新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第04讲 恒成立问题之端点不成立（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
【解析】解：，
所以．
考虑函数，
则
设，由知，
当时，．而（1），故
当时，，可得；
当时，，可得
从而当，且时，，
即．
设．由于当时，，故，而
（1），故当时，，可得，与题设矛盾．
设．此时，而（1），故当时，，可得，与题设矛盾．
综合得，的取值范围为，．
例2．已知函数的图象在点，（1）处的切线方程为．
（1）求在内的单调区间；
（2）设函数，证明：．
【解析】解：（1），
（1），
又（1），
，
，令得，
当时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增，
即在内的单调递减区间为，单调递增区间为，．
证明：（2），
设函数，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
（1），，
设函数，则，
设，则，
令得，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
则，
，函数单调递增，
，
，
即．
例3．已知函数（其中是自然对数的底数，，在点，（1）处的切线方程是．
（1）求函数的单调区间．
（2）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）对函数求导，得，
由条件可知（1），（1），解得，，
，，
令，得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由（1）知．
要使在上恒成立，等价于在上恒成立．
令，则只需即可．
，令，则，
在上单调递增，又，（1），
有唯一的零点，且，在上单调递减，在，上单调递增．
，，
两边同时取自然对数，则有，
即．
构造函数，则，
函数在上单调递增，
又，，即．
．
于是实数的取值范围是，．
例4．已知函数满足（1）．
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值．
【解析】解：（1）由（1），令，得（1）（1），所以；
令，得（1），所以（1）．
所以的解析式为．
因为单调递增，且，所以当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），
①当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，，与矛盾．
②当时，在，上递减，在，上递增，
所以
所以，又，
所以
令，则
所以在上递增，，上递减，即．
所以当时，取到最大值，为．
例5．已知函数．
（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
【解析】解：（1）当时，，
，（1），（1），
所以切线方程为，即．
（2）当时，，即，
令，
设，，，
当，，单调递增，
故，
所以当，，单调递减函数，
当，，单调递增，
所以（1），
所以，即实数的取值范围是，．
例6．已知函数．
（Ⅰ）若，求证：当时，；
（Ⅱ）若存在，使，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）证明：时，，
设，在递增，又（1），时，在递增，
时，（1），即，
时，，即．（6分）
（2）若存在，使，即
即存在，使．
设，则，
设，在，递增，
，所以在，恒成立，在，恒成立，
所以在，递增，所以时，，
需．（12分）
例7．已知函数．
（1）设函数，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）由已知得，故（1分）
①当时，，在上单调递增，（2分）
②当时，令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．（4分）
（2），
令，得，（5分）
设，则，（6分）
当时，，在上单调递增，
所以的值域是；（7分）
当时，没有实根，，在上单调递增，
所以，符合题意；（9分）
当时，，
所以有唯一实根，即有唯一实根，（10分）
当时，，在上单调递减，
所以，不符合题意；（11分）
综上所述，，即的取值范围是．（12分）
【同步练习】
1．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）函数，定义域为，
，
①当时，，在上单调递增，
此时的单调递增区间为，无递减区间；
②当时，令得舍去），
则时，，单调递减；，时，，单调递增，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为，，
综上所述，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）首先时，不等式成立，
由（1）得，
只需证当时，恒成立，
即证不等式恒成立，
令，则，
设，对称轴，
则（4），
记，则，
在，上单调递增，且（1），
，恒成立，
，
即实数的取值范围为，．
2．已知函数．
（1）若函数（其中是的导函数）在上单调递增，求的取值范围；
（2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）函数的导数，
，
在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故的取值范围为．
（2）当时，，
关于的不等式在，上恒成立，
，
设，则，
由的导数为，
可得时，，函数递增，
时，函数递减，
则，即，
当时，，
则在，递增，
可得，则，
即的取值范围是，．
3．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），
，
时，，函数单调递减，递减区间是；
时，，，函数单调递增，，，函数单调递减，
递增区间是；递减区间是；
（2）由（1）可知，时，恒成立；
时，（a），，，
综上所述，．
4．已知函数．
（1）求，求的单调区间及极值点；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）当时，函数，定义域为，
则，
当，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，函数取得极小值（2），无极大值，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值点2，无极大值点．
（2），
则，
，
，
令，定义域为，
则，
在上单调递增，且（1），
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，，
故实数的取值范围为，．
5．已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对时，恒有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），
当时，，
当或时，；当时，；
函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）设，
，， 时，．
①当，即时，令，
在，上是单调递增的，，在，上单调递增，
恒成立；
②当即 时，令，则；
当，时，，在，上是单调递减，
，
在，上单调递减，
这与恒成立矛盾．
综上，的取值范围是，．
6．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，恒有，求实数的取值范围．
附：，．
【解析】解：（1），
，
①若，在区间上恒成立，
函数在区间上单调递减；
②若，由，解得或；由，解得．
函数在区间，上单调递减；在区间上单调递增．
综上所述，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间，，，上单调递减；在区间上单调递增．
（2）由（1）知，．，．
①若，则，由，解得；由，解得．
函数在区间上单调递减；在区间，上单调递增．
当时，取得最大值为（1），
当时，恒成立．
②若，由，解得；由，解得或，
函数在区间上单调递增；在区间，，上单调递减．
当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极大值，极大值为（1）．
要使当时，，则需，解得．
，．
又，时，恒成立．
③若，由（1）知，函数在区间，上单调递减，又（1），
当时，，不满足题意．
④若，由（1）知，函数在区间，，上单调递减；在区间上单调递增．故当时，函数取得极小值，极小值为（1），不满足题意．
综上可知，实数的取值范围为．
7．已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数在，上的最大值和最小值；
（3）若对于任意的实数恒有，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）时，，，
，，
故切线方程是：，
即；
（2）当时，，，是偶函数，
函数在，上的最大值及最小值，
即为在，上的最大值及最小值，
此时，导数为，，
令，导数为，即递增，
即有，则，即在，递增，
时，取得最小值0，时，取得最大值，
则有函数在，上的最大值，
最小值为0；
（3）对于任意的实数恒有，即有，
即，显然，
时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况．
当时，，即为，
由，则，考虑的导数为，
即递减，即有，即，
则有，故，
即有，解得．
则实数的取值范围为，．
8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
令，则，△时，即，
方程两根为，，
，，
①当时，△，恒成立，的增区间为；
②当时，，，，时，，的增区间为；
③当时，，，当时，，单调递减，当，时，，单调递增；
综上，当时，的增区间为；
当时，的减区间为，增区间，．
（2），时，恒成立，即，
，
令，，
，
当，时，，单调递减；当时，，单调递减；
（1），，
则实数的取值范围时．
9．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数的单调区间；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），，，
，记，，
当时，，单减；
当时，，单增，
，
故恒成立，所以在上单调递增
（2），令，，
当时，，在，上单增，．
ⅰ当即时，恒成立，即，在，上单增，
，，所以．
ⅱ当即时，在，上单增，且，
当时，，
，使，即．
当时，，即，单减；
当，时，，即，单增．
，
，，由，．
记，，，
，在，上单调递增，
，．
综上．
10．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数的单调区间；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（本小题满分12分）
解：（1），，，
，记，，
当时，，单减；
当时，，单增，
，
故恒成立，所以在上单调递增．（4分）
（2），令，，
当时，，在，上单增，．
当即时，恒成立，即，在，上单增，
，所以．
当即时，在，上单增，且，
当时，，
，使，即．
当时，，即，单减；
当，时，，即，单增．
，
，由，．
记，，，
，在，上单调递增，
，．
综上，． （12分）