九年级上学期期末数学试题 (73)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (73)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 同时投掷两个骰子，点数和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：列表如下：
∵从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，且这些结果出现的可能性相等，其中点数的和为5的结果共有4种，
∴点数的和为5的概率为：．
故选B．
考点：列表法与树状图法．
2. 反比例函数的图像所在的象限是（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据比例系数k=3＞0，确定函数图像所在的象限.
【详解】解：在中，∵k=3＞0
∴反比例函数的图像位于第一、三象限.
故选：A.
【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质是本题的解题关键. ①当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，②当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．
3. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1·x2=2，利用完全平方公式即可求出答案．
【详解】∵是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1·x2=2，
∴=( x1+x2)2-2x1·x2=9-4=5，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为，那么x1+x2=，x1·x2=，熟练掌握韦达定理是解题关键．
4. 抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A. （1，1）B. （﹣1，1）C. （1，3）D. （﹣1，3）
【答案】A
【解析】
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
5. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：1
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，
∵菱形的周长为8cm，
∴菱形的边长为2cm，
∵菱形的高为1cm，
∴sinB=
∴∠B=30°，
∴∠C=150°，
则该菱形两邻角度数比为5：1，
故选C．
6. 某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排场比赛，则参加比赛的班级有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】设共有x个班级参赛，根据每两班之间都比赛一场可知每个班要进行(x-1)场比赛，根据计划安排场比赛列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设共有x个班级参赛，
∵每两班之间都比赛一场，
∴每个班要进行(x-1)场比赛，
∵计划安排场比赛，
∴，
解得：x1=5，x2=-4(不合题意，舍去)，
∴参加比赛的班级有5个，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
7. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8. 已知，△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的面积为6，△A′B′C′周长是△ABC的周长的，AB＝8，则AB边上的高等于（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的周长是△ABC周长的一半，即可求得△ABC与△A′B′C′的面积比，又由△A′B′C′的面积为6，即可求得△ABC的面积，然后由AB=8，可求得AB边上高．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的周长是△ABC周长的一半，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：4：1，
∵△A′B′C′的面积为6，
∴△ABC的面积为：6×4=24，
∵AB=8，
∴AB边上高等于6．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ）
A. 40mB. 80mC. 120mD. 160m
【答案】D
【解析】
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．
【详解】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，
∴BD=AD•tan30°=120×m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，
∴CD=AD•tan60°=120×=120m，
∴BC=BD+CD=m．
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A. 2秒钟B. 3秒钟C. 3秒钟或5秒钟D. 5秒钟
【答案】B
【解析】
【分析】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t•（8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设=k，可得a=3k，b=4k，c=5k，代入所求代数式即可得答案．
【详解】设=k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∴=，
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的性质，常用的比例性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质；熟练掌握比例的性质是解题关键．
12. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可．
【详解】原式=2×()2-×+
=-+3
=．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
13. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的横坐标是，则的值为_____．
【答案】6.
【解析】
【分析】把x=2代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】在y=x+1中，令x=2，
解得y=3，
则交点坐标是：（2，3），
代入y=
得：k=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
14. 如图，是一个立体图形的三种视图，则这个立体图形的体积为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据该立体图形的三视图可判断该立体图形为圆柱，且底面直径为8，高为8，根据圆柱的体积公式即可得答案．
【详解】∵该立体图形的三视图为两个正方形和一个圆，
∴该立体图形为圆柱，且底面直径为8，高为8，
∴这个立体图形的体积为×42×8=128，
故答案为：128
【点睛】本题考查由三视图判断几何体；利用该几何体的三视图得到该几何体底面半径、高是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.
【答案】6
【解析】
【分析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案是：6．
【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
16. 如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_______cm2．
【答案】8.
【解析】
【分析】先连接AP，CP．把该四边形分解为三角形进行解答．设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．得出AH=CF，AE=CG．然后得出S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．得到x、y的关系，再利用S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP求解即可.
【详解】连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4-x，△CGP在CG边上的高为6-y．
∵AH=CF=2，AE=CG=3，
∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP
=AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5，
得到2x+3y=10，
S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4-x）×+CG×（6-y）×=2（4-x）×+3（6-y）×
=（26-2x-3y）×=（26-10）×=8．
【点睛】本题主要考查矩形性质与三角形面积计算，集体关键在于能够利用割补法表示出不规则四边形的面积.
三、解答题：（共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 用适当方法解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】（1）把原方程化成一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可；
（2）按照平方差公式展开、合并，再利用十字相乘法解方程即可．
【详解】（1）
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，．
（2）
整理得：，
∴，
∴x+4=0或x-2=0，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【答案】m＝5，x1=x2=2．
【解析】
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5．
当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2．
所以原方程的根为x1＝x2＝2．
【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
19. 某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动转盘，直到指针指向一个区域内为止）
（1）请利用画树状图或列表的方法（只选其中一种），表示出转转盘可能出现的所有结果；
（2）如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘，乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；本题用列表法得出所有等可能的情况，进而可得转转盘可能出现的所有结果；
（2）无理数是无限不循环小数，找出乘积为无理数的情况数，再除以所有等可能出现的结果数，即可求出一等奖的概率．
【详解】（1）由题意列表如下，
由列表得知：当A转盘出现0，1，-1时，B转盘分别可能有4种等可能情况，
所以共有4×3=12种等可能情况．
即（0，）、（0,1．5）、（0,-3）、（0,﹣）、（1，）、（1,1．5）、（1,-3）、（1,﹣）、（-1，）、（-1,1．5）、（-1,-3）、（-1,﹣）．
（2）无理数是无限不循环小数，由列表得知：乘积是无理数的情况有2种，即（1,﹣）、（-1,﹣）．乘积分别是﹣，，
∴P（乘积为无理数）==．即P（获得一等奖）=．
考点：用列表法或树状图法求随机事件的概率．
20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．

【答案】（1）详见解析；（2）26.
【解析】
分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，

∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
21. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【解析】
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．
【详解】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝256，
解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
（2）256×（1+15）＝4096（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22. 如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
【答案】（1）﹣2≤x＜0或x≥4；（2）y＝﹣，y＝﹣x+2；（3）6
【解析】
【分析】（1）根据图像即可得到答案；
（2）将点A（4，﹣2），B（﹣2，m）的坐标分别代入解析式即可得到答案；
(3) 过点B作BD⊥AC，根据点A、B的坐标求得AC、BD的长度，即可求得图形面积.
【详解】解：（1）由图象可知：不等式﹣x+n≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；
（2）∵一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
∴k＝4×（﹣2）＝﹣2m，﹣2＝﹣4+n
解得m＝4，k＝﹣8，n＝2，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；
（3）由（2）知B(-2，4),
过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于D，
∵A（4，﹣2），B(-2，4),
∴AC=2，BD=2+4=6，
S△ABC＝.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的关系，在求图像中三角形面积时用点的坐标表示线段的长度.
23. 如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】（1）10米；（2）11.4米
【解析】
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题．
【详解】（1）如图，延长DC交AN于H，
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）；
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH=≈=20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；
（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∴,
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴,
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE,即,
∴，
又∵,
∴△CEF∽△EDF,
∴,即FE平分∠DFC．
25. 如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．

（1）如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．
【答案】（1）
（2）（1）中的结论不成立，，详见解析
（3）；
【解析】
【分析】（1）延长到点E，使得，先证明，再证明即可；
（2）在上截取，连接，先证明，再证明即可；
（3）连接，根据正方形的性质，勾股定理计算，再证明求得；根据，结合正方形的性质，判定，计算，证明，计算即可．
【小问1详解】
；
理由：延长到点E，使得，

∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
（1）中的结论不成立，正确结论为：．
理由：如图2，在上截取，连接，则，

在和中，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
连接，

∵四边形是正方形，，
∴
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12