(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第04讲 一元二次函数（方程，不等式）(精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度一：上恒成立（优选法）
角度二：上有解（优选法）
角度三：上恒成立（优选分离变量法）
角度四：上有解（优选分离变量法）
角度五：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
高频考点五：一元二次不等式的应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第04讲 一元二次函数（方程，不等式）（精练基础）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（多选）（2022·山东·聊城二中高三开学考试）命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（ ）
A．a>4B．C．D．
【答案】AD
由，则，
要使在上恒成立，
则，所以，
根据题意可得所求对应得集合是的真子集，
根据选项AD符合题意．
故选：AD．
2．（2022·山西运城·高一期末）不等式的解集为，则的取值范围是_________.
【答案】[0,1)##0≤k＜1
①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意；
②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得；
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.
【答案】0
由题意，得：，
且，2是方程的两根，
则，，
解得，，则.
故答案为：0.
4．（2021·北京市育英中学高一期中）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
不等式的解集为
所以-2和4是方程的两个根，由韦达定理得：，
所以，，且
为，同除以得：
解得：
故答案为：
5．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）解不等式：
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
(1)可得，∴
∴该不等式解集为；
(2)原不等式，∴，
∴该不等式解集为；
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文））求下列不等式的解集：
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
(1)不等式等价于，解得.
∴不等式的解集为.
(2)不等式等价于，解得或.
∴不等式的解集为.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：
(1)；(2)．
【答案】(1)或；(2).
(1)由，可得，
∴，
解得或，
所以原不等式的解集为或.
(2)由可得，，
∴，解得，
所以原不等式的解集为.
例题3．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）解下列关于的不等式；
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
(1)解：不等式可化为，
解得，
所以不等式的解集为；
(2)解：不等式可化为，解得或，
所以不等式的解集为.
题型归类练
1．（2022·广西·高二期末（文））解下列不等式：
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
(1)由题，即，解得或，即；
(2)由题，解得或，即
2．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
(5)或(6)或
(1)由题意，
令，故
解得：
不等式解集为
(2)由题意，
对应的二次函数开口向上，且
故恒成立，解集为
(3)由题意，
对应的二次函数开口向上，
故恒成立，故不等式的解集为
(4)由题意，
故
故不等式的解集为
(5)由题意，
令，故
故不等式的解为或
即不等式的解集为或
(6)由题意，
令
解得或
故不等式的解集为或
3．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
(1)由可得，即，解得
所以不等式的解集为
(2)由，可得，即
解得 或
所以的解集为
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如：，最高项系数为讨论时，从开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如两根分别为：，，讨论时从开始讨论
③根是否在定义域内：
如此时两根，，讨论时注意（舍去）
例题1．（2022·全国·高三专题练习），．解关于x的不等式：．
【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
（2）由得，
①当时，解集为，
②当时，解集为，
③当时，解集为．
例题2．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）若，.
求关于的不等式的解集.
【答案】
①当时，不等式的解为，解集为
当时，分解因式
的根为，.
②当时，，不等式的解为或；解集为.
③当时，，不等式的解为；解集为.
④当时，，不等式的解为；等式的解集为.
⑤当时，原不等式为，不等式的解集为.
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
题型归类练
1．（2022·河南安阳·高一期末（理））已知函数，.求关于的不等式的解集.
【答案】
由得：
方程的根为或
①当时，，不等式的解集是
②当时，，不等式的解集是
③当时，，不等式的解集是
综上，①当时，不等式的解集是
②当时，不等式的解集是
③当时，不等式的解集是
2．（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式
原不等式等价于
(1)当时，解集为
(2)当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为
(3)当时，，解集为
(4)当时，原不等式等价于，即，
解集为
(5)当时，，解集为
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
例题1．（2022·全国·高一期末）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】##
由题意可知方程的两根为，1，
所以，解得则不等式即为，
其解集为：.
故答案为：.
例题2．（2022·北京西城·高一期末）若不等式的解集为，则______，______．
【答案】
由题设，是的根，
∴，即，.
故答案为：，.
题型归类练
1．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
2．（2022·全国·高一）不等式的解集是或，则的值是（ ）
A．14B．0C．D．
【答案】D
解：∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，
∴一元二次方程2x2+mx+n＝0的两个根为3，﹣2．
由根与系数关系得，
解得：m＝﹣2，n＝﹣12．
所以.
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
根据原不等式可以推出，
因为不等式的解集为或，
所以，是方程的两根，且，所以.
故选:A
4．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）若不等式的解集为，则________．
【答案】11
由题意得：2与3是方程的两个根，则，，所以.
故答案为：11
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度一：上恒成立（优选法）
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
例题1．（2022·上海·格致中学高一期末）若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
不等式对一切实数x恒成立，
，解得：
故答案为：.
例题2．（2022·上海·高三专题练习）当为何值时，不等式，对一切实数都成立．
【答案】.
当时，即时，原不等式为5对一切实数恒成．
若，要使恒成立，则且，
∴，则．
综上，时，原不等式对一切实数都成立
题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
因为不等式的解集为
所以，
解得，
所以的取值范围是，
故选：A.
3．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）不等式的解集为R，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
当时，不等式化为，解集为，符合题意.
当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
4．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.
【答案】
当时，，满足题意；
当时，
则，即，
解得：，
综上：.
故答案为：
角度二：上有解（优选法）
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
例题1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，
即，所以，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
例题2．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一阶段练习）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是
A．B．C．D．
【答案】B
因为的解集非空,显然成立，由,综上，的解集非空的充要条件为.，所以选B．
题型归类练
1．（2022·重庆市渝北中学校高一阶段练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
因为命题“，”是真命题，则，解得.
故答案为：.
2．（2022·广西玉林·高二期中（理））已知命题“，使”是真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
依题意：“，使”是真命题，
所以，
解得或.
故答案为：或
3．（2022·新疆·皮山县高级中学高一阶段练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
【答案】
不等式有解等价于有解，
所以，故或，填.
角度三：上恒成立（优选分离变量法）
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题，若为真命题，则的取值范围为___________(结果用区间表示).
【答案】
，，则，
令，则在上单调递增，
，，即的取值范围为.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）对，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
对，若不等式恒成立，
则，
因为，所以.
故选：C.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）设函数，对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
∵对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立，
∵，∴，
∴实数的取值范围是.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）若，关于的不等式恒成立，则实数的最大值是______．
【答案】6
若，关于的不等式恒成立，
可得对恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
所以的最小值为6，
所以，
即的最大值为6．
故答案为：6．
3．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数，若时，恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
由题意，当时，恒成立，
等价于当时，恒成立，
进一步等价于，等价于，
设，，
由勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，
又当时，当时，
，
，
故答案为：．
4．（2022·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
所以恒成立，即在恒成立，
所以且，又因为在上是增函数，
所以，所以.
故答案为：.
角度四：上有解（优选分离变量法）
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
不等式等价于存在，使成立，
即
设
当时，
所以 .
故选：A
例题2．（2022·湖北·沙市中学高一期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
时，不等式可化为；
当时，不等式为，满足题意；
当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，
所以，即；
当时，恒成立；
综上所述，实数的取值范围是
答案选A
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：关于的不等式在内有解，等价于在内，
令，
因为抛物线的对称轴为，
所以当时，取最大值，
所以，
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：关于的不等式在区间，上有解，
在，上有解，
即在，上成立；
设函数，，，
在，上是单调减函数，又，
所以的值域为，，
要在，上有解，则，
即实数的取值范围为．
故选：．
3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式在区间上有解，则a的取值范围是________．
【答案】
不等式在区间上有解
设，易知单调递减
故答案为
角度五：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是_________.
【答案】
不等式化为：，
令，则时，恒成立，
所以只需，即，
所以的范围是，
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））对于的任意，不等式恒成立，则的取值范围是________________．
【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．
令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.
则⇒
⇒
即x3.
故答案为(－∞，－1)∪(3，＋∞)
题型归类练
1．（2020·江苏·高一单元测试）若函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】A
，
对恒成立，
或，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）对于任意函数的值恒大于零,那么的取值范围是( )
A．(1,3)B．(-∞,1)∪(3,+∞)
C．(1,2)D．(3,+∞)
【答案】B
f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,
令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
由题意知即
解得x>3或x