九年级上学期期末数学试题 (11)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (11)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把x=0代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：．
3. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】解：连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
4. 若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（ ）
A. 先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律解答．
【详解】解：将抛物线y=x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y=（x+5）2-3，
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线平移的规律：抛物线，h值左减右加，k值上加下减，熟记规律是解题的关键．
5. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
6. 某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，可得半径，根据垂径定理，可知，设，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的垂径定理，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°．将△ABC绕着点B逆时针方向旋转得△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝（ ）
A. 90°B. 80°C. 75°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据旋转的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
，
由旋转可知，点绕点旋转后的对应点分别为点，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
8. 抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝1，与x轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象的对称轴和与y轴的交点位置判断出①正确，根据函数图象与x轴有两个交点坐标判断出②正确，根据当时，函数值小于0，判断出③正确，由对称轴得，再根据当时，函数值小于0，判断出④正确．
【详解】解：∵函数图象对称轴在y轴右边，
∴，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵函数图象与x轴有两个交点坐标，
∴，故②正确；
根据二次函数图象的对称性，它与x轴的另一个交点坐标在2和3之间，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
当时，，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是能够通过函数图象判断出各项系数之间的关系．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：
10. 在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有_______．
【答案】24个
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：估计箱子里黄色球有（个），
故答案为：个．
11. 已知是方程的解，则m的值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】直接把代入方程，即可求出的值．
【详解】由题意得：
把代入方程中，
则，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值．
12. 若抛物线的顶点在x轴上，则________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点位置求参数的问题，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式．
先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出b的值即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的顶点在x轴上，
，
解得：，
故答案为：．
13. 某小区有1300个住户，为了解小区居民生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查，结果如表一所示．
表一
根据表一，估计该小区居民当日生活垃圾总量为____________．
【答案】##1900千克
【解析】
【分析】用1300乘以抽取4栋楼的住户当日生活垃圾的平均量，即可求解．
【详解】解：该小区居民当日生活垃圾总量为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，求出抽取4栋楼的住户当日生活垃圾的平均量是解题的关键．
14. 小桐竖直向上抛出一个小球，小球只在重力作用下的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的图象是抛物线的一部分，如图所示．小球出手时的高度是 __________．

【答案】1.05m
【解析】
【分析】根据图象顶点为设顶点式，代入抛物线和横轴与纵轴的交点即可求得．
【详解】解：由图象可知抛物线的顶点为，根据顶点设抛物线解析式为：；
∵点在抛物线上，代入得，
∴，
∴抛物线解析式：，
当时，，
则小球出手时的高度是1.05m，
故答案为：1.05m．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用解析式的交点，根据图象特点设顶点式解析式时解题的关键．
15. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
16. 如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F．则下列结论正确的有_____

①连接，则垂直平分线段；
②是等边三角形；
③若，则；
④若，则．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的判定定理即可判断；②由等边三角形的性质得，由平行线的性质得，即可判断；③由等腰三角形的性质得，由三角形外角性质得，即可判断；④由等腰三角形的判定可得，由等边三角形的性质得，，，即可判断．
【详解】解：如图，连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴点A、C都在线段的垂直平分线上，
则垂直平分线段，故①正确，
∵，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，
∵，，
∴，
∵，
∴，故③错误，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，平行线的性质；掌握相关的判定方法及性质，能熟练进行线段和角的转换是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原方程根据公式法求解即可；
（2）原方程利用分解因式法求解．
【小问1详解】
方程中，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
原方程可变形为，
∴或，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和分解因式法解方程的方法是解题的关键．
18. 如图，是等边内一点，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接、、．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19. 先化简，再求值；，其中．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC．
（1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）连接OB，OC，若∠A＝45°，BC＝6，求弧BC的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）作∠BAC的角平分线AM，线段AB的垂直平分线EF，直线EF交AM于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
（2）求出∠BOC和半径，由弧长公式进行计算，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，⊙O即为所求．
【小问2详解】
解：连接OB，OC．
∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∵BC=6，
∴OB=，
∴弧BC的长=．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21. 不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别．
（1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；
（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的概率．
【答案】（1）13
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，摸到红球的概率为；
（2）由题意画树状图，根据树状图求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，摸到红球的概率为
∴摸到红球的概率为．
【小问2详解】
解：由题意画树状图为：
由图可知，两次摸到绿球的概率为
∴两次摸到绿球的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率．解题的关键在画出于正确的树状图．
22. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【小问1详解】
解：在中，令得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
23. 如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，于F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键．
（1）如图：连接OC，由角平分线的判定定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后结合即可证明结论；
（2）根据圆的定义可得，再在中运用三角函数可得，最后根据直角三角形的性质即可解答．
小问1详解】
证明：如图：连接OC；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
在中，，
∴,
∴．
在中，，
∴．
24. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是_______三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
【答案】（1）等腰直角；（2）BC+BD＝BE，证明见解析；（3）BD的长为或．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠DCE=90°，CD=CE，即可得△CDE是等腰直角三角形；
（2）根据旋转的性质可得∠DCE=90°，CD=CE，根据角的和差关系可得∠ACD=∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得BE=AD，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC，根据线段的和差关系即可得答案；
（3）根据SAS可证明△ACD≌△BCE，可得∠CBE=∠A=45°，可得∠ABE=90°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得BE＝BD，分D在B的左边和右边两种情况，利用线段的和差关系列方程求出BD的值即可得答案．
【详解】（1）∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角
（2）BC+BD＝BE，证明如下：
∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=BC，AD=AB+BD，
∴BE＝AB+BD＝BC+BD；
（3）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=45°，AD=BE，
∴∠ABE=90°，
∵∠DEB＝30°，
∴DE=2BD，
∴BE＝=BD，
如图1，当D在B的左边时，
∴AD＝BE＝AB﹣BD＝BC﹣BD；
∴BD＝BC﹣BD，
∵AC=BC=4，
解得：BD＝．
如图2，当D在B的右边时，当∠DEB＝30°时，
∴BE＝BD，
由（2）可得：BE=BD＝BC+BD；
解得BD＝．
综上所述：BD的长为或．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
25. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值；
（3）设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转90°得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求得顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得、的值；
（2）设．则，，然后得到与函数关系式，最后依据配方法可求得的最值；
（3）连接，过点作，垂足为．接下来证明，由全等三角形的性质得到，，设点的坐标为．则用含的式子可表示出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的解析式可求得的值，从而得到点的坐标．
【小问1详解】
，
抛物线的顶点坐标为，．
抛物线：与顶点相同，
=1，．
解得：，．
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图1所示：
设点的坐标为．
，，
．
当时，有最大值，最大值为．
【小问3详解】
如图2所示；连接，过点作，垂足为．
，，抛物线的对称轴为x=1，
，．
，
．
，
．
．
在和中，
，
，．
设点的坐标为．则，．
点的坐标为．
．
整理得：．
解得a=2，或．
当a=2时，的坐标为，
当时，的坐标为．
综上所述，当点的坐标为或时，恰好落在抛物线上．
所抽取的居民楼
A栋
B栋
C栋
D栋
住户数
30
30
40
30
该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量（）
40
45
70
35