九年级上学期期末数学试题 (75)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (75)，共22页。试卷主要包含了01， 抛物线的顶点坐标是， 要得到抛物线，可以将抛物线， 下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1.请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
2.本试卷满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．对每个选项进行判断即可．
【详解】解：各选项中只有图形C绕中心对称旋转180°后能和原来的图形重合，
故选：C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题关键．
2. 平面直角坐标系内与点（1，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （1，1）B. （1，1）C. （1，2）D. （1，1）
【答案】D
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【详解】解：平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是正确记忆横纵坐标的符号．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2）B. （﹣1，﹣2）C. （1，﹣2）D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
4. 已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A. ﹣3B. 3C. 0D. 0或3
【答案】A
【解析】
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可.
5. 一个不透明的袋子装有2个小球，它们除分别标有的数字1，2不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字都是1的概率（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的球所标数字都是1的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有4种等可能的情况数，其中两次摸出的球所标数字都是1的有1种，
则两次摸出的球所标数字都是1的概率是；
故选：C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
6. 如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝15°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理解答．
【详解】解：∠BOC=2∠BAC=2×15°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．
7. 如图，△ABC中，DE∥BC，，则等于（ ）
A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶9
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确相似三角形面积比等于相似比的平方．
8. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A. 向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度
B. 向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度
C. 向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度
D 向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移口诀：上加下减，左加右减，即可得到结论；
【详解】解：∵平移后的抛物线解析式为，
∴根据平移口诀可以知道平移后的抛物线是由原抛物线向右平移了6个单位，又向上平移了3个单位得到的；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数平移问题，熟记平移口诀是关键：左加右减自变量，上加下减常数项．
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 和半径垂直的直线是圆的切线B. 平分直径一定垂直于弦
C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆与直线间的关系，利用其性质定理及定义即可求解．
【详解】A项还可能与圆相交，故错误不选；
B项过圆心的直线都平分直径，但不一定垂直于弦，故错误不选；
C项如果半径不等，则对应的弧也不相等，故错误不选；
D项说法正确．
故答案选D．
【点睛】本题考查圆与直线间的关系，需牢记相应的性质定理及判定条件并灵活运用．
10. 如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A. a＝3B. a＝－3C. a＝－9D. a＝3或a＝﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线开口向上可得a＞0，再由抛物线经过原点求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴a2-9=0， 解得a=3或a=-3，
∵抛物线开口向上，
∴a=3，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0
可得x=0或x﹣2=0
解得：x1=0，x2=2
故答案为：x1=0，x2=2．
12. 将二次函数化为的形式为________．
【答案】
【解析】
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【详解】
＝
故答案为
【点睛】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
13. 某篮球运动员在罚球线上投篮的结果如下表所示：
那么估计这名篮球运动员投篮一次投中的概率是________（结果精确到0.01）．
【答案】0.50
【解析】
【分析】根据频率估计概率的方法，结合表格数据即可得出答案．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大，频率逐渐稳定到常数附近，
则估计这名球员在罚球线上投篮一次投中的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
14. 如图，某下水管道的横截面为圆形，水面宽的长为8dm，水面到管道上部最高处点的距离为2dm，则管道半径为________dm．
【答案】5
【解析】
【分析】根据垂径定理、构造直角三角形利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接OD，OB，OD与AB交于C，则AC=BC=AB=4dm，CD=2dm，
设⊙O的半径为rdm，则OC=（r-2）dm，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC2+BC2=OB2，
即（r-2）2+42=r2，
解得r=5，
即半径为5dm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
15. 二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是________．
【答案】
【解析】
【分析】由当x=-3与x=-1时y值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线x=-2，此题得解．
【详解】解：∵当x=-3与x=-1时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==-2．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出其对称轴是解题的关键．
16. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为______cm（结果保留π）．
【答案】12π
【解析】
【详解】根据圆锥的侧面展开图是扇形可得，
，∴该圆锥的侧面面积为：12π，
故答案为12π.
三、解答题（本题共4小题，其中17题8分、18题10分、19题各9分，20题12分，共39分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式，零次幂，求一个数的算术平方根进行计算即可求解．
【详解】
【点睛】本题考查了实数的混合运算，零次幂，算术平方根，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
18. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先将方程化成一般形式，再利用配方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：（1），
，
或，
或，
即；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常见解法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
19. 如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E边BC上，∠ADE＝∠AED．求证：BD＝CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据AB＝AC，可得∠B＝∠C，由∠ADE＝∠AED，可得∠ADB＝∠AEC，即可证明△ABD≌△ACE（AAS），根据全等三角形的性质可得BD＝CE．
【详解】证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠ADE＝∠AED，
∠ADE＋∠ADB＝∠AED＋∠AEC＝180°，
∴∠ADB＝∠AEC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴BD＝CE
【点睛】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20. 某校团委为了解该校学生的课余爱好情况，采用随机抽样的方法进行了问卷调查，被调查学生必须从“阅读、运动、娱乐、上网”四项中选择其中的一项，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分，
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）在被调查的学生中，最喜欢“娱乐”的学生人数为 人，最喜欢“运动”的学生人数占被调查学生人数的百分比为 %．
（2）本次调查的样本容量是 ，最喜欢“阅读”的学生人数为 人．
（3）若该校共有1500名学生，试估计最喜欢“阅读”的学生人数．
（4）在全校学生中随机选出1名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．
【答案】（1）30，40
（2）100，20 （3）300人
（4）
【解析】
【分析】（1）由“运动”人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以“上网”对应频率可得其人数，继而由四种活动类型人数之和等于总人数可得“娱乐”对应的人数，根据扇形图可直接得出“运动”人数所占百分比；
（2）由（1）可得答案；
（3）总人数乘以样本中最喜欢“阅读”的学生人数所占比例即可；
（4）用样本中爱好阅读的学生人数占被调查的学生人数比例可得答案．
【小问1详解】
从统计表中，可得被调查的总人数为40÷40%=100（人），
所以“上网”的人数为100×0.1=10（人），
则“娱乐”对应人数为100-（20+40+10）=30（人），
由扇形统计图知，最喜欢“运动”的学生人数占被调查学生人数的百分比为40%．
故答案为：30，40．
【小问2详解】
由（1）知，本次调查的样本容量是100，最喜欢“阅读”的学生人数为20人，
故答案为：100，20．
【小问3详解】
估计最喜欢“阅读”的学生人数有（人）；
【小问4详解】
选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是，
故答案为．
【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21. 某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【答案】（1）10%；（2）26620元
【解析】
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由2019年村该村的人均收入=2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．
【详解】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
22. 已知：如图，AB是的直径，点C在上，BD平分ABC，AD＝AE，AC与BD相交于点E．
（1）求证：AD是的切线．
（2）若AD＝DE＝2，求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据AB是的直径，可得C＝90°，由BD平分ABC，可得CBD＝ABD，根据AD＝AE，可得CEB＝DEA，进而可得BAD＝90°，即可得证；
（2）连接AF，根据等腰三角形的性质可得DF＝DE＝1，勾股定理求得，证明△AEF≌△BEC，即可求解．
【小问1详解】
∵AB是的直径，
∴C＝90°，
∴CBE＋CEB＝90°，
∵BD平分ABC，
∴CBD＝ABD，
∵AD＝AE，
∴D＝AED，
∵CEB＝DEA，
∴ABD＋D＝CBE＋CEB＝90°，
即BAD＝90°，
∴AD是⊙O的切线 ，
【小问2详解】
连接AF，如图，
∵AB是的直径，
∴AFB＝90°，
即，
∵AD＝DE＝2，
∴DF＝DE＝1，
在中，AD＝2，DF＝1，
∴AF＝＝ ，
∵ DBA＋D＝EAB＋ DAE ＝ 90°，D＝DAE＝60°，
∴DBA＝EAB，
∴AE＝BE，
又AFE＝C＝90°，AEF＝CEB，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴BC＝AF＝．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
23. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．
【答案】（1）y=+20x（0＜x≤25）；（2）当x=20时，面积最大
【解析】
【分析】（1）BC=x，则AB=，然后根据面积=长×宽列出函数解析式，BC的长度不等大于墙的长度；
（2）首先将函数解析式配成顶点式，然后进行求最值．
【详解】解：（1）由题意得：
自变量x的取值范围是0＜x≤25
故答案为：y=+20x（0＜x≤25）；
（2）
∵20＜25，
∴当x=20时，y有最大值200平方米
即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大．
五、解答题（本题共3小题，其中24题、25各11分，26题12分，共34分）
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（4，0），ACB＝90°，AC＝BC，点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿折线AB—BC向终点C运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点P在AB上运动时，求PQ与垂直时，t的值；
（3）设△APQ的面积为，求与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，根据勾股定理得到，于是得到；
（2）根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，根据勾股定理即可得到结论；
（3）分两种情况：①当在边上时，即，如图2，②当在边上时，即，如图3，分别根据面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：点的坐标为，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，，，，
点从到需秒，到点需秒，
，
从到需，
故在线段上，
；
【小问2详解】
当点在上运动时，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
或（不合题意舍去），
故的值为；
【小问3详解】
分两种情况：
①当点在边上时，如图2，过作于，
则是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②当在边上时，如图3，
，，
，
综上所述，．
【点睛】本题考查了三角形的综合题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，分类讨论是解题的关键．
25. 如图，的角平分线BD、CE相交于点P，
（1）如图1，求证：∠BPC＝90°＋∠A；
（2）如图2，若∠A＝40°，∠ABC＝60°，
①求证：AB＝BE＋CE；
②若BC＝m，CD＝n，求AB长（用含m、n的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）①见解析；②m＋n
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）①根据角平分线的定义和三角形内角和定理证得∠ACE＝∠A，进而得到AE＝CE，即可得到AB＝BE＋CE．②在AB上截取BF＝BC，连接DF，证得△FBD≌△CBD（SAS），进而得到BF＝BC＝m，AF＝FD＝n，，由三角形外角定理得到，由等腰三角形得判定得到AF=FD=n，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∴∠CBD＋∠BCE＝＝＝，
∴∠BPC＝180°－（）＝；
【小问2详解】
①∵∠A＝40°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝，
即∠ACE＝∠A，
∴AE＝CE，
∵AB＝BE＋AE，
∴AB＝BE＋CE，
②在AB上截取BF＝BC，连接DF，
∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△FBD≌△CBD（SAS），
∴∠BFD＝∠BCD，BF＝BC＝m，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BFD＝80°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADF＝40°，
∴AF＝FD＝n，
∵AB＝BF＋AF，
∴AB＝m＋n．
【点睛】本题考查了三角形的综合问题，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，点A，B，C都在抛物线上，AB∥x轴，ABC＝135°，且AB＝4．
（1）抛物线的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）求△ABC的面积；
（3）已知M（0，－4）、N（4，－4），若抛物线与线段MN恰有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）（m，2m－5）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的顶点坐标公式即可得出答案；
（2）过点C作，交AB 的延长线于点H，垂足为H，由顶点坐标得出B点的坐标，再由BH=HC得出C点的坐标，代入进行解方程即可；
（3）根据抛物线经过点、，分别求出对应的，抛物线顶点在线段上，分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：二次函数的；顶点坐标公式
顶点坐标为
即
顶点坐标为（m，2m－5）
【小问2详解】
解：如图：过点C作，交AB 的延长线于点H，垂足为H
设CH＝k，
∵ABC＝135°，BHC＝90°
∴HBC＝BCH＝45°
∴BH＝CH＝k
∵AB＝4
∴

把代入抛物线，
得：
整理，得
解得，（舍去），
∴CH＝1
【小问3详解】
解：当抛物线经过点时，
则，
解得：或，
当抛物线经过点时，
则，
解得：或，
抛物线，顶点，
当，即时，抛物线与线段无交点，
当，即时，抛物线的顶点，在线段上，抛物线与线段只有一个公共点，
当，即时，抛物线与线段只有一个公共点需满足：或，
解得：或，
综上所述，的取值范围是或或．投篮次数
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
活动类型
频数（人数）
频率
阅读
20
运动
40
娱乐
上网
0.1