新高考数学一轮复习考点分类提升 第49讲 概率问题（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
2.事件的关系与运算
3.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的．
(3).
4.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件与，如果，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立.
5.条件概率及其性质
(1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率
(2)性质：设，则
①；
②如果和是两个互斥事件，则；
③设和互为对立事件，则；
④概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则.
6.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有.
7.常用结论
(1)已知和时，可直接利用概率的乘法公式求出.
(2)缩小样本空间法：借助古典概型概率公式，先求事件包含的样本点数，再求事件包含的样本点数，利用，求出.
考点一：互斥事件、对立事件与独立事件概率的求法
例1．甲、乙、丙三人各进行一次打靶，三人打中的概率分别为，则三人中至少有一人打中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】三人中至少有一人打中的对立事件是三人均打不中，运用间接法解决即可.
【详解】三人中至少有一人打中的对立事件是三人均打不中，
三人均打不中的概率为，
所以三人中至少有一人打中的概率为．
故选：A
考点二：古典概型问题
例2．（2023·山西晋中·统考三模）田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列出随机试验从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的样本空间，再确定事件田忌的马获胜所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，.
由题意可知，可能的比赛有方案有：
，，，，，，，，，共9种，
其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种，
则田忌的马获胜的概率为.
故选：A.
考点三：利用条件概率公式求解条件概率
例3．（2023·江苏·统考二模）已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，都出现了正面向上的结果，第3次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】记为3次抛掷的结果，.写出所有的样本点，设出事件，根据古典概型的概率公式，求出前两次正面向上的概率以及三次正面向上的概率，然后即可根据条件概率的公式，求出答案.
【详解】记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为1，反面向上为0，
记为3次抛掷的结果，.
则试验的所有结果可能为，，，，，，，，，共有8个样本点.
其中，前2次都出现了正面向上的结果，包含的样本点有，，共2个；
3次都为正面向上，包含的样本点有，共1个.
设前2次都出现了正面向上为事件，3次都为正面向上为事件，
则，，
显然，
所以，在前2次都出现了正面向上的结果下，第3次正面向上的概率.
故选：C.
例4．（2023·陕西西安·统考三模）羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.
【详解】由甲获胜的概率为，
而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，
所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为.
故选：A
考点四：利用全概率公式求解概率问题
例5．已知P（B）=0.3，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解.
【详解】由全概率公式可得：
可得，解得：.
则.
故选：A.
1． A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.3，则A，B不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．0.3B．0.46C．0.54D．0.7
【答案】C
【分析】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，根据A，B不去同一城市上大学的概率为即可求解.
【详解】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，
则,,
则A，B不去同一城市上大学的概率为.
故选:C.
2．某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下．
每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析男孩比女孩多的可能情况，结合互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】一个家庭中男孩比女孩多有三种可能：“1个小孩，且为男孩”、“有2个小孩，且为男孩”、“3个小孩，3个男孩或2个男孩”，
所以概率
.
故选：A.
3．（2023·全国·模拟预测）某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算.
【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为，
三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为，
所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为.
故选：A.
4．设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为和，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为和．则从市场上买到一个合格品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用概率加法公式求解即可.
【详解】买到一个合格品的概率.
故选：C
5．已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各模出一个球，下列结论错误的是（ ）
A．两个球都是红球的概率为B．两个球中恰有1个红球的概率为
C．两个球不都是红球的概率为D．至少有1个红球的概率为
【答案】C
【分析】根据独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件、对立事件逐项分析运算.
【详解】对于A：两个球都是红球的概率为，故A正确；
对于B：两个球中恰有1个红球的概率为，故B正确；
对于C：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球
所以概率为，故C错误；
对于D：至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，
所以概率为，故D正确；
故选：C.
6．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.4，摸出的球是红球或黄球的概率为0.9，则摸出的球是黄球或白球的概率为（ ）
A．0.7B．0.5C．0.3D．0.6
【答案】A
【分析】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，求出、的值，相加即可求解．
【详解】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，
所以，且，
所以，，
所以
故选:A.
7．（2023·四川成都·三模）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由乘法原理求得安排的方法总数及甲、乙两人被安排在同一个场馆的方法数，再由概率公式计算概率．
【详解】显然甲，乙两人被安排在同一个场馆的方法数为3，
而甲、乙两名志愿者可安排的总方法数为，
所以所求概率为，
故选：C．
8．（2023·江西·校联考二模）在区间与内各随机取1个整数，设两数之和为，则成立的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列出随机试验的所有样本空间，确定满足的样本点的个数，利用古典概型公式进行计算即可
【详解】设从区间，中随机取出的整数分别为x，y，
则样本空间为
，共15种情况，
不等式等价于，
设事件A表示，
则，共种情况，
所以．
故选：A.
9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出从长度为的5条线段中任取3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.
【详解】从长度为的5条线段中任取3条，共有种取法,
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有和以及,共3种,
故这三条线段能构成一个三角形的概率为,
故选：B
10．（2023·河北唐山·统考三模）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式可算出答案.
【详解】设事件表示从第一箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，
则，
故选：D
11．（2023·安徽·校联考三模）如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有M和正常工作的概率，再利用条件概率公式求解即可.
【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和正常工作，
因为并联元件、能正常工作的概率为，
所以，又，
所以．
即只有M和正常工作的概率为.
故选：C．
12．现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】合理设出事件，利用条件概率公式进行求解.
【详解】设选出的3人中，至少有1个女生为事件，则，
设选出的3人中，有1人是女生，2人是男生为事件，则，
则在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为
故选：A
13．（2023·安徽黄山·统考二模）先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“为奇数”，事件B=“，满足”，则概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】用表示第1次掷骰子得到的点数为，第2次掷骰子得到的点数为，掷两次骰子，基本事件的个数为：，
因为事件A=“为奇数”， 事件B=“，满足”， 记事件“为奇数，且”，所以事件包含的基本事件个数为：，事件包含的基本事件个数为：，
根据古典概率公式知，
，，
由条件概率公式知，，
故选：B.
14．在单词“warbarrier”中不放回地任取2个字母，则在第一次取到“a”的条件下，第二次取到“r”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在第一次取到“a”的条件下，还剩余个字母，其中“r”有个，计算得到概率.
【详解】在第一次取到“a”的条件下，还剩余个字母，其中“r”有个，故概率为.
故选：B
15．（2023·全国·校联考三模）某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占，中年人占，小朋友占，经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概率分别为0.6，0.2，0.1．现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为（ ）
A．0.21B．0.4C．0.42D．0.58
【答案】C
【分析】利用互斥事件和独立事件的概率求解.
【详解】解： 现从所有作品中任取一件，
则取到获奖作品的概率为．
故选：C
16．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为，且三家工厂的次品率分别为，则市场上该品牌产品的次品率为（ ）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.05
【答案】B
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；表示买到一件次品，
由题意有，
由全概率公式，得

.
故选：B.
17．有两箱零件，第一箱内装有10件产品，其中有2件次品.第二箱内装有20件产品，其中有3件次品，现从两箱产品中任意选一箱，然后从该箱中任意选取1个零件，则取出的零件是次品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用条件概率和全概率公式即得.
【详解】记事件A“被挑出的是第一箱”，事件B"被挑出的是第二箱”,事件C“被挑出的是次品”
，，，
由全概率公式得：
故选：C
18．（2023·陕西·统考二模），，，四人之间进行投票，各人投自己以外的人票的概率都是（个人不投自己的票），则仅一人是最高得票者的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定的得票数，分情况计算概率，求和即可.
【详解】若仅一人是最高得票者，
则的票数为，．
若的票数为，则；
若的票数为，则，，三人中有两人投给，剩下的一人与不能投同一个人，．
所以仅一人是最高得票者的概率为，
故选：C.名称
条件
结论
符号表示
并（和）事件
A发生或B发生
事件A与事件B的
并事件（或和事件）
（或）
交（积）事件
A发生且B发生
事件A与事件B的
交事件（或积事件）
（或）
互斥事件
为不可能事件
事件A与事件B互斥
对立事件
为不可能事件
为必然事件
事件A与事件B互为
对立事件
考点一
互斥事件、对立事件与独立事件概率的求法
考点二
古典概型问题
考点三
利用条件概率公式求解条件概率
考点四
利用全概率公式求解概率问题
X
1
2
3
0
P