(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 基本不等式 (精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用基本不等式求最值
角度一：凑配法
角度二：“1”的代入法
角度三：二次与二次（一次）商式（换元法）
角度四：条件等式求最值
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
第四部分：高考真题感悟
第六部分：第03讲 基本不等式 （精练基础）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
2．（2022·甘肃武威·高二期末（理））已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
3．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知，则的最小值是（ ）
A．3B．8C．12D．20
【答案】A
因为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
4．（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【详解】
时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C
5．（2022·云南·高二期末）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
设矩形的长为m，由题意，宽为，所以该菜园的面积为，则由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以该菜园面积的最大值为.
故选：A
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用基本不等式求最值
角度一：凑配法
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
例题2．（2022·河南南阳·高一期末）函数取最小值时的值为（ ）
A．6B．2C．D．
【答案】B
因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故选：B
例题3．（2022·海南华侨中学高一期末）函数，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
【答案】A
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是5．
故选：A．
2．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二期中）函数的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
解：（当且仅当时，即时取“=”），所以最小值为1，
故选：C.
3．（2022·山西晋中·高一期末）已知，则函数的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
由于，则，
故
当且仅当，即时取到等号，
因此的最小值为6．
故选：B
角度二：“1”的代入法
例题1．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．12C．D．6
【答案】A
【详解】
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
例题2．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．16D．20
【答案】C
由已知条件得
，
当且仅当，时，即，时等号成立.
故选：.
例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（文））已知，，且，则的最小值为______.
【答案】4
基本不等式即可求解.
【详解】
∵，即，
∴
又∵，，∴，当且仅当且，
即，时，等号成立，则的最小值为4.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·山东日照·二模）已知第一象限的点在直线上，则的最小值是___________.
【答案】##
解：因为第一象限的点在直线上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
故答案为：.
2．（2022·广东·化州市第三中学高二阶段练习）若，，且，则的最小值为________．
【答案】4
由题设，知：当且仅当时等号成立.
故答案为：4.
3．（2022·云南德宏·高一期末）若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
【答案】9
∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
角度三：二次与二次（一次）商式
例题1．（2022·甘肃武威·高二期末（文））函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．
故选：C．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】D
【详解】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
【答案】
因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．
【答案】
【详解】
当时，，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，函数的最小值为.
故答案为：.
角度四：条件等式求最值
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，，且，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当，
即，时等号成立，故的最小值．
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a、b满足，则ab的最大值为____________
【答案】
因为正数a、b满足，
故可得，
当且仅当时，即时取得最大值.
故答案为：
2．（2022·安徽·霍邱县第一中学高一开学考试）已知正数，满足，则的最小值为______．
【答案】18
由可得，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））若，且，则的最小值是____________.
【答案】
由，有，
则，
当且仅当，且，即时等号成立，
∴最小值为.
故答案为：
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
当时，由可得，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
又因为恒成立，
所以，
解得．
故选：C.
例题3．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为、，由已知可得，
因为，当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为，
故选：D．
题型归类练
1．（2021·北京·101中学高一期中）设，若关于的不等式对恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
因为 由，当且仅当，即时取等号.
则，可得，所以的最小值是9
故选：C
2．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.
【答案】不存在
由已知可得，，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.
故答案为：不存在.
3．（2022·山西晋中·二模（理））若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
因为对任意，恒成立，只需满足，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故实数的取值范围是.
故答案为：
4．（2021·四川·仁寿一中高一期中）对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是___________.
【答案】
对任意的，不等式恒成立等价于对任意的，不等式恒成立；
而，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故，所以的取值范围是，
故答案为：.
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
例题1．（2022·北京海淀·高一期末）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为.设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是（ ）
A．30B．60C．900D．180
【答案】B
解：某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值是.
故选：B
例题2．（2022·新疆吐鲁番·高一期末）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
题型归类练
1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径．某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元，每生产万件，需另投入成本（万元）．当年产量不足万件时，；当年产量不小于万件时，．通过市场分析，若每万件售价为400万元时，该厂年内生产的防护用品能全部售完．(利润=销售收入－总成本)
(1)求出年利润（万元）关于年产量（万件）的解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
【答案】(1)
(2)当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元
(1)
当且时，
，
当且时，
综上：
(2)
当且时，
∴当时，取最大值（万元）
当且时，
当且仅当，即时等号成立．
∴当时，取最大值（万元）
∵，
综上所述，当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元.
2．（2022·辽宁辽阳·高一期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】(1)
(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
(1)设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
(2)平均费用，
当且仅当，即时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
例题1．（全国市级联考）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数上是减函数，在上是增函数．
（1）用函数单调性定义来证明上的单调性；
（2）已知，，求函数的值域；
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.
试题解析：
（1）证明：设-=-=
--，
故函数
（2），
设 则 则， ．
由已知性质得，
当，即时， 单调递减；所以减区间为；
当，即时， 单调递增；所以增区间为；
，得的值域为
例题2．方程在区间内有解求的取值范围；
【答案】
【解析】根据题意得时，无解;在内有解，即:在 上的取值范围，设，当时，在为单调递减，在 为单调递增，因为，则当时，，故；
题型归类练
1．已知函数，求时，求的最小值；
【答案】
【详解】（1）因为在上为增函数，所以在上的最小值为；
2．（浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高一上学期10月阶段考试数学试题）已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.若函数，求的最值；
【答案】（1）最小值为4，最大值为5；
（1）当a=4时，函数在上是减函数，在上是增函数，
所以是单调递减函数，是单调递增函数，
，，，
的最小值为4，最大值为5.
3．（【新东方】新东方高二数学试卷296）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数,若函数的值域为，求实数b的值；
【答案】（1）；
（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则.
∵函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴函数的值域为
∵函数的值域为
∴，即.
第四部分：高考真题感悟
1．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A．B．C．5D．6
【答案】C
由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
3．（2017·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________．
【答案】8
解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
第五部分：第03讲 基本不等式 （精练基础）
一、单选题
1．（2022·甘肃武威·高二期末（文））函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．
故选：C．
2．（2022·湖南·高一课时练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题知：，且，所以，，故排除D.
因为，故排除A.
因为，故排除C.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）设a>0，则的最小值为（ ）
A．B．2
C．4D．5
【答案】D
，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.
故选：D.
4．（2022·全国·高一专题练习）如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（ ）
A．P＞Q＞MB．M＞P＞Q
C．Q＞M＞PD．M＞Q＞P
【答案】B
依题意，
根据基本不等式可知，
，
，
所以.
所以，即.
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，，若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为4.
故选：A.
6．（2022·全国·高一专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2＜m＜2
【答案】D
∵x>0，y>0且，
当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.
故选：D
7．（2022·全国·高一课时练习）若，则有（ ）
A．最小值2B．最大值2C．最小值D．最大值
【答案】D
又∵－4