九年级上学期期末数学试题 (109)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (109)，共27页。试卷主要包含了 二次函数的顶点坐标是， 已知等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式：，直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：由抛物线为：，
抛物线的顶点为：
故选B．
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
3. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值等于（ ）
A. B. 0C. 1D. 1或者
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，根据二次项系数不为0，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，解题的关键是注意二次项系数不能等于0．
4. 已知：如图，，，，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5. 不透明袋子中装有9个球，其中有5个红球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．用红球的个数除以球的总数即可．
【详解】解：不透明袋子中装有9个球，其中有5个红球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别，
从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率
故选：D．
【点睛】本题考查了概率计算，掌握概率公式计算是解题的关键．
6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7. 为的直径，延长到点P，过点P作的切线，切点为C，连接，，D为圆上一点，则的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC．利用切线的定义得，利用三角形内角和定理得，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得．
【详解】解：如图，连接OC．
为的切线，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查圆的切线的定义、三角形内角和定理、圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
8. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的交点即为所求的的外心，
的外心坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外心的知识，解题的关键是注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．
10. 函数与函数在同一坐标系中图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案．
【详解】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
11. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象先判断a、b、c的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可．
【详解】由图象可知，图象开口向下，
∴，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
又对称轴为，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
抛物线与x轴交于，
∴，
∴，故②错误；
由二次函数的对称性可知，当时，，
则有，故③正确；
∵，，
∴，
又，
∴，故④错误；
当时，函数值最大，，
而当时，，
∴
，故⑤错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，
则：O为原点，，；
设函数解析式为，把A点坐标代入得，
∴抛物线解析式为，
当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴此时的水面宽度为m
故答案为2．
15. 如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，可得，利用等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
则，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
16. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．
【答案】5.5
【解析】
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
17. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，再根据AAS证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD=OE，从而得到矩形CDOE是正方形，求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵点C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC=OA=，
∴，
得出OE=1，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
18. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为-，
∴OC=，
∴BE=，
∵AB∥CD，
∴，
∴EF=OE=，OF=23OE=，
∴S△BEF=EF•BE=××=，
S△ODF=OD•OF=×a×=43，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+43=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 解方程：
（1） ；
（2） ；
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：将方程左边因式分解可得，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
【小问2详解】
解：将方程左边因式分解可得，
，
，
即或，
解得： ，，
故原方程的解为 ，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20. 近期，锦江区各学校开展了“近视防控”系列活动，以此培养学生良好用眼习惯，降低近视发病率．为了了解学生对于“近视防控”知识的掌握程度，某学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小为________；
（2）若该学校共有学生800人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的人数；
（3）若从对“近视防控”知识掌握程度为“优秀”的3个女生和1个男生中随机抽取2人，为“待合格”的同学进行“近视防控”知识宣讲，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）见解析，72°；（2）该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的240人；（3）见解析，
【解析】
【分析】（1）由“优秀”的人数及其所占百分比可得被调查的总人数即可求出“良好”人数，从而补全条形统计图；用合格人数除以总人数乘以360°可得“合格”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（2）用样本估计总体即可；
（3）列表展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】解：（1）36÷45%=80（人）
“良好”的人数为：80-36-16-4=24（人）
补全条形统计图为：
扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角的度数为：
故答案为：72°；
（2）（人）
答：该学校学生中“近视防控”知识掌握程度为“良好”的240人．
（3）列表如下：
总共有12种等可能结果，其中1个男生和1个女生的结果有6种，所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
（1）______，______，______；
（2）t为何值时的面积为？
（3）t为何值时的面积最大？
【答案】（1），，
（2）当秒或4秒时，的面积是；
（3）当为3时的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
根据题意得：，，
∴，
【小问2详解】
，
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
【小问3详解】
由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
22. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大
【解析】
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价.
【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25=35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．
23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求点C的坐标和的面积．
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式：
（2），
（3）或0