九年级上学期期末数学试题 (63)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (63)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5B. 2，1，－5C. 2，0，－5D. 2，0，5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
2. 不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）．
A. 3个都是黑球B. 2个黑球1个白球
C. 2个白球1个黑球D. 至少有1个黑球
【答案】D
【解析】
【分析】根据白球两个，摸出三个球必然有一个黑球.
【详解】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查随机事件，解题关键在于根据题意对选项进行判断即可.
3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
4. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
【详解】解：
故选A．
5. 已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在上C. 点P在外D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外．根据以上内容判断即可．
【详解】解：∵的半径为4，，
，
∴点P与的位置关系是点P在内部，
故选：A．
6. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱隆价1元，每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12-x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，根据每天销售饮料获得的利润=每箱的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12-x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，
依题意，得（12-x）（100+20x）=1400．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 星期一上午班级共有4节课，分别为数学、语文、外语和历史，如果随机排课，那么第一节上数学课，第四节上语文课的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
详解】解：由题意，画树状图得∶
∴一共有12种情况，第一节上数学课，第四节上语文课只有1种情况，
∴第一节上数学课，第四节上语文课的概率为 ．
故选B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵，β是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选C．
9. 如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交AD于点F，连接．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次判断，，，然后利用勾股定理解题即可．
详解】解:连接，
∵且，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
而交AD于,
则为的重心 连接CF，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∵
∴ ，
∴ ，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A．
10. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键．
【详解】解： ，
，
时, 解得 ；
时，解得 或 (舍)；
时， 解得 x=2或(舍)；
时，方程无解；
综上所述：方程的解为：x=0或 x=2或
故选C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是(，
故答案为：．
12. 一只自由飞行的小鸟，如果随意落在如图所示的方格地面上（每个小方格形状完全相同），那么小鸟落在阴影方格地面上的概率是________．
【答案】
【解析】
【详解】∵由题意和图可知，阴影部分的面积占整个方格地面的比值为：，
∴小鸟落在阴影方格地面上的概率为：．
13. 如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交于点C，则弧AD的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换 (折叠问题)，由折叠的性质推知是等边三角形是解答此题的关键.
如图，连接.根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求，然后由弧长公式弧长的公式来求弧AD的长.
【详解】解：如图, 连接.根据折叠的性质知，.
又∵,
∴, 即是等边三角形，
∴.
∵,
∴,
∴弧AD的长为，
故答案为: ．
14. 如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转30°后得到正方形， 交AD于点H，则的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质.
连接，如图，根据旋转的性质得 再根据“”证明则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出即可得到的长.
【详解】连接, 如图,
∵边长为3的正方形绕点按顺时针方向旋转30°后得到正方形，
,
∴，
在 和 中
，
，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为
15. 已知抛物线经过点，当时，与其对应的函数值．下列四个结论：①抛物线经过定点；② ；③ 当时，y随x的增大而减小；④ 若直线与抛物线交于M，N两点，设点M，N的横坐标分别为m，n，则．其中正确结论的序号是____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，把x=0代入即可判断①；把和代入解析式即可判断②；然后求出抛物线的对称轴即可判断③；然后解方程求出，计算即可判断④．
【详解】当x=0时，，
∴抛物线经过定点，故①正确；
把代入得，
∴，
代入解析式得：，
把代入得，解得，故②正确；
对称轴为直线，
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大变化不确定，故③错误；
，是方程，即的两根，
解得：，或，，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
16. 如图，D是等边三角形内一点，连接BD，CD，且，，，E，F分别是边AB，上的一点，且，连接DE，，则的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明．
过C作于C，使，连接，，根据证明，得出，则，当的最小时，最小，当D、F、H在同一条直线时，最小，根据勾股定理算出结果即可．
【详解】解：如图，过C作于C，使，连接，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴当的最小时，最小，
∴当D、F、H在同一条直线时，最小，
在中，，，
∴，
∴最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 关于x一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求方程的根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程及根的判别式，
（1）根据“方程有两个不相等的实数根”，得到判别式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可；
（2）当时，方程为，得到一个一元二次方程，应用因式分解法解之即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
【小问2详解】
当时，方程为，
，
解得，．
18. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为点E、F，点E落在上，连接．若．求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理.熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
根据旋转的性质，推出 是等腰三角形，进而求出的度数，利用即可求出的度数．
【详解】解：如图：
∵旋转90°得到,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
∴．
19. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1，2，3；乙盒里3张卡片分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的数字为偶数的概率是______；
（2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的数字之和能被3整除的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和能被3整除的结果，再由概率公式即可求得答案．
本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【小问1详解】
解：从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两张卡片的数字之和能被3整除的结果有3种，
抽到的两张卡片上标有数字之和能被3整除的概率为．
20. 如图，BD是的直径，，C为上一点，连接，CD，且．
（1）求证：是的切线；
（2）过点D作，分别交AB，于点E，F．若，求值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用三线合一线构造直角三角形解题即可．
（1）连接，证明，得到，即可得到结论；
（2）作于, 于,设为,根据解直角三角形得到和长解题即可．
【小问1详解】
证明: 连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
作于, 于,
，
，
又∵
，
，
，
，
设为, 则，，
，
，
∴，
又∵
，
．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，经过A， B，C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

（1）在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转90°的对应点Q；
（2）在图2中，E是与网格线的交点，连接并延长，交于点F，在上画点M，使，连接，画的中点H．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，根据矩形的性质可得点O即为圆心；连接延长交于点N，连接和，交于点Q，可证明，有，结合，直径所对的圆周角为直角即可知点Q即为所求；
取格点M，连接，分别与交于点G和点K，则，，根据垂径定理知，，可证，有，即可判定；连接，延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，进一步证得，则，则，结合三线合一即可证明即可．
【小问1详解】
解：如图，取格点M，连接，和，作直线，根据格点知，，根据矩形的性质可得点O即为圆心；

连接延长交于点N，连接和，交于点Q，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点Q即为所求；
【小问2详解】
解：取个点M，连接，分别与交于点G和点K，如图，
则，，
根据垂径定理知，，
∴，
∴，
∴，

连接，延长交于点H，连接，如图，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
则点H为的中点．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到所需的格点，再结合三角形和圆的性质求解．
22. 如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段AB上，设的长为x米．
（1）请用含x的代数式表示的长；
（2）若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长；
（3）求小型农场的最大面积．
【答案】（1）
（2）的长为米
（3）12平方米
【解析】
【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.
（1）根据题意结合图形即可求解；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答.
【小问1详解】
∵点在线段AB上，
米，
【小问2详解】
解：∵点在线段AB上，
，即，
；
∵的面积为平方米，
∴，
解得（舍去），，
∴的长为米；
【小问3详解】
解：设小型农场的面积为，
则，
∵
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，最大，最大为12平方米．
23. [问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在DE边上，求的度数；
[尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是CD边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：；
[迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为AB的中点，E为线段CD上一点．若，直接写出的值．
【答案】（1）° （2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用证明即可解题；
（2）延长至，使，先证明得到，然后证明即可得到结论；
（3）作交的延长线于，作于，设，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解:∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴，
∴
又∵
∴°；
（2）证明:延长至，使，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴
∴
又∵,
∴，
∴且
又∵
∴；
（3）解:作交的延长线于，作于，
∵为AB中点，
设，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
又∵ ，
在中，
∴，
在中
∵
∴，
,在中
中,
∴.
∴，
∴
，
∴．
24. 如图1，抛物线与x轴的负半轴交于点A；过顶点D的直线交第一象限的抛物线于另一点E．
（1）求点D的坐标；
（2）若的面积为15，求直线的解析式；
（3）如图2，将抛物线的顶点移到原点，直线与平移后的抛物线交于M，N两点，P是直线上一动点，直线，分别交抛物线于另一点G，H，连接交于点F．在点P的运动过程中，点F的位置是否发生变化?若不变，求出点F的坐标；若变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点F的位置不变，
【解析】
【分析】（1）利用配方法求抛物线的顶点坐标即可；
（2）先求出点的坐标，然后设点E的坐标为，求出直线的解析式，过点D作轴交于点Q，根据解方程求出点E的坐标，然后求解析式即可；
（3）由题意得平移后的抛物线为：，联立直线表达式求出，设，可求，，，联立直线的表达式得：，求出，由于点在直线上，则，整理得，，联立直线的表达式，解得：，将代入，得：，因此，故点的位置不变．
【小问1详解】
解：，
∴点D的坐标为1,4；
【小问2详解】
当时，，解得，，
∴点A的坐标为，
设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过点D作轴交于点Q，
当x=1时，，
∴点Q得坐标为，
∴，
解得：或（舍去）
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：由题意得平移后的抛物线为：，
联立与，
得：，
解得：或，
∴，
设，，
∴，
解得：，
∴，
同理可求：，，
联立直线的表达式
得：，
解得：，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
联立直线的表达式，
得：，
解得：，
将代入，
得：，
∴，
故点的位置不变．