九年级上学期期末数学试题 (5)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (5)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为．
∴新抛物线为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
2. 如图，已知，，，长为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，，
故选：B．
3. 在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状．
【详解】解：由题意得，，，
，，
即是等边三角形．
故选：C．
4. 如图，是的直径，C、D是上两点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据AB是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵AB是的直径，
．
∵和都是所对的圆周角，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．
5. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
6. 对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第一、三象限；②当时，随的增大而减少；③图象经过点，；④若点，，，都在图象上，且，则，其中正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象性质逐项分析，可得答案．
【详解】解：对于反比例函数，
∵
∴图象分布在第一、三象限，故①正确，
②当时，随的增大而减少，故②正确，
③当时，，故③正确，
④不确定与的大小关系，
∴不能确定点、所在的象限，故不能判断的大小关系，④不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象性质．
7. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：绕点A按逆时针方向旋转α，得到，
，
，，
，
，
，
故选：D ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，两点同时从原点出发，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运动时间为秒，以为直径作圆，圆心为点．在运动的过程中有如下5个结论：
①的大小始终不变；
②始终经过原点O；
③半径的长是时间t的一次函数；
④圆心的运动轨迹是一条抛物线；
⑤始终平行于直线．
其中正确的有（ ）
A. ①②③④B. ①②⑤C. ②③⑤D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据，即可判断①，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可判断②，根据题意求得，即可判断③④，待定系数法求得的解析式，即可判断⑤，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴，
∴的大小始终不变，故①正确；
如图，连接，
∴，
∴始终经过原点O，故②正确
∵
∴半径的长是时间t的一次函数，故③正确；
∵
∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确
∵，，
设直线的解析式为,
则，
解得：，
∴直线的解析式为
∴始终平行于直线，故⑤正确．
故选：D
【点睛】本题考查了求正切，，勾股定理，一次函数解析式，一次函数的平移，点的轨迹，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比．
10. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：添加，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
11. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为，则是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为，
由题意得：，
解得：，（舍去，不符合题意），
故答案为：．
12. 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．

【答案】200
【解析】
【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
14. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则___.
【答案】4
【解析】
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．
15. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
故答案为：或．
16. 如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】画出图象，根据图象即可判断．
【详解】解：如图所示，
①图形关于y轴成轴对称，故正确；
②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确；
③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；
④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本题有10个题，共68分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的运算法则和解三角函数即可得到结果.
【详解】解：原式＝4×+1﹣2+2﹣，
＝2+1﹣2+2﹣，
＝3﹣．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18. 如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点．
（1）求n和b的值；
（2）观察图像，不等式的解集为________．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接将点的坐标代入解析式中求解即可；
（2）根据图像可知A点左边y轴右边或B点右边的图像均有，即可求解．
【小问1详解】
把代入得：，
把代入，得：
把代入得：．
【小问2详解】
不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题关键是会用待定系数法求出解析式中的字母，能根据图像得到不等式的解集．
19. 如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．

（1）求线段的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；
（2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵为直角三角形，D是边中点，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
（2）补全条形统计图；
（3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【答案】（1）50，72
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
【小问2详解】
解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
【点睛】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；
（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．
【答案】（1）∠DAC＝40°；（2）4
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质判断出ADOC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD，则可得出答案．
（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AC的长．
【详解】解：（1）如图，连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴ADOC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAC＝∠BAD＝×80°＝40°；
（2）连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD＝6，AB＝8，
∴，
∴AC＝4．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．
22. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC边长．
【答案】（1）见解析；（2）AB=AC=BC＝18．
【解析】
【分析】（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝6，CE＝4，
∴，
解得AB＝18，
∴AB=AC=BC=18．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明以及性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
23. 一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度，假设AB所在的直线为地面，已知，当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的的位置时，由变为．
（1）你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？（参考数据：，）
（2）已知点O为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点O到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适．请你求出此时枕部E到地面的高度．
【答案】（1）调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约；
（2）枕部E到地面的高度为
【解析】
【分析】（1）过点E作，交AB的延长线于点F．利用锐角三角函数，即可求解；
（2）通过解直角三角形AEF可得结论．
【小问1详解】
如图，过点E作，交AB的延长线于点F．
当时，
，
此时．
当时，
，
此时．
所以调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约．
【小问2详解】
因为点O为AE的一个三等分点，
所以．
如图，过点O作，垂足为P．
设当人体感觉最舒适时，，
则，
所以．
所以当人体感觉最舒适时，枕部E到地面的高度为78cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程，正确构造直角三角形．
24. 如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至点F，连接，使得．

（1）求证：是的切线；
（2）已知 ，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径长为2
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可得，由余角的性质可求，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求的度数和的长度，由勾股定理可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，

，，
，
，是直径，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，过点作F交DF于点，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，求出的度数是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
【解析】
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）存在点P，使四边形POP′C菱形；．
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E．
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；．
连接PP′，则PE⊥CO于E，
．
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=．
∴y=−；
∴x2-2x-3=−，
解得（不合题意，舍去）．
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ．
=AB•OC+QP•BF+QP•OF．
=×4×3+ (−x2+3x)×3．
=− (x−)2+．
当x＝时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为．
26. 如图1，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，ABC＝∠AED＝α°．
（1）当α＝30°时，
①当点D，E分别落在边AC，AB上，猜想BE和CD的数量关系是______；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．分别连接CD，BE，则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，，直接写出线段CD的长．
【答案】（1）①BE＝2CD ；②仍然成立，证明见解析
（2）线段CD的长为或
【解析】
【分析】（1）①由30°直角三角形的性质可得AB=2AC， AE=2AD，可得BE=AB-AE=2 ( AC-AD) =2CD ；②通过证明，可得结论；
（2）分两种情况讨论，当点E在AB右侧时，如图3，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于F；以及当点E在AB的左侧时，如图4，过点A作AF⊥BE于点F，然后证明三角形的性质可求解；
【小问1详解】
①解：∠ACB=∠ADE=90，∠ABC=∠AED=30°，
AB=2AC， AE=2AD， .
BE=AB-AE=2 ( AC-AD )，
CD=AC-CD，
BE=2CD，
故答案为： BE=2CD ；
②解：BE=2CD仍然成立，理由如下：
∠ACB=∠ADE=90，∠ABC=∠AED=30°，
AB=2AC， AE=2AD，
，
∠BAC=∠DAE，
∠CAD=∠BAE，
，
，
BE=2CD ；
【小问2详解】
当点E在AB右侧时，如图3，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于F，
∠ABC=∠AED=，
，是等腰直角三角形，
AC＝10，，
， AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∠DAC=∠BAE，
，
，
，
，
∠DEB=∠DEF=90°， AF⊥BF，∠ADE=90°，
四边形ADEF是矩形，
AF=DE=， EF=AD=，
BF=，
BE= ，
CD=；
当点E在AB的左侧时，如图4，过点A作AF⊥BE于点F，
同理可求： BF=，
BE=，
CD=；
综上所述： CD的长为或.