九年级上学期期末数学试题 (79)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (79)，共21页。试卷主要包含了 下列事件中是必然事件的为， 一元二次方程的根的情况是， 由二次函数y＝2， 如图，分别与相切于两点，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 下列事件中是必然事件的为（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 抛掷一枚骰子，朝上的一面点数恰好是5
C. 四边形有一个外接圆
D. 圆的切线垂直于过切点的半径
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、三点确定一个圆是随机事件；
B、抛掷一枚骰子，朝上的一面点数恰好是5是随机事件；
C、四边形有一个外接圆是随机事件；
D、圆的切线垂直于过切点的半径是必然事件；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式进行计算即可；
【详解】根据一元二次方程得，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
3. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图可知，黑色区域是圆面积的一半，设正方形的边长为，用黑色区域的面积除以正方形的面积即可.
【详解】设正方形的边长为，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选C．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4. 如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求解.
【详解】设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选A．
【点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
5. 由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（ ）
A. 其图象的开口向下B. 其图象的顶点坐标为（3，1）
C. 其图象的对称轴为直线x＝﹣3D. 当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断．
【详解】解：∵y=2 (x－3) 2 ＋1是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，
A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；
B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；
C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；
D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及函数的增减性和求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法；熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，B在A′B′上，CA′交AB于D，则∠ACD的度数为（ ）
A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转的性质可得BC=B'C，∠ABC=∠B'=70°，∠BCB'=∠ACD，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠ABC=70°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角a到△A'B'C的位置，
∴BC=B'C，∠ABC=∠B'=70°，∠BCB'=∠ACD，
∴∠B'=∠CBB'=70°，
∴∠BCB'=40°=∠ACD，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7. 将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ）
A. y＝﹣3（x＋2）2B. y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C. y＝﹣3（x＋1）2﹣1D. y＝﹣3（x﹣1）2＋3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度得y＝﹣3(x+2)2＋1，
抛物线y＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y＝﹣3(x＋2)2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
8. 如图，分别与相切于两点，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
【详解】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．
9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义则，再根据一元二次方程有实数根，则，即可得到的范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，本题的关键是理解一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
二．填空题：（每小题3分，共21分）
11. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
【答案】10
【解析】
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．
故答案为10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
12. 用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径等于_______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径．
【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：，
∴底面周长为：，
∴，
解得：R=3，
即：底面半径等于3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键．
13. 已知关于x的方程x2﹣6x＋k＝0的一个解是x＝2，则方程的另一个解是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系可得到，然后解一元一次方程．
【详解】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系可得：，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．
14. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______．
【答案】或
【解析】
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
15. 如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限．将等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B'的坐标是______．
【答案】（2，﹣2）
【解析】
【分析】作B′H⊥x轴于H，根据勾股定理求出HB′可得结论．
【详解】解：∵等边△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，
∴A'落在x轴正半轴，作B′H⊥x轴于H，
∵△OA′B′为等边三角形，OA′＝OB′＝OA＝4，
∴OH＝A′H＝2，
∴B′H＝，
∴B′点坐标（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是结合旋转的角度和构建直角三角形求出旋转后的点的坐标．
16. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】可求，由即可求解．
【详解】解：如图，，，，

，
，
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，面积法，会用面积转化是解题的关键．
17. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，AB=5，AC=4，则BD=____.
【答案】
【解析】
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=5，AC=4，OD⊥AC于点D，
∴BC=，CD=AC=2，
∴BD=.
即答案.
三．解答题（共69分）：
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）x﹣3＝x（x﹣3）
（2）3x2﹣5x＝2
【答案】（1）x1＝1，x2＝3
（2）x1＝2，x2＝﹣
【解析】
【分析】（1）利用因式分解的方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：x﹣3﹣x（x﹣3）＝0
（1﹣x）（x﹣3）＝0
1﹣x＝0或x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3；
【小问2详解】
解：3x2﹣5x﹣2＝0
a=3，b=﹣5，c=﹣2
△=
x1＝2，x2＝
【点睛】本题考查了因式分解法、公式法求解一元二次方程，掌握相关求解方法是解题关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2，1)，B(−4，1)，C(−2，4)．
（1）画出△ABC关于轴对称的△；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，并求出线段BC在旋转过程中所扫过的面积．（结果保留π）
【答案】（1）图详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．利用扇形的面积公式求出线段BC在旋转过程中所扫过的面积．
【详解】解（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
线段BC在旋转过程中所扫过的面积=
【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20. 如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门，
（1）若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米
（2）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？
【答案】（1）长为米，宽为米
（2）不能
【解析】
【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，根据鸡舍面积为平方米，列出方程并解答；
（2）利用鸡舍面积等于平方米得出一元二次方程，根据判别式可得出答案．
【小问1详解】
解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，
依题意，得：，
解得：，，
当时，（舍去），
当时，．
答：矩形鸡舍的长为米，宽为米．
【小问2详解】
当鸡舍面积等于平方米时，依题意，得：
，
整理得：，
∴，
∴所围成鸡舍面积不能为90平方米．
答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3
（1）图象的开口方向 ，顶点坐标 ；
（2）图象与x轴的交点坐标 ，图象与y轴的交点坐标 ；
（3）在直角坐标系中，画出它的图象；
【答案】（1）向上，（1，-4）
（2）（3，0）、（﹣1，0）；（0，﹣3）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向，根据顶点式可求顶点坐标；
（2）当y＝0，求出x可得与x轴交点的坐标，当x＝0，求出y可得与y轴交点的坐标；
（3）列表，然后描点连线可得函数图象．
【小问1详解】
解：∵a＝1＞0，
∴二次函数图象开口向上；
∵y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，
∴顶点坐标（1，−4）；
故答案为：向上，（1，−4）；
【小问2详解】
当y＝0，即x2−2x−3＝0时，
解得：x＝3或x＝−1，
∴二次函数图象与x轴交点的坐标是（3，0）、（−1，0）；
当x＝0，代入y＝x2−2x−3得：y＝−3，
∴二次函数图象与y轴交点的坐标是（0，−3）；
故答案为：（3，0）、（﹣1，0）；（0，﹣3）；
【小问3详解】
二次函数：y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，
列表：
描点并连线，如图所示：
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，通过配方法求顶点坐标，画函数图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据垂径定理，得出CM＝DM＝2cm，在Rt△COM中，有OC2＝CM2＋OM2，进而可求得半径OC．
【详解】解：连接OC，
∵EM过圆心，EM⊥CD，
∴CM＝CD，
∵CD＝4cm，
∴CM＝2cm，
设圆的半径是xcm，
在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴圆的半径长是cm．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，得出CM=2cm，是解题的关键．
23. 、、三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由将球随机地传给、两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．求两次传球后，球恰在手中的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在手中的只有1种情况，
∴两次传球后，球恰在手中的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，然后证明∠COD=∠DCO，即可得到结论．
【详解】证明：如图，连接OC，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠CAD=∠BAD，∠OCA=∠OCB，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB，
∠DCO=∠BCD+∠OCB，
∴∠COD=∠DCO，
∴△DCO是等腰三角形，
∴OD=CD．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆周角定理得到∠COD=∠DCO．
25. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为.
【解析】
【分析】（1）连接OF，AO，根据题意可得∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，再利用OB＝OF，证明AB∥OF，即可解答
（2）先利用等弧对等角求出△AOF是等边三角形，再证明S△ABF＝S△AOF，即可解答
【详解】(1)证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
(2)解：∵，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝.
【点睛】此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式和对称轴．
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝
（2）存在，P的坐标为（，﹣）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得
【小问1详解】
解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：

解得：
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
连接PB
由抛物线的对称性得：PA＝PB
∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，
即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直线BC的解析式为y＝x﹣2．
令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，
即点P的坐标为（，﹣）．
∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．