九年级上学期期末数学试题 (59)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (59)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形：一个图形沿某个点旋转180度，旋转后的图形与原图能够完全重合的；由此问题可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形，故不符合题意；
C、中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，
故选B；
【点睛】本题考查概率定义及树状图法求概率，解题的关键是正确理解概率的定义．
3. 方程经过配方后，所得的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法，直接利用配方法进行配方即可．
【详解】解：
移项得：，
配方得：，
合并得：
故选：D．
4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A. 与x轴相离，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交
C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离
【答案】A
【解析】
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：A．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
5. 已知、是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且，，则、的值分别是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用根与系数的关系，构建方程求解即可；本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解：、是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，
，．
又，，
，，
，．
故选：D．
6. 二次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、顶点所在象限进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故C、D错误；
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的顶点在第二象限，故A错误，B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵点，点，点到对称轴的距离分别为2、1、3，距离对称轴越近的点，函数值越小，
∴．
故选：B．
8. 四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：树状图如图所示，

一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，
故王明选中的卡片中有偶数的概率为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O在原点上，边在x轴的正半轴上，轴，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点的坐标，根据旋转得到每次旋转后的坐标，然后得到相应的规律，即可得到答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∵，，
∴，，
∴B的坐标为，
将绕点O顺时针旋转，第一次旋转后点，
第二次旋转后点，
第三次旋转后点，
第四次旋转后点回到了最开始的点，此时坐标为，
，
根据规律可得到第次旋转结束时，点的坐标为第三次旋转后点的坐标，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与旋转规律的问题，解题的关键是找到每次旋转后点的坐标，以及找到旋转的规律．
10. 定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，，再证明经过圆心，，分别求解，，，设的半径为，再分别表示、，，再利用勾股定理求解半径即可．
【详解】解：如图，当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，，
，，
，过圆心，，
，，．
，
设的半径为，
，
，
，
，
整理得：，
解得，
，
不符合题意，舍去，
当等弦圆最大时，这个圆的半径为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用等知识．熟练掌握以上知识是解本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
【详解】解：点关于原点对称点的坐标是．
故答案为：．
12. 如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．
13. 如图，直线与相切于点，直线与相交于点，连接．若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，如图，先利用切线性质得到，则根据三角形内角和得到，再根据圆周角定理得到，加上，所以，从而可求出的度数，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
【详解】解：连接，如图，
直线与相切于点，
，
，
，
，，
，
解得，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成面积（图中阴影部分面积）为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到，
，，
，
在中，，，
，
上式．
故答案为：．
15. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点与点也在该抛物线上下列结论：点的坐标为1,0；方程有两个不相等的实数根；；当为常数时，其中正确结论的序号是____．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据点与点也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点的坐标即可求出点坐标，可以判断选项；根据图象可知抛物线与有两个交点，可以判断选项；将，点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据，即可判断选项；根据对称性可知当时和时函数值相等都是，即可判断选项．
【详解】解：点与点也在该抛物线上，
该抛物线的对称轴为直线，
，
，故符合题意；
图象开口向上，与轴交于，两点，
抛物线与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故符合题意；
将，点坐标代入抛物线解析式，得，
解得，
，
，
，即，故符合题意；
，抛物线的对称轴为，
当时和时函数值相等，
∴当时，；当时，；
当时，，故不符合题意；
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，，E为边上一动点，以BE为边构造等边（点F位于下方），连接．①当时， __________°； ②点E在运动的过程中，的最小值为__________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】①连接、相交于点，连接，，根据矩形的性质和勾股定理可求得、的长，从而可得是等边三角形，从而可证，可知，结合可得，再根据三角形外角性质和等腰三角形性质即可求得；②根据①可知，点在上运动，结合垂线段最短可知当时，有最小值，根据，，从而可得，即可解题．
【详解】解：如图，连接、相交于点，连接，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
①是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
②，点在上运动，
当时，有最小值，
此时，，
，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，三角形外角性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，第一步
，第二步
，第三步
，．第四步
（1）问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答．
【答案】（1）一； （2）正确的解答见解析．
【解析】
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；
（2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
小问1详解】
小明的解答是从第一步开始出错的，
故答案为：一；
【小问2详解】
解：方程化为一般式为，
，，，
，
，
，．
18. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上．

（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图（见解析），根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【小问1详解】
证明：是由旋转得到，

，，
，
，
平分．
【小问2详解】
解：如图，由旋转可知：，，

，
，
∵在中，，
，
点在同一条直线上，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握旋转和等腰三角形的性质是解题关键．
19. 小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中、、分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池．
（1）当开关闭合时，再随机闭合开关或其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
（2）当随机闭合开关、、中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据电路图可知，当开关闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合，从而可得出随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率；
（2）用树状图或列表法列出所有的情况，再找出能让小灯泡发光的情况，利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：当开关闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合，
随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率为；
【小问2详解】
法一：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故（小灯泡发光）．
法二：
列表如下：
共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故P（小灯泡发光）．
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是结合物理知识，知道必须闭合，且闭合或中一个，小灯泡才会发光．
20. 如图，为的直径，C是上一点， D是的中点，弦，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理得到，根据题意得到，结合等量代换和弧、弦、圆心角的关系，即可证明；
（2）连接，交于点，得到，证明，利用相似三角形性质和勾股定理求出，，，进而即可求出的长．
【小问1详解】
解：为的直径，弦，
，
D是的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，交于点，
D是的中点，
，
为的直径，
，
，
，
弦，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，圆周角定理，以及相似在圆中的综合运用，解决此题的关键是正确作出辅助线，利用相似求出半径．
21. 如图，在的网格中，A，B，C三点均为格点（点A，B，C均在圆上）．请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．

（1）在图1中，画的中点D，再作的高；
（2）在图2中，在上画点G，使，再在上画点F，使．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接，延长交的外接圆于点，取格点，连接交于点，点，点即为所求；
（2）取网格线的中点，连接，延长交于点（可以证明，推出，可得），利用网格特征作出线段的垂直平分线交网格线一点，连接交于点，连接，点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是善于利用网格特征解决问题．
【小问1详解】
解：如图1中，点，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图2中，点，点即为所求．

22. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：）满足二次函数．测得部分数据如下表：
（1）求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
（2）有一辆该型号汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；
（3）制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在 范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．
【答案】（1）
（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）把，代入可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；
（2）结合（1）令得：或（舍去），根据，即可得到答案；
（3）由题意得 ，可解得答案．
【小问1详解】
把，代入得：
，
解得，
∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为；
【小问2详解】
该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：
在中，令得：
，
解得：或（舍去），
∵，
∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故；
【小问3详解】
∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，
由题意得 ，
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．
23. 在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至（，），得到，使，我们称是的“旋补三角形”， 的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
（1）当为等边三角形时，画图研究的“旋补中线”与的数量关系是__________；
（2）如图，当为任意三角形时，（1）中的结论是否成立?并给予证明；
（3）若，，求的“旋补三角形”的周长．
【答案】（1）
（2）结论仍然成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，再进行等量代换，即可解题；
（2）延长至点，使得，连接、，证明四边形为平行四边形，再由“”可证，利用全等三角形性质和平行四边形性质即可解题；
（3）根据题意得到，结合等腰三角形性质和勾股定理可求，再结合旋转的性质即可求解．
【小问1详解】
解：由旋转的性质可知，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，是的中线，
，，
，
，
即；
故答案为：；
【小问2详解】
解：结论仍然成立，
证明如下：
延长至点，使得，连接、，
是的中线，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，是的中线，
，
，
，
的“旋补三角形”的周长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24. 如图1，抛物线经过点，与y轴交于点B，直线与抛物线交于P，Q两点，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一点，过点E作轴交直线于点F，连接，当时，求点E的坐标；
（3）如图2，C为平面内一点，直线，分别交抛物线于另一点M，N，连接，若，求点C的横坐标．
【答案】（1）
（2）点E的坐标为或
（3）点的横坐标为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，利用两点间距离公式分别求出、，从而建立方程求出的值即可求点E坐标；
（3）设直线的解析式为，当时，有，即，当时，有，即，可知线段与线段的中点的连线与轴平行，再证明，可知两个三角形的中线经过点，从而得到点的横坐标．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，与y轴交于点B，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设点E的坐标为，
轴交直线于点F，
点F的坐标为，
与y轴交于点D，
，
点B，，
，
整理得或，
解得（舍去）或或，
当时，，即点E的坐标为，
当时，，即点E的坐标为，
综上所述，点E的坐标为或；
【小问3详解】
解：，直线为，
设直线的解析式为，
当时，有，即，
当时，有，即，
与中点的连线与轴平行，
，
，
两个三角形的中线经过点，
点的横坐标为．（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
刹车时车速（）
0
5
10
15
20
25
刹车距离（m）
0
6.5
17
31.5
50
72.5