A．的数据较更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D．
4．若，则（ ）
A．3B．4C．D．
5．设随机变量，若，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
7．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘含有20%左右的有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘盐的质量X(单位：克)服从正态分布N(400，4)，某顾客购买了4袋海藻碘盐，则至少有2袋盐的质量超过400克的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．某区4000名学生参加了高考模拟统一测试，已知数学考试成绩服从正态分市，统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______.
9．（2023·江西南昌·统考三模）小明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法中正确的序号是______.①；②；③若小明计划前到校，应选择坐公交车；④若小明计划前到校，应选择骑自行车
10．（2023·重庆·统考三模）已知随机变量，若，则______．
11．已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________.
12．（2023·山东滨州·统考二模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则的方差________．
13．（2023·辽宁大连·统考三模）已知随机变量，且，则__________.
三、解答题
14．（2023·全国·模拟预测）2023年是我国改革开放45周年，改革开放以来，我国发生了翻天覆地的变化，居民消费水平也得到了大幅提升．调查得到某市居民周末消费金额（单位：元）的频率分布直方图如图所示．
(1)求该市居民周末人均消费金额（每组数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，从该市居民中随机选取3人进行周末消费习惯调查，这3人中周末消费金额在的人数记为，求的分布列与数学期望．
15．（2023·海南海口·统考模拟预测）海口市某中学一研究性学习小组为了解海口市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），寒假期间对游览某签约景区的100名海口市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均低于6000元的概率；
(2)若海口市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）假定海口市常住人口为300万人，试估计海口市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在海口市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值.
附：若，则，，.
16．某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．
(1)每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？
(2)现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．
17．铅球起源于古代入类用石块猎取禽兽或防御攻击的活动．现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目．男、女铅球分别于1896年、1948年被列为奥运会比赛项目．为了更好地在中小学生中推广推铅球这项体育运动，某教育局对该市管辖内的42所高中的所有高一男生进行了推铅球测试，测试结果表明所有高一男生的成绩（单位：米）近似服从正态分布，且，．
(1)若从所有高一男生中随机挑选1人，求他的推铅球测试成绩在范围内的概率；
(2)从所有高一男生中随机挑选4人，记这4人中推铅球测试成绩在范围内的人数为，求的分布列和方差；
(3)某高一男生进行推铅球训练，若推（为正整数）次铅球，期望至少有21次成绩在范围内，请估计的最小值．考点一
二项分布问题
考点二
超几何分布问题
考点三
正态分布问题
男学生
女学生
合计
关注度极高
45
40
85
关注度一般
5
10
15
合计
50
50
100
组别
频数
3
4
8
11
41
20
8
5