高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合当堂检测题

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【题型1 组合的概念及其判断】
1、（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）（多选）给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ）
A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数
D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；
而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选：AB.
2、（2022·高二课时练习）下列四个问题属于组合问题的是( )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【答案】C
【解析】根据组合的定义可知C正确，ABD是排列问题故错误.故选：C
3、（2021春·高二课时练习）给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，与顺序无关，
所以为组合问题.
②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数
只需选出3个数字，选出后顺序固定，不需要排序，所以为组合问题.
③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，因为两人之间只握手一次即可，
所以该问题与顺序无关，是组合问题.
所以①②③均与顺序无关，所以都是组合问题.故选：D
4、（2021春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）给出下列问题：
①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？
其中属于组合问题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于①，选出名同学后，分配到两个乡镇涉及到顺序问题，是排列问题；
对于②，选出人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于③，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题.故选：C.
【题型2 组合数的简单计算】
1、（2022春·河北张家口·高二统考期末）（ ）
A．2 B．22 C．12 D．10
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A.
2、（2022春·陕西西安·高二统考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，其中，，，.故选：B
3、（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）（多选）（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】.故选：CD．
4、（2022·高二课时练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， .故选：B．
5、（2023·高二课时练习）设，则______．
【答案】4或7或11
【解析】由组合数的意义可知：，解得：.
又，所以或或.
当时，；
当时，；
当时，.
故答案为：4或7或11.
【题型3 证明组合数恒等式】
1、（2022·高二课时练习）下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故A错误；
，C正确；
，B正确；
，D正确.故选：A.
2、（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考期中）（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确；故选：ACD
3、（2022·高二课时练习）（多选）对于关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C，因，因此成立，C正确；
对于D，因，即不成立，D不正确.
故选：ABC
4、（2022·全国·高三专题练习）利用组合数公式证明．
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，
，
所以．
5、（2022·高二课时练习）求证：.
【答案】证明见解析
【解析】，
所以等式成立.
【题型4 解组合数方程与不等式】
1、（2022秋·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）若，则实数x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2或6
【答案】D
【解析】由，得或，解得或，
所以实数x的值为2或6.故选：D.
2、（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知，则___________.
【答案】或
【解析】由组合数的性质可得，故或.
故答案为：或.
3、（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）若，则x的值为_______
【答案】4
【解析】由题设，，
整理得：，可得或，
又，故.故答案为：4
4、（2023·高二课时练习）关于n的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】不等式，
即不等式，解得，
又因且为正整数，所以关于的不等式的解集为.
【题型5 组合的简单应用】
1、（2022春·河南平顶山·高二统考期末）某医院住院部现有5个空床位，有3名儿童，4名老人需要住院治疗，如果安排2名儿童，3名老人入住，则不同的安排方式有（ ）
A．1260种 B．1440种 C．2400种 D．2520种
【答案】B
【解析】先从3名儿童选2名儿童，从4名老人选3名老人，有种选法，
再将5人安排到5个床位，有种排法，
再根据分布乘法原理可得不同的安排方式有种排法.故选：B.
2、（2022春·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）（多选）将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（ ）
A．若每位小朋友至少分得1支，则有种分法
B．若每位小朋友至少分得1支，则有种分法
C．若每位小朋友至少分得2支，则有种分法
D．若每位小朋友至少分得2支，则有种分法
【答案】BC
【解析】若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为.
则选项A判断错误；选项B判断正确；
若每位小朋友至少分得2支，则每位小朋友可先各发1支，剩下8支，
再由隔板法可得，不同的分法种数为.则选项C判断正确；
选项D判断错误.故选：BC
3、（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
【答案】A
【解析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区；
当按照3，3，1的方法分配则有；
当按照2，2，3的方法分配则有；
当按照1，1，5的方法分配则有；
把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有：
种不同的安排方式.故选：A
4、（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于的三元一次方程，且，则该方程有__________组正整数解.
【答案】
【解析】方程，且的正整数解的组数等价于
将个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数
则所求的正整数解的组数有
5、（2023·高二课时练习）（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？
（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？
（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？
【答案】（1）58；（2）48；（3）106．
【解析】（1）正方体顶点任取个点，共有种选法，
其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，故三棱锥共有个.
（2）四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，
每一种情况，剩余4个点对应4个四棱锥，故共有个.
（3）正方体的顶点为顶点的棱锥只有三棱锥和四棱锥，共有个