九年级上学期期末数学试题 (57)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (57)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A、不中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A. y＝(x－1)2－1B. y＝(x－1)2＋1C. y＝(x＋1)2－1D. y＝(x＋1)2＋1
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的规律写出即可．
【详解】解：∵向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标，
∴所得抛物线解析式是y=(x-1)2+1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法的步骤求解即可．
【详解】解：移项，得，
配方，得，即，
故选：C．
【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解答的关键．
5. 如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．
【详解】解：∵⊙O的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴CE=1
∴CD=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键．
6. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识．根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．
【详解】解：令，得，
故与轴的交点坐标是：．
故选：B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则旋转角等于（ ）．
A. 70°B. 80°C. 60°D. 50°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，
∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E，
∴∠F=∠FBC，
∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°，
∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°．
故选：B．
8. 如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：设外心为M，
、，
M必在直线上，
由图可知，线段的垂直平分线经过点，
，
如图，过点M作于点D，连接，
中，，，
由勾股定理得：，
即外接圆半径的长为．
故选D．
【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. πB. πC. πD. π
【答案】A
【解析】
【详解】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意得S△AED＝S△ABC，由图形可知S阴影＝S△AED＋S扇形ADB－S△ABC，∴S阴影＝S扇形ADB＝＝π，故选A.
10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象的对称轴和与y轴的交点位置判断出①正确，根据函数图象与x轴有两个交点坐标判断出②正确，根据当时，函数值小于0，判断出③正确，由对称轴得，再根据当时，函数值小于0，判断出④正确．
【详解】解：∵函数图象对称轴在y轴右边，
∴，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵函数图象与x轴有两个交点坐标，
∴，故②正确；
根据二次函数图象的对称性，它与x轴的另一个交点坐标在2和3之间，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
当时，，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是能够通过函数图象判断出各项系数之间的关系．
第二部分 非选择题
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么________；
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．
把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得，
解得．
故答案为：2．
12. 点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先画出平面直角坐标系，再根据旋转的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意，画出图形如下，其中点的坐标为：
过点作轴于点，则，
因为点分别是点绕原点逆时针旋转的对应点，
所以轴，
又因为点位于第二象限，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求绕原点逆时针旋转的点坐标，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
13. 若二次函数的图象和x轴有交点，则a的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】利用根的判别式进行计算，“图象和轴有交点”说明．
【详解】解：二次函数的图象和轴有交点，
且，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，A，B，C是上的三个点，，则的度数是______．
【答案】65°##65度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题关键．根据圆周角定理先求出，再利用三角形内角和为180°和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
故答案为：65°．
15. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则___.
【答案】4
【解析】
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．
16. 如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式．
【详解】解：，
配方可得，
顶点坐标为，
坐标为
由旋转得到，
，即顶点坐标为，；
照此类推可得，顶点坐标为，；
顶点坐标为，；
，
抛物线的顶点坐标是，，．
抛物线的解析式是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1），
∵，
∴方程总有实数根；
（2）∵，
∴，，
∵方程有一个根为负数，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
18. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
19. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）①400；②图见解析③54
（2）参加组（阅读）的学生人数为980人
（3）恰好抽中甲、乙两人的概率为
【解析】
【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
（2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【小问1详解】
解：①（人）；
故答案为：；
②参加组的学生人数为：（人）；
参加组的学生人数为：（人）；
补全条形图如下：
③；
故答案为：54；
【小问2详解】
解：（人）；
答：参加组（阅读）的学生人数为980人．
【小问3详解】
解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种，
∴；
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
20. 如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
【小问2详解】
解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
21. 已知反比例函数上的图象与一次函数的图象交于点和点．
（1）求的函数关系式；
（2）观察图象，直接写出使得成立的自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求的面积．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B的坐标，然后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象法求解即可；
（3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点C的坐标，进而求出，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入反比例函数中得：，，
∴，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴；
小问2详解】
解：由函数图象可知，当或时，；
【小问3详解】
解：∵点C与点A关于x轴对称，
∴点C的坐标为，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形变化—轴对称，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【小问1详解】
解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
【小问2详解】
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
【小问3详解】
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23. 【发现问题】

（1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．
（2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②；
（3）度，，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识．
（1）由等边三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．
（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，

∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案：；
（3）结论：，．
理由：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
24. 如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）yx2x+4
（2）E（3，8） （3）存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）
【解析】
【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式；
（2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案；
（3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线yx+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标．
【小问1详解】
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝6，
∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+4；
【小问2详解】
如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），
∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m，
∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
【小问3详解】
yx2x+4（x）2；
∴该抛物线对称轴是：x，
∴A（-1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
∴Q的横坐标为，
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，
由（2），可得点M的横坐标是3，
∵点M在直线yx+4上，
∴点M的坐标是（3，2），
又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为，
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为，
∴P（，）；
②如图3，以AM为边时，
∵由（2），可得点M的横坐标是3，
∵A（-1，0），且Q的横坐标为，
∴P的横坐标为，
∴P（，）；
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
∴点P的坐标是（，），
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（，）或（，）或（，）
甲
乙
丙
丁
甲
甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲
乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙