新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第01讲 直接讨论法（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
①时，在恒成立，故在单调递减，
②时，由，解得：，
由，解得：，
故在单调递增，在单调递减；
（2）由（1）可得，当时，在单调递减，
，
当时，在单调递增，在单调递减，
（a），
令（a），，
易知函数（a）在单调递增，
又（1），
当时，（a），即，满足题意，
当时，（a），即，不满足题意，
综上所述的取值范围为，．
例2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），定义域为，．
当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减；
当时，，此时在上单调递减；
当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知：
当时，，解得；
当时，，在上恒成立；
当时，，
即，解得．
综上所述，．
例3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
当时，，又，
故，递增，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增；
（2），即，
时，递增，恒成立，
时，，
故，
令（a），（a），
故（a）递减，又，
故，
综上：，．
例4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1）函数的定义域为，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当，时，，
所以在单调递减，在，单调递增．
③若，则由得
当，时，；当，时，，
故在，单调递减，在，单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，
最小值为．从而当且仅当，
即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，
最小值为．
从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为，．
例5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1）由，
当时，，则在上递减，
当时，令得（负根舍去），
令得；令得，
所以在上递增，在上递减．
（2）当时，，符合题意，
当时，，因为，所以，
所以，所以，
当时，在上递减，
且与的图象在上只有一个交点，
设此交点为，，则当时，，故当时，不满足，
综上，的取值范围为，．
例6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），
，
①当时，恒成立，
在上单调递增，
②当时，，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
③当时，，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
（2）①当时，恒成立，
②当时，由（1）可得，
，，
③当时，由（1）可得：
，
，
，
综上所述的取值范围为，．
【同步练习】
1．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1），，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）若，因为，
取，则，
，，
此时，故此时不可能恒成立．
若，此时恒成立．
若，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值在处取到，即（a），
而．
显然当时，，，此时（a）．
当时，，，此时（a），故此时．
综上所述，的取值范围为，．
2．已知函数．
（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若时，，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，
，，
（1），又（1），
曲线在，（1）处的切线方程为：
，即．
（2）令，
则，
当时，恒成立，
即在上单调递增，（1），
①当时，（1），故在上单调递增，且（1），此时符合题意；
②当时，由（1）及在上单调递增，知，
使得，即，不符合题意，
综上，的取值范围是，．
3．已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求．
【解析】解：（1）证明：，
，
，
考虑到，，
所以①当，时，，此时，
②当，时，，所以单调递增，
所以，
所以函数单调递减，，
③当，时，，所以单调递增，
所以，
所以函数单调递增，，
当，时，，
综上所述，当时，．
（2）构造函数，
考虑到，，
，
，
由（1）可知：在时恒成立，
所以在，上单调递增，
①若，则在，为负，为正，
在，单调递减，递增，
所以，
而当时，，
故满足题意．
②若，，
因为，
所以，
由零点存在定理，必存在，，使得，
此时满足时，，单调递减，
所以，矛盾，舍去；
③若，，
因为当时，，
所以当时，，
此时必存在，使得，
此时满足，时，，单调递增，
所以，矛盾，舍去，
而当时，当，
所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．
综上所述，．
4．已知点，，，为坐标原点，设函数．
（1）当时，判断函数在上的单调性；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），，，
当时，，，
当时，，又，则，
所以在上递减；
（2）①当时，，对于，恒成立；
②当时，，设，
，因为，，所以，
在递增，又，
所以，所以在递增，且．
当时，，在递增，因为，所以恒成立；
当时，，因为在递增，
又当，，
则存在，对于，恒成立，
故在上递减，所以，当时，，不合题意．
综上可得，的取值范围是，．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）由，求导，
，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
6．已知函数．
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1）根据题意，当时，，其导数，
则切线的斜率，且，即切点的坐标为；
即切线方程为，即；
（2）函数，
其导数，其定义域为，
分3种情况讨论：
①，，即时，，有恒成立，符合题意；
②，当，即时，令可得：，
分析可得：在上，，为减函数；
在，上，，为增函数；
此时有，
若恒成立，必有，即，
解可得：；
③，当，即时，令可得：，
分析可得：在，上，，为减函数；
在，上，，为增函数；
此时有，
若恒成立，必有，即，
解可得：；
综合可得：的取值范围为，．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若无最小值，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），
．
①当时，时，；时，，
在上递减，在上递增；
②当时，，，时，；时，，
在上递增，在上递减，在上递增；
③当时，，在上递增；
④当时，，，时，；时，．
在上递增，在上递减，在上递增；
（2）①时，由（1）知：（1），与题意不符，舍去；
②时，，，由（1）知：
要使无最小值，则：，，；
③时，由（1）知：无最小值，符合题意；
④，时，，（a），由（1）知：
要使无最小值，则：，
令，，，
，令，，，
，在，上递增，（1），（2），
（1）（2），故在上恰有一个零点，设为，
时，，；，时，，即，
故在上递减，在，上递增，
又（1），（2），
因此，时，恒成立，则，．
综上，，．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围．
【解析】解：（1），
当时，，
由，解得：，由，解得：，
故在递减，在递增，
当时，令，解得：或，
设（a），（a），
当时，（a），当时，（a），
故（1），故，
由，解得：或，由，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
综上：当时，在递减，在递增，
时，在递增，在递减，在递增；
（2）当时，由（1）知，在递减，在递增，
故（a），解得：，
当时，，由（1）知在处取极大值，
设（a），
则（a），
，，（a），（a）在递减，
（a）（1），不合题意，
当时，，由（1）知在递增，
此时在无极值，不符合题意，
综上，的取值范围是．