九年级上学期期末数学试题 (129)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (129)，共27页。试卷主要包含了 下列是一元二次方程的根的是， 抛物线的顶点坐标为， 下列事件等内容，欢迎下载使用。
一､选择题:（本大题共12个小题,每小题4分,共48分）
1. 下列是一元二次方程的根的是（ ）
A. B. C. 0D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程后即可得到答案.
【详解】解：
∴，
∴或，
则，
故选：A
2. 下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3. 已知方程由一个根是，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，把代入方程转化为一元一次方程，然后解方程即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：，
故选：．
4. 如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解．
【详解】∵交于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：A
6. 如图，是的切线，B为切点，连接交圆于点D，其延长线交圆于点C，，则的长度是（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，证明为等边三角形，可得，可得．
【详解】解：连接，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，圆的切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
7. 下列事件：①通常温度降到时，纯净的水结冰；②明天太阳从东方升起；③随意翻到本书的某页，这页的页码是偶数，其中是必然事件的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】解：①通常温度降到时，纯净的水结冰；是必然事件；
②明天太阳从东方升起，是必然事件；
③随意翻到本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件；
其中是必然事件的个数有2个；
故选：B．
8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：B．
9. 小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的应用，确定等量关系是解决本题的突破点．平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件，
∴可列方程：，
故选：A．
10. 若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. 7B. 8C. 14D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】不等式组变形后，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，进而求出之和．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组无解，
，
．
解分式方程，得，
为非负整数，，
或1或3或5或7，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
符合条件的所有整数的和是，
故选：．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
11. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（ ）
A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点可判断②正确；由对称轴为直线可判断③错误；由时，函数取得最小值，可判断④正确；由②③可求得和的值可判断⑤错误；据此即可求出答案．
【详解】解：①二次函数的图象开口向上，，函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①错误，不符合题意；
②将点代入函数表达式得：，故②正确，符合题意；
③函数对称轴为直线，即，故，故③错误，不符合题意；
④当时，函数取得最小值，又，则，即，故④错误，不符合题意；
⑤由②③得：，，则，故，故⑤错误，不符合题意；
综上，②正确．
故选：A．
12. 在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解．
【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图：
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
解得，
∴，
∴，
以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图：
∵，，
∴与y轴有两个交点M、N
此时，
∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N，
故选：C．
二､填空题:（本大题4个小题,每小题4分,共16分）
13. 一元二次方程的解是：_____________．
【答案】
【解析】
【详解】解:原方程分解因式为（x+1）（x-5）=0，
可求得方程的解为．
14. 党的二十大于2022年10月日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查用树状图法求概率．结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.
【详解】解：画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是，
故答案为：．
15. 如图，中，边，，以A为圆心，对角线为半径画弧，分别交边AB于点E，连接EC，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题．
【详解】解：过点作于点，
∵，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为________________（利润率利润成本）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含参的二元一次方程的应用， 设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元，根据“当售出的甲产品的件数与乙产品的件数比为时，该超市出售这两种产品的总利润率是”列出二元一次方程可求出，然后再根据“出售这两种产品获得的总利润率为”列二元一次方程求解即可，能够根据题意列出二元一次方程是解题的关键．
【详解】设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元，
∵当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为，
∴可设此时售出的甲产品的件数与乙产品的件数分别为，，
由题意得：，
整理得：，
设售出的甲产品件数与乙产品件数分别为a，b时，获得的总利润率为，
由题意得：，
整理得：，
∴，
∴即售出的甲产品件数与乙产品件数的比应为：，
故答案为：．
三､解答题:（本大题2个小题,每题8分,共16分））
17. （1）解方程：；
（2）求出二次函数的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）
（2）对称轴是，顶点坐标
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图像和性质，对于（1），根据因式分解法求出方程的解即可；
对于（2），将关系式配方，可得答案．
【详解】（1），
因式分解，得，
解得；
（2），
∴抛物线得对称轴是，顶点坐标是．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简及整式的混合运算，熟练运用乘法公式，掌握分式及整式的运算法则是解题关键．
（1）运用完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项即可；
（2）先计算括号内的分式的减法运算，再将除法换成乘法进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
四、解答题（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）
19. 如图，四边形中，，，请用尺规作图完成基本作图：作的平分线交于点E，连接，则四边形是菱形，请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）．
证明：用直尺和圆规，作的平分线交于点E，连接（只保留作图痕迹）．
∵是的平分线
∴____________________．
∵
∴．
∴__________________．
∴__________________．
∵
∴__________________．
∵
∴__________________．
∵
∴四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据尺规作图：角的平分线的基本作法作出图形即可；再根据平行线的性质结合等腰三角形等角对等边证明，易证四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】解：如图所示，为所求；
证明：∵是的平分线，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图（角平分线），等腰三角形的性质，平行线性质，平行四边形的判定与性质及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
20. 我区某初中学校九年级班举行诗词比赛，并从男、女学生中各抽取名学生的比赛成绩（比赛成绩为正数，满分分，分以上为合格），相关数据统计，整理如下：
男生中抽取的成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，.
女生中抽取的学生成绩频数分布表（最高分98分）
男、女生中抽取的学生成绩统计表：
被抽取的女生第组比赛成绩的具体分数为：，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，__________，___________．
（2）该校九年级共人，其中女生人，成绩在及以上为优秀，估计本次该校九年级诗词比赛成绩优秀的有多少人？
（3）根据以上数据分析，你认为该校九年级本次诗词比赛成绩男、女生谁更优异？请说明你的理由（写一条即可）．
【答案】（1），，；
（2）估计本次该校九年级诗词比赛成绩优秀的有人；
（3）从合格率的角度分析，女生谁更优异（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（）根据频数，中位数，合格率定义求解即可；
（）用男女生人数分别乘成绩优秀的学生所占百分比即可求解；
（）根据合格率的大小作出分析判断即可（答案不唯一）；
此题考查了频数分布表、统计表、众数、中位数等知识，读懂题意，掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
∵女学生中各抽取名学生的比赛成绩，
∴，
则女生的中位数为第位同学的平均数，即在第四组为，
合格率为：，
故答案为：，，；
【小问2详解】
∵九年级共人，其中女生人，
∴男生（人），
∴估计本次该校九年级诗词比赛成绩优秀的有（人），
答：估计本次该校九年级诗词比赛成绩优秀的有人；
【小问3详解】
从合格率的角度分析，男生合格率，女生合格率，
∴女生谁更优异．
21. 已知一次函数的图像与x轴交于点，与函数的图像交于点．
（1）求一次函数的函数表达式，并在图中画出这个一次函数图像；
（2）若函数的图像与图像的另一交点为C，求的面积；
（3）根据函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；函数图像见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先将代入求出m的值，再将A、B点的坐标代入求出一次函数解析式即可；根据一次函数是一条直线，两点确定一条直线，连接即可得出一次函数图像；
（2）先根据两个函数解析式，求出点C的坐标，利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）根据函数图像，得出不等式解集即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴，
把、代入得：
，
解得：，
∴一次函数的函数表达式为；
一次函数图像，如图所示：
【小问2详解】
解：令，
解得：或，
把代入得：，
∴，
过点B作轴于点D，过点C作轴于点E，如图所示：
；
【小问3详解】
解：如图，一次函数图像与二次函数图像的交点坐标为，，根据图像可知：当时，一次函数图像在二次函数图像的上面，
∴的解集为．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合应用，求一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，三角形面积的计算，画一次函数图像，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数图像的性质和二次函数的性质．
22. 某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？
（2）该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）420千克，详见解析 （2）80元，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，
（1）利用月销售量，可求出月销售量；
（2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论；
熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键．
【小问1详解】
根据题意得：
（千克），
答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克；
【小问2详解】
设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
答：销售单价应定为80元．
23. 阅读材料：对于一个三位正整数m，如果m满足：百位数字，十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如，；∴843是“月圆数”；，，∴133不是“月圆数”．
（1）请判断数345和825是否是“月圆数”，并说明理由；
（2）若p、q都是“月圆数”，，（a，b，c均为的整数），规定，若s是p去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是q去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s与t的和能被11整除，求的值．
【答案】（1）345不是，825是，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了定义新运算，用代数式表示，对于（1），根据“月亮数”的定义判断即可；
对于（2），根据“月亮数”的定义可知，再求出，可得，根据两个数的和能被11整除可求出c，即可得出p，q，最后根据计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴345不是“月亮数”；
∵，
∴825是“月亮数”.
【小问2详解】
∵p，q都是“月亮数”，
∴，
即，.
∵s是p去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是q去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，
∴，
∴．
∵两个数的和能被11整除，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
24. 已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标；
（3）在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点M的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解；
（3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：把点，代入得，
，
解得，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵当时，，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
最大值为：；
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形；
如图，当为对角线时，
∵，，设，，
∴，解得：，
∴；
当为对角线时，如图，
同理可得：，解得：，
∴；
如图，当为对角线时，
同理可得：，解得：，
∴；
综上：点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
25. 为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转．
（1）如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长；
（2）如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据直角三角形的性质得出，根据为等边三角形，得出，，证明，为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；
（2）延长，取，连接，证明，得出，根据中位线性质得出，即可得出结论；
（3）根据等边三角形性质得出，，根据，利用三角形三边关系得出，且当、B、E三点共线时，等号成立，画出图形，先根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可．
【小问1详解】
解：连接，过点A作于点F，如图所示：
则，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：；理由如下：
延长，取，连接，如图所示：
根据解析（1）可知：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，点M为的中点，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，绕点A逆时针旋转，
∴，且当、B、E三点共线时，等号成立，
∴当点E在线段上时，最小，如图所示：
过点D作于点N，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
此时，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴．
组别
成绩分
频数（人数）
第组
第组
第组
第组
第组
性别
男生
女生
平均数
中位数
众数
合格率