新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第51讲 二项式定理（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2.二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
3.两个常用的二项展开式：
①（）
②
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
二、二项式展开式中的最值问题
1.二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
2.系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
三、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【常用结论】
奇数项的系数和与偶数项的系数和
①5当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
②当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
二、题型分类精讲
题型一 二项展开式中的特定项问题
策略方法 形如(a＋b)n的展开式问题
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（单选题）已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2B．-2C．8D．-8
【答案】B
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】展开式的通项为：，
取得到常数项为，解得.
故选：B
【典例2】（单选题）二项式展开式中含x项的系数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.
【详解】二项式的通项公式，
令，则.
则二项式展开式中含x项的系数是.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．在的展开式中，第四项为（ ）
A．160B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.
【详解】在的展开式中，
第四项为.
故选：D.
2．展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
【答案】B
【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.
【详解】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
3．的展开式中的系数为（ ）
A．40B．C．80D．
【答案】A
【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【详解】的展开式的通项，
令，解得，
所以，所以项的系数为，
故选：A
4．已知的展开式中的常数项是672，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】写出二项式通项，整理后让的次数为，得出的值，再根据题意常数项的系数列出等式方程即可得出的值.
【详解】展开式的通项为，令，得，∴常数项是，故．
故选：C
5．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为，
令，得，
所以二项式展开式中的常数项为．
故选：C.
6．若展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．12D．10
【答案】A
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】，
令，得，则时，取最小值.
故选：A
7．的展开式中的系数是126，则（ ）
A．2B．4C．1D．3
【答案】C
【分析】求出展开式通项，令，解出，即可得出答案.
【详解】展开式通项为，
令，解得，
因为的系数是126，所以，
解得，
故选：C.
二、填空题
8．二项式的展开式中的常数项为 .
【答案】240
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.
【详解】二项式的展开式通项为，
由，得，
所以所求常数项为.
故答案为：240
9．的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
【答案】960
【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．
【详解】因为，展开式的第8项为，
所以，的展开式的第8项的系数为960.
故答案为：960
10．二项式的展开式中的常数项是 .
【答案】
【分析】利用二项式的通项公式，即可求出结果.
【详解】二项式的通项公式为，
由，得到，所以二项式的展开式中的常数项是，
故答案为：.
11．若在的展开式中，第4项是常数项，则 ．
【答案】12
【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到，即可求得答案
【详解】设展开式中第项为，则，
又展开式中第4项是常数项，
∴时，，
∴
故答案为：12
12．设常数，若的二项展开式中的系数为144，则 ．
【答案】2
【分析】利用公式，令即可求值．
【详解】解：．
令，解得，
则，，解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．已知的展开式中的系数是，则 .
【答案】
【分析】结合二项展开式通项，根据的系数可构造方程求得结果.
【详解】因为展开式通项为，
令，则展开式中的系数为，
即，解得：或，又，.
故答案为：.
题型二 二项式系数问题
策略方法
二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
【典例1】（单选题）展开式中的各二项式系数之和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二项式的系数和可得出关于的等式，解之即可.
【详解】展开式中的各二项式系数之和为，解得.
故选：A.
【典例2】（单选题）．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二项式系数的性质得到，再写出展开式的通项，即可求出常数项.
【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以，
则展开式的通项为（且），
令，解得，
所以，即展开式中常数项为.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．160B．240C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式系数的性质求解即可.
【详解】因为，所以的展开式中二项式系数最大为，
即展开式的第4项，即.
故选：C．
2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值.
【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：A.
3．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则
又因为的展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的项的系数为．
故选：B.
4．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
5．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项.
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和，
即，由二项式系数性质可得；
因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项.
故选：C
6．二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
【答案】B
【分析】易知展开式中，含项的二项式系数为，再利用组合数的性质求解.
【详解】解：因为二项式为，
所以其展开式中，含项的二项式系数为：
，
，
，
，
，
.
故选：B
二、填空题
7．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【答案】
【分析】根据二项式系数和得到，再计算第三项的二项式系数即可.
【详解】展开式的二项式系数和为，故，
展开式中第三项的二项式系数为.
故答案为：.
8．若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案.
【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则.
则展开式中第项为.
令可得，则的系数为.
故答案为：
9．的展开式中含项的二项式系数为 .
【答案】
【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．
【详解】由题意知：通项为，
令，得，
所以的展开式中含项为第六项，
第六项的二项式系数为：．
故答案为：．
10．的展开式中二项式系数最大的项是 .
【答案】
【分析】根据二项式系数的性质即可知最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】的二项展开式有7项，其二项式系数为，由组合数的性质可知最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是.
故答案为：
11．已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 .
【答案】
【分析】根据题意求得，得到二项式为，结合展开式的通项，即可求解.
【详解】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得，即，即二项式为，
其展开式的通项为，
令，可得，即展开式中的系数为.
故答案为：.
12．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 .
【答案】14或23
【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得或.
【详解】由题意可得成等差数列，则，
即，
即，即，
解得或.
故答案为：14或23
题型三 二项展开式中各项系数的和问题
策略方法
常用赋值法，参考题型六
【典例1】（单选题）已知的展开式中所有项的系数之和为256，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】令，得到，即可求解.
【详解】由二项式的展开式中所有项的系数之和为256，
令，可得，解得.
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（ ）
A．1B．32C．0D．64
【答案】C
【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于，则就出参数，则赋值给即可求出展开式各项系数之和.
【详解】因为的展开式中常数项等于，
所以由，
当，
此时常数项为：，
所以，
令，其展开式各项系数之和为0，
故选：C.
2．已知的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（ ）
A．－756B．756C．－2268D．2268
【答案】D
【分析】利用赋值法结合条件可得，然后利用展开式的通项根据结合条件即得.
【详解】令可得展开式中所有项的系数和为，所以，
故，令，则，
所以展开式中的常数项为：．
故选：D．
3．已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为（ ）
A．28B．-28C．45D．-45
【答案】A
【分析】根据展开式各项系数之和可得的值，从而可得展开式的通项，进而可得的系数.
【详解】的展开式中各项系数之和为0
所以令得，则，
所以的通项为
所以展开式中的系数为.
故选：A.
4．已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，进而求得的值，由此得解.
【详解】因为的展开通项为
又因为第项与第项的系数相等，所以，
由二项式系数的性质知，则，故，
所以的二项展开式中所有项的系数之和为.
故选：C.
二、填空题
5．已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为 .
【答案】
【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和.
【详解】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得，
因此，二项式系数之和为.
故答案为：.
6．在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
【答案】16
【分析】由二项式系数的性质可求，再利用赋值法求各项系数和.
【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是16，
所以，故，
取可得二项式的展开式中各项系数和为，即16.
故答案为：16.
7．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
【答案】80
【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.
【详解】由题意，令，则，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以.
故答案为：
8．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为 ．
【答案】10
【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出，用通项公式求解即可.
【详解】因为的二项展开式的各项系数和为32，
令得：，解得，所以.
通项公式为：，
令，得：，
所以的系数为：.
故答案为：10
9．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为 .
【答案】240
【分析】由已知求得，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.
【详解】的展开式中，二项式系数和为，
令，得的展开式中，各项系数和为，
由题意可得，即，解得，
所以的展开式的通项为，
令，解得，故展开式的常数项为，
故答案为：240
10．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【答案】729
【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即，
设的各项的系数为，
则各项的系数的绝对值之和为，
即为中各项的系数的和，
令，，
即各项的系数的绝对值之和为，
故答案为：729
题型四 三项展开式的问题
策略方法
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（单选题）的展开式中，的系数为（ ）
A．80B．60C．D．
【答案】D
【分析】由题得，再利用二项式的通项即可得到答案.
【详解】，则其展开式通项为，
令，则的展开式中含的项为
，
所以的系数为，
故选：D．
【题型训练】
一、单选题
1．的展开式共（ ）
A．10项B．15项C．20项D．21项
【答案】B
【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.
【详解】∵，
由二项式定理可知，展示式中共有项，
∴的展开式共有项.
故选：B．
2．在的展开式中，的系数是（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】D
【分析】根据题意，的项为，化简后即可求解.
【详解】根据题意，的项为，
所以的系数是.
故选：D．
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．588B．589C．798D．799
【答案】B
【分析】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.
【详解】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8个1；②2个，1个，5个1；③4个，2个，2个1；
所以展开式中的常数项为.
故选：B.
4．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．D．30
【答案】A
【分析】将转化为，根据二项式定理求出含的项，即可得出答案.
【详解】因为的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
所以的展开式中含的项的系数为.
故选：A.
5．已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A．270B．C．330D．
【答案】D
【分析】令，得，得. 再根据二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】令，则，得.
所以，
又因为只有，展开式中有含的项，
所以的系数为.
故选：D
6．已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二项式定理可分别得到和展开式的通项，令即可讨论得到的取值，结合展开式通项，利用的系数构造方程即可求得的值.
【详解】展开式的通项为：，且；
展开式的通项为：，且；
令，则或，
的系数为，
解得：.
故选：A.
7．的展开式中的系数为12，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供，
余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供，
故的系数为，
∴，
∴，
故选：C
二、填空题
8．展开式中，项的系数为 .
【答案】
【分析】由二项式定理求解．
【详解】，∵的指数是3，∴得到，
∵的指数是2，得到，∴项的系数为.
故答案为：
9．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】原多项式中写出含的项，然后再从中写出含的项，即可得含的系数.
【详解】由含的项中对应的指数分别为，
所以，
对于中含的项为，
所以含的系数是.
故答案为：.
10．的展开式中，含的项的系数为 ．
【答案】
【分析】的展开式中，含的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.
【详解】的展开式中，含的项有以下两类：
第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2，即
第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，即
所以的展开式中含的项为，
故含的项的系数为.
故答案为：
11．展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项化简得常数项满足，即可代入求解.
【详解】的展开式的通项为 ， ,
令,则 或，或 ，
所以常数项为，
故答案为：
12．已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ．
【答案】2
【分析】表示有5个因式相乘，根据的来源分析即可求出答案.
【详解】表示有5个因式相乘，来源如下：
有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，
此时系数是，即，解得：
故答案为：.
13．在的展开式中，项的系数为 .
【答案】220
【分析】根据给定条件，分析展开式中项出现的情况，再列式计算作答.
【详解】的展开式通项，
当时，展开式中的最高指数小于12，而的指数小于等于，
因此中的指数是负整数，要得到项，当且仅当，
所以展开式中项的系数是展开式中项的系数.
故答案为：220
题型五 两个二项式乘积展开式的系数
策略方法
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（单选题）的展开式中含项的系数为（ ）
A．10B．12C．4D．5
【答案】A
【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.
【详解】的二项展开式的通项为，
当时，的展开式中含项为；
当时，的展开式中含项为；
所以的展开式中含项的系数为.
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．的展开式中，的系数为（ ）
A．200B．40C．120D．80
【答案】B
【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.
【详解】，
而展开式的通项为，
所以当时，的系数为，
当时，的系数为，
所以的系数为，
故选：B
2．的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取代入计算得到，确定展开式的通项，分别取和计算得到答案.
【详解】的展开式中各项系数之和为，令，可知，，
故，
展开式的通项为，
分别取和得到常数项为：，
故选：C
3．已知展开式中的系数为48，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：
的展开式中，
的系数为，
解得．
故选：A
4．的展开式中含的系数为（ ）
A．1872B．792C．495D．
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项，先计算中含的项和常数项，再分别和， 相乘即可.
【详解】的通项为
，，
令得；
令得.
所以的展开式中含的系数为.
故选:D.
5．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则展开式中的常数项为（ ）
A．12B．C．8D．10
【答案】A
【分析】根据上四分位数的计算可得，再根据，分别求解两项中的常数项求和即可.
【详解】因为，故取数据从小到大第5个数，所以.
则，
又中常数项为，的项为，
故展开式中的常数项为.
故选：A.
6．已知的展开式中的系数为80，则a的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得，结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】由题意可得，
对于的展开式可得，
令，解得，
故的展开式中的项的系数为；
对于的展开式可得，
令，该方程组无解，
故的展开式中没有项；
又∵的系数为80，则，解得．
故选：D.
7．的展开式中的系数为（ ）
A．18B．135C．540D．1215
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】，
的展开式的通项为.
因为的展开式中没有项，
的展开式中项为，
所以的展开式中的系数为540.
故选：C.
8．的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
所以．
令，解得，
．令，解得．
由题意，可知，
所以．
故选：D．
二、填空题
9．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】240
【分析】利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】在的展开式中，的系数为；
在的展开式中，的系数为；
所以在的展开式中，的系数为；
故答案为：240
10．在的展开式中含项的系数是 .
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，解得；令，解得.
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数是.
故答案为：
11．已知的展开式中的常数项为240，则 ．
【答案】3
【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出值.
【详解】的展开式的通项，
令得，令，无解，
所以的展开式中的常数项为，所以.
故答案为：3
12．已知的展开式中的常数项为240，则展开式中项的系数为 .
【答案】30
【分析】根据二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出，再求出指定项的系数得解.
【详解】的展开式的通项，
令得；令得（不符合题意），
因此的展开式中的常数项为，得，
所以的展开式中项的系数为.
故答案为：30
13．已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项展开式的通项公式求的系数.
【详解】依题意，解得，
的展开式的通项为，，
，其中不含有项，
的二项展开式中，当时，项的系数为，
可得的展开式中的系数为．
故答案为：．
14．展开式中的系数是 .
【答案】5
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得展开式中的项的系数，结合多项式相乘，即可求得答案.
【详解】由题意知项和展开式中的相乘出现项，
的通项公式为，
分别令可得项的系数为，
故展开式中的系数是，
故答案为：5
15．在的展开式中，系数最大的项为 .
【答案】
【分析】分别求出和展开式系数最大的项，即可得出答案.
【详解】因为的通项为，的通项为，
∵展开式系数最大的项为，
展开式系数最大的项为，
∴在的展开式中，系数最大的项为.
故答案为：.
题型六 赋值法
策略方法
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
【典例1】（单选题），则（ ）
A．41B．40C．D．
【答案】A
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令，得，
令，得，
所以，即.
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．，则（ ）
A．41B．40C．D．
【答案】A
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令，得，
令，得，
所以，即.
故选：A
2．若，则（ ）
A．1B．513C．512D．511
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果.
【详解】令，得，令，得，
所以，
故选：D
3．若，则（ ）
A．1B．-1C．15D．-15
【答案】A
【分析】采用赋值法，即令，即可求得答案.
【详解】由于，
故令，可得，
故选：A
4．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令求出，再令求出，即可得解.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
所以.
故选：A
5．若，则（ ）
A．257B．129C．D．
【答案】B
【分析】令得，令得，相减即得结论．
【详解】令，则，令，则，所以．
故选：B．
6．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法可求，据此可求的值.
【详解】令可得，
即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得或．
故选：A.
7．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】因为，
令得， ①，
令得， ②，
①②得，，
所以.
故选：B
8．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则含项的系数为（ ）
A．B．28C．D．35
【答案】C
【分析】设，然后代入，，可整理得奇数次幂项的系数之和，求得，即可求得答案
【详解】设,
则令,可得①，
令,可得②，
①②可整理得,解得,
所以,
所以含的项为,其系数为,
故选：.
9．已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（ ）
A．16B．32C．24D．48
【答案】D
【分析】应用二项式定理确定展开式中含的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和.
【详解】由展开式通项为，，
令，则；令，则；
所以的展开式中含的项为，
即，故，
设，
令，则，
令，则，
两式相加得.
故选：D
10．已知，则下列描述正确的是 （ ）
A．B．除以5所得的余数是1
C．D．
【答案】B
【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】对于A：令得：；令，得．
，因此A错误；
对于B：
，因此B正确
对于C：因为二项展开式的通项公式为，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对求导，
得到，
令，得到，令，得
所以，
所以选项D错误．
故选：B
二、填空题
11．已知，则 ．
【答案】5
【分析】利用赋值法求得的值，进而得解.
【详解】令得到，
所以，
故答案为：5.
12．若，则 .
【答案】15
【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.
【详解】不妨设，
令得，
令得，
所以.
故答案为：15.
13．已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为 ．
【答案】720
【分析】由偶数项的二项式系数之和为16，计算出，然后利用二项式展开式求特定项即可.
【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，
则有，
所以展开式中的项为：，
则展开式中的系数为：720.
故答案为：720.
14．若，则 .（用数字作答）
【答案】
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】因为，
令，则，
令，则，
两式相加得：，则.
故答案：.
15．已知，则 ．
【答案】24
【分析】利用赋值法进行求解即可.
【详解】在中，
令，得①，
令，得②，
令，得
①②，得，
故答案为：
16．已知,则 .（用数字作答）
【答案】33
【分析】令可得,令可得,令可得,两式相加得,再减去即可得出结果.
【详解】因为.
令,得;
令,得①;
令,得②;
①+②得,
所以.
故答案为:.
17．记，则 ．
【答案】
【分析】分别取和，所得式子作和即可整理得到结果.
【详解】取，则；
取，则；
两式作和得：，.
故答案为：.
18．设，则的值为 .
【答案】1
【分析】由，展开式中令和令，即可求解.
【详解】令有 ，令有，
故
故答案为：1
19．若，= .
【答案】
【分析】赋值法求系数和及，进而求目标式的值.
【详解】令，则，
令，则，
所以.
故答案为：①二项展开式中的特定项问题
②二项式系数问题
③二项展开式中各项系数的和问题
④三项展开式的问题
⑤两个二项式乘积展开式的系数
⑥赋值法