九年级上学期期末数学试题 (49)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (49)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．是中心对称图形，故B正确；
C．不是中心对称图形，故C错误；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】解：利用配方法如下：
．
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．
3. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）
A. 摸出的三个球中至少有一个球是黑球B. 摸出的三个球中至少有一个球是白球C. 摸出的三个球中至少有两个球是黑球D. 摸出的三个球中至少有两个球是白球
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可．
【详解】A、是必然事件，故本选项符合题意；
B、是随机事件，故本选项不符合题意；
C、是随机事件，故本选项不符合题意；
D、是随机事件，故本选项不符合题意．
故选A．
4. 如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
5. 如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A. 116°B. 32°C. 58°D. 64°
【答案】B
【解析】
【详解】解：由AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=90°-∠ABD=32°，
∴∠BCD=∠A=32°．
故选B．
6. 将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y=4（x+1）2+3B. y=4（x﹣1）2+3
C. y=4（x+1）2﹣3D. y=4（x﹣1）2﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】∵抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），
∴得到的抛物线的解析式为y=4（x-1）2+3．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由二次函数y=ax2+bx图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
8. 抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点0的对称点为N，则点N的坐标为（ ）
A. (1，-5)B. (1，5)C. (-1，5)D. (-1，-5)
【答案】C
【解析】
【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点N的坐标．
【详解】解：y=x2-2x-4=（x-1）2-5．
∴点M（1，-5）．
∴点N（-1，5）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M的坐标是解题的关键．
9. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A. 2s或sB. 1s或sC. sD. 2s或s
【答案】D
【解析】
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
10. 如图抛物线的对称轴为直线，与x轴一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①；②；③；④ （t为实数）；⑤点，，是该抛物线上的点，则．正确的个数有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线解析式以及二次函数图像性质分别判断每个结论即可求解．
【详解】① 抛物线的对称轴＝－2，
，
即：，故①正确；
②抛物线的对称轴为直线，与x轴一个交点在和之间，
抛物线与x轴的另一个交点在（－1，0）和（0，0）之间，
抛物线与y轴的交点在y轴的下方，
，故②正确；
③当时，，
又，
则，故③正确；
④当时，，故④错误；
⑤ 抛物线的对称轴＝－2，
＝，
又抛物线的开口向下，点到对称轴的距离比点近，点到对称轴的距离比点近，
，故⑤错误；
综上分析可知：正确的为①、②、③，共3个．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共7个小题）
11. 当_____________时，二次函数有最小值．
【答案】－1
【解析】
【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x－2可化为y=（x+1）2－3，
∴当x=－1时，二次函数y=x2+2x－2有最小值．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，把二次函数解析式化为顶点式求解．
12. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转某个角度后得到△A′B′C，当点A的对应点A′落在AB边上时，阴影部分的面积为___________．
【答案】π-
【解析】
【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．
【详解】如图，
∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°-60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=CB′=CB=×2=1，
∴B′D=，
∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，
S扇形B′CB=，
则阴影部分的面积为：π-，
故答案为π-．
【点睛】此题主要考查了扇形面积应用以及三角形面积求法和勾股定理应用等知识，本题的关键是弄清所求的阴影面积等于扇形
14. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k＞﹣1且k≠0
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式即可求得k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△==＞0，且，
解得：k＞﹣1且k≠0，
故答案：k＞﹣1且k≠0
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．对于一元二次方程，根的判别式△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；要注意这个隐含条件，避免漏解．
15. 将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是__度．
【答案】144
【解析】
【详解】∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，
∴扇形面积为90π= ，
解得：n=144，
故答案为：144．
16. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____________．
【答案】或24##24或
【解析】
【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形面积即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8，
则底边上的高，
∴三角形的面积为：；
当时，
∵，
∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6，
∴三角形的面积为：；
综上：三角形的面积为：或24；
故答案为：或24．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点（为正整数），则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】通过观察可得，An每6个点的纵坐标规律：，0，，0，-，0，点An的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，点P的纵坐标规律：，0，，0，0，0，…，确定P2021循环余下的点即可．
【详解】解：∵图中是边长为1个单位长度的等边三角形，
∴
A2（1，0）
A4（2，0）
A6（3，0）
∴An中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，
P运动每6秒循环一次
点P的纵坐标规律：，0，，0，-，0，…，
点P的横坐标规律： ，1，，2，，3，…，，
∵2021＝336×6+5，
∴点P2021的纵坐标为，
∴点P2021的横坐标为，
∴点P2021的坐标，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键．
三、解答题（本题共6个小题：18-23）
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
19. 已知关于x的一元二次方程两个不相等的实数根，，若，求m的值．
【答案】2
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，
即可得到，则，由此求出，，再由，得到，则．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根
∴由根与系数关系得，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握根与系数的关系，根的判别式．
20. 如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OEBD，连接BE，DE，BD，若BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF=BC=2，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理以及角之间的关系，得到，即可求证；
（2）连接OD，根据平行线和等腰三角形的性质求得，再根据含直角三角形的性质和勾股定理，求解即可．
【详解】（1）证明：
∵AB是直径
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC
∴∠A=∠DBC
∴∠DBC+∠ABD=∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：如图，连接OD
∵BF=BC=2，∠ADB=90°，
∴∠CBD=∠FBD
∵OE∥BD，
∴∠FBD=∠OEB
∵OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∴∠CBD=∠FBD=∠OBE=∠ABC=30°，
∴∠C=60°，∠OBD=60°，
∴AC=2BC=4，
∴，
【点睛】此题考查了圆切线判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）．
【解析】
【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；
（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；
（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），
∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
令y=0，则x=，
∴P点的坐标（，0）．
【点睛】考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．
22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】（1）每次下降的百分率为；
（2）每千克应涨价5元；
（3）应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．
【解析】
【分析】（1）设每次下降的百分率是x，找出等量条件列方程求解即可；
（2）设每千克应涨价a元，利润为W，找出等量条件列方程求解即可；
（3）根据（2）中的，求二次函数的最值即可．
【小问1详解】
解：设每次下降的百分率是x，则由题意列方程得：
解之得：（舍去），，
故每次下降的百分率是；
【小问2详解】
解：设每千克应涨价a元，利润为W，则由题意列方程得：
令，解方程得：或，
∵要尽快减少库存，
∴取，即每千克应涨价5元；
【小问3详解】
解：由（2）可得，
当时，W取最大值为6125元，
∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题．
23. 如图，已知抛物线与一直线相交于A(-1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式，并直接写出点D的坐标；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当点P的坐标为多少时，△APC的面积有最大值．
（3）点Q在平面内，试探究是否存在以A，C，D，Q为顶点平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，D(1，4)；（2）P(，)；（3）存在Q1(-2，1)；Q2(4，7)；Q3(0，-1)．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG，即可求解；
（3）分三种情况讨论：①以AD为对角线，则AD和的中点坐标相同；②以DC为对角线，则DC和的中点坐标相同；③以AC为对角线，则AC和的中点坐标相同．
【详解】解：（1）解：（1）由抛物线过点A（-1，0）及C（2，3）得
，
解得，
故抛物线为，
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3），则
，
解得，
故直线AC为y=x+1；
∵，
∴D(1，4)；
（2）过点p作PH∥y轴，交x轴于点H，交AC于点F，
∵点p在抛物线上，设P(，)
F点在直线AC上，设F(，)
∴PF=()-()=，
∴S△APC==，
当时，面积最大，=，
即P(，)
（3）存在，如图，理由如下：
由（1）知D(1，4)，A(-1，0)，C(2，3)，设Q(m，n)，
若以点A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，
①以AD为对角线，则AD和的中点坐标相同，
则，解得，
Q1（-2，1）；
②以DC为对角线，则DC和的中点坐标相同，
则，解得，
Q2（4，7）；
③以AC为对角线，则AC和的中点坐标相同，
则，解得，
Q3（0，-1）；
综上，符合条件的Q点有Q1(-2，1)；Q2(4，7)；Q3(0，-1)．