九年级上学期期末数学试题 (13)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (13)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 方程的解为（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
，
，
或，
解得：．
故选：D．
2. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，延长PO交⊙O于点C，若，，则AC的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接OA、AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．
【详解】解：如图，设CP交⊙O于点D，连接OA、AD．设⊙O的半径为r．
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，
∴OA⊥AP，∠APO=∠APB=30°．
∴OP=2OA，∠AOP=60°，
∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，
易证△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，
又∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC==2
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
3. 如图：抛物线和直线，当＞时，的取值范围（ ）
A. 0＜＜2B. ＜0或＞4C. ＜0或＞2D. 0＜＜4
【答案】A
【解析】
【分析】先根据抛物线和一次函数的关系式，求出抛物线与直线交点的横坐标，然后根据图象得出时，的取值范围即可．
【详解】解：由解得：，，
∴抛物线和直线的两个交点的坐标分别为：（0，0）、（2，0），
结合图形可知，当，的取值范围是：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握两函数图象的交点坐标就是由这两个函数关系式组成的方程组的解，求时，的取值范围，就是求第一个函数的图象位于第二个函数图象的上方部分所对应的自变量的取值．
4. 小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵10张卡片的数中能被4整除的数有：4、8，共2个，
∴从中任意摸一张，那么恰好能被4整除的概率是
故选C
5. 如图，正方形内接于，E为中点，直线交于点F，若的半径为，则C点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题综合运用了勾股定理，圆内接四边形，正确作出辅助线是解题的关键．
根据正方形的性质以及圆的性质可得出正方形边长，再利用勾股定理以及三角形面积关系得出即可．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵正方形内接于的半径为，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则C点到的距离为，
故选：C．
6. 如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ）
A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】D
【解析】
【详解】解：连接OC
因为弦AB与圆相切
所以，，AC=BC
在直角三角形AOC中
所以AB=2AC=8
故选：D
7. 若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 外离C. 内含D. 外切
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查两圆的位置关系和一元二次方程的解法．两圆的位置关系有：相离（外离：，内含：）、相切（外切：或内切：）、相交（）．
由两圆的半径分别是方程的两个根，可得两圆的半径，又由两圆的圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距，两圆半径的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【详解】解：∵，
，
解得：，
∵两圆的半径分别是方程的两个根，
∴两圆的半径和为4，
∵两圆的圆心距为5，
∴两圆的位置关系是：外离．
故选：B．
8. 将一幅三角板（含角的直角三角板与含角的直角三角板）按图示方式叠放，斜边交点为O，则与的面积之比等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形和含直角三角形的性质；
首先证明，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
∴，，
∴，
设，
∴，，
∴，
故选：D．
9. 已知二次函数，当自变量取、时，对应的函数值、，则、满足（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了抛物线与轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与轴无交点．
根据函数的解析式求得函数与轴无交点，利用二次函数开口向上，进而确定函数值为、．
【详解】解：令，
则，故方程无解，即二次函数与轴无交点，
∵，二次函数开口向上，
故当自变量取、时，对应的函数值、，
故选：A．
10. 如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题涉及的知识有等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质，解题的关键在于判定，并利用相似的性质建立二次函数关系式．
根据等边三角形的性质得，由于，得，根据三角形相似的判定方法得到，利用相似比即可得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵等边中，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
即，
图象开口向下，顶点坐标为，
故选：B．
二、填空题
11. 抛物线的顶点坐标是________，对称轴是________．
【答案】 ①. （-2，1） ②. 直线x= - 2
【解析】
【分析】根据配方法把二次函数化为顶点式即可得解．
【详解】试题解析：
=
=
∴抛物线的顶点坐标是（-2，1），对称轴是∶直线x=-2．
故答案为：（-2，1），x= - 2．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点以及对称轴，熟练掌握配方法是解题的关键．
12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______
【答案】m≥0且m≠1．
【解析】
【分析】让△=b2-4ac≥0，且二次项的系数不为0以保证此方程为一元二次方程．
【详解】解：由题意得：4m2-4m（m-1）≥0；
m-1≠0，
解得m≥0且m≠1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，难度不大．
错因分析 容易题.失分原因是：忽略一元二次方程二次项系数不为0这个条件.
13. 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为________．
【答案】外离
【解析】
【分析】本题考查了两圆的位置关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握判断两圆位置关系的方法．两圆的位置关系有：相离（外离：，内含：）、相切（外切：或内切：）、相交（）．
根据圆和圆的位置关系，判断圆心距和两圆半径之和之间的大小即可判断．
【详解】解：∵两圆的半径之和为9，
∴，两圆位置关系相外离，
故答案为：外离．
14. 一只不透明的布袋中有三种小球(除颜色以外没有任何区别)，分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
【详解】因为每次只摸出一只小球时，布袋中共有小球10个，其中红球2个，
所以第10次摸出红球的概率是．
故答案为15.
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【答案】20%
【解析】
【分析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880，
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去），
故答案为20%．
16. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形，图中的阴影部分的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】设与的交点为，连接，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等，再根据旋转角求出，然后求出，再解直角三角形求出，然后根据阴影部分的面积正方形的面积四边形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
在和中，，
，
，
旋转角为，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出，从而求出是解题的关键，也是本题的难点．
17. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】解：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，，
∴△ABG≌△DBH(ASA)，
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝．
故答案是：．
【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积是解题关键．
三、解答题：
18 解下列方程：
（1）用配方法解方程：；
（2）解方程：；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】该题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键是掌握解一元二次方程和解分式方程的方法．
（1）根据配方法解方程即可；
（2）去分母转化为一元一次方程求解即可；
【小问1详解】
解：可化为，
配方得：，
故，
开平方得，
∴；
【小问2详解】
解：
去分母， 得，
解得，，
把代入，
∴是原方程的解；
19. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）．
【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据直角坐标系的特点写出各点的坐标；
（2）分别将点绕点按逆时针方向旋转90°后得到点，然后顺次连接；
（3）点旋转到点的轨迹为圆弧，根据弧长公式和扇形的面积求解．
试题解析：
（2）所作图形如图所示：
（3）
∴点旋转到点所经过的路线长
则线段旋转到新位置是划过区域的面积
20. 在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．
【答案】游戏对双方不公平，理由见解析
【解析】
【详解】分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
详解：
如表所示：
由上述表格可得：
P（小明赢）= ，P（小亮赢）=．
∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大．
点睛：考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．求概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】（1）根据取出黑球的概率=黑球的数量÷球的总数量得出答案；
（2）根据概率的计算方法得出方程，从求出函数关系式．
【详解】（1）取出一个黑球的概率
（2）取出一个白球的概率
与的函数关系式为：．
22. 一只不透明的口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球取出黄球的概率为．
（1）取出绿球的概率是多少？
（2）如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有多少个？
【答案】（1）取出绿球的概率是；
（2）绿球有18个
【解析】
【分析】（1）取出绿球的概率取出黄球的概率；
（2）根据概率公式列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：取出绿球的概率是：；
【小问2详解】
解：设袋中共有个绿球，
∴，
解得，
经检验：是所列方程的解．
答：袋中的绿球有18个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23. 如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）4；（2）3π﹣6；
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD．
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴AB=2AC，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AB2+62，
∴AB=4．
（2）连接OD．
∵AB=4，
∴OA=OD=2，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，
∴S△AOD=OA•OD=×2×2=6，
∴S扇形△AOD=•π•OD2=•π•（2）2=3π，
∴阴影部分的面积=S扇形△AOD-S△AOD=3π-6．
【点睛】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．
24. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径r为6.
【解析】
【分析】（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可.
（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=（）2，求出即可.
【详解】（1）连接OA、OD，
∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC.
∴∠DOF=90°.∴∠D+∠OFD=90°.
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D.
∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°.
∴OA⊥AC.
∵OA为半径，∴AC是⊙O切线.
（2）∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r.
在Rt△DOF中，r2+（8﹣r）2=（）2，解得r=2（舍去）或r=6，
∴⊙O的半径r为6.
25. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）.求证：四边形是菱形．

【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由直径AB的长，求出半径及的长，再由的长，得到三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出的度数；
（2）由直线l与相切，根据切线的性质得到与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到，根据两直线平行同位角相等，可得出，再由AB为的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出为直角，用求出，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可证明四边形OBEC为平行四边形，再由，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴等边三角形，
∴，
∵圆周角与圆心角都对弧，
∴；
【小问2详解】
证明：∵直线l切于C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵AB为直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、平行四边形及菱形的判定等知识，是一道综合性较强的试题，做题时应结合图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．
26. 某商场试销一种成本为每件60元服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)的关系符合一次函数y＝－x＋140．
(1) 直接写出销售单价x的取值范围；
(2) 若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元；
(3) 若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x的范围．
【答案】（1）60≤x≤90；（2）当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元；（3）80≤x≤90．
【解析】
【分析】（1）由题意可知销售单价x的取值范围为：大于等于成本，小于等于成本×（1+50%）；
（2）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式；
（3）令函数关系式W=1200，解得x，然后进行讨论．
【详解】解：（1）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%
∴60≤x≤60（1+50%）
解得：60≤x≤90；
（2）W=（x-60）（-x+140），
=-x2+200x-8400，
=-（x-100）2+1600，
抛物线的开口向下，∴当x＜100时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤90，∴当x=90时，W=-（90-100）2+1600=1500．
∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元．
（3）由W=1200，得1200=-x2+200x-8400，
整理得，x2-200x+9600=0，
解得，x1=80，x2=120，
可知要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间，
而60≤x≤90，
所以，销售单价x的范围是80≤x≤90．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
27. 已知抛物线经过两点，且对称轴是y轴．经过点的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、Q为抛物线上的两动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点P为圆心，为半径的圆记为，判断直线l与的位置关系，并证明你的结论；
（3）设线段，G是的中点，求点G到直线l距离的最小值．
【答案】（1） （2）相切，见解析；
（3）点G到直线l距离的最小值是.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的对称轴为y轴可得：，再把两点坐标分别代入函数的解析式求出a、c即可；
（2）因为P在抛物线上，所以设点P坐标为，如图，过过点P作，垂足为H，根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的大小关系可判断直线l与的位置关系；
（3）分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F.连接EG并延长交的延长线于点K，易证得，由（2）知抛物线上任意一点到原点O的距离等于该点到直线l：的距离，即，所以只有当点P、Q、O三点共线时，线段的中点G到直线l的距离最小，进而求出点G到直线l距离的最小值．
【小问1详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，
∴．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点两点，
∴，
∴所求抛物线的解析式为．
【小问2详解】
设点P坐标为，
如图，过点P作，垂足为H，
∵， ，
∴，
∴直线l与以点P为圆心，长为半径的圆相切．
【小问3详解】
如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是D、E、F.连接EG并延长交的延长线于点K，
∵G是的中点，
∴，
∴，
由（2）知抛物线上任意一点到原点的距离等于该点到直线l：的距离，
即，
∴，
∴只有当点P、Q、O三点共线时，线段的中点G到直线l的距离最小，
∵，
∴，即点G到直线l距离的最小值是．第2次
第1次
红
红
白
红
（红，红）
（红，红）
（红，白）
红
（红，红）
（红，红）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）