(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 平面向量的数量积 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 平面向量的数量积 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版），文件包含艺考基础新高考数学一轮复习精讲精练第03讲平面向量的数量积高频考点精讲原卷版doc、艺考基础新高考数学一轮复习精讲精练第03讲平面向量的数量积高频考点精讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
角度2：平面向量数量积的几何意义
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
角度2：向量模运算
角度3：向量的夹角
角度4：已知模求数量积
角度5：已知模求参数
角度6：向量的投影问题
角度7：垂直问题
高频考点三：平面向量的综合应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、常用结论
①
②
③
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高一期中）设是任意向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2022·湖南·湘潭一中高二阶段练习）已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）
A．，B．可能成立
C．若，则D．若，则或
题型归类练
1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）(多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（ ）
A．
B．，反向
C．
D．
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
角度2：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（2022·江苏·沭阳县修远中学高一期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．4B．8C．D．
例题2．（2022·海南中学高三阶段练习）如图，在菱形中，若，则（ ）
A．8B．C．4D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，在上的投影的数量为，而在上的投影的数量为，求，．
题型归类练
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））已知，，向量在方向上投影是4，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
2．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶段练习）已知，向量在向量上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则（ ）
A．2B．-2C．3D．
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二开学考试）向量在向量方向上的数量投影为，且，则______．
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
典型例题
例题1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）若的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．2
例题2．（2022·河南许昌·高一期末（理））已知向量，，且，，与的夹角为，则（ ）
A．36B．C．54D．
例题3．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知中，，且，则（ ）
A．B．C．8D．9
题型归类练
1．（2022·新疆·和硕县高级中学高一期末）已知向量，，若与的夹角为，则为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2022·河北唐山·高一期末）已知等边三角形ABC的边长为2，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（ ）
A．0B．C．D．
角度2：向量模运算
典型例题
例题1．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A．B．7C．D．3
例题2．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（文））已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
例题3．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）平面向量与的夹角为，，，则__________．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，为的中点，若，，与的夹角为，则＝____．
例题5．（2022·河南信阳·高一期中）已知，，则___________．
题型归类练
1．（2022·云南丽江·高一期末）已知向量的夹角为，且，则___________.
2．（2022·云南省楚雄天人中学高二阶段练习）已知向量的夹角为，，则_________．
3．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知平面向量，满足，且的夹角为，则_____．
4．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知向量，，则______.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，，则______．
角度3：向量的夹角
典型例题
例题1．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知等边三角形，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
例题3．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知，，则与的夹角等于（ ）
A．150°B．90°C．60°D．30°
例题4．（2022·全国·高三专题练习）设向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知向量，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例题6．（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）已知向量满足，则的夹角为___________.
题型归类练
1．（2022·四川眉山·高一期末（理））向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））已知，，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·四川乐山·高一期末）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·陕西西安·高一期末）已知向量，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·新疆·新和县实验中学高一期末）已知向量，，，则与的夹角为________．
角度4：已知模求数量积
典型例题
例题1．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知向量满足，则（ ）
A．2B．C．1D．
例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知 ，向量 的夹角为，则 （ ）
A．B．1C．2D．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则_________．
2．（2022·北京十五中高一期中）若向量满足，则_____.
角度5：已知模求参数
典型例题
例题1．（2022·青海·模拟预测（理））已知，向量，若，则实数（ ）
A．B．C．-2D．2
例题2．（2022·全国·高三专题练习）向量，满足，．若的最小值为，则（ ）
A．0B．4C．8D．16
例题3．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知向量，，且，则_______．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，，且，则取最小值时的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，，若与的夹角为，则m的值为（ ）
A．2B．C．1D．
4．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））已知向量,,若,则______．
角度6：向量的投影问题
典型例题
例题1．（2022·湖南永州·一模）已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2022·湖南衡阳·高一期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A．B．C．2D．4
例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量的模为______．
题型归类练
1．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知向量，，则在上的投影的数量为（ ）
A．B．-C．D．-
2．（2022·山东·汶上县第一中学高二阶段练习）己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．
3．（2022·上海市洋泾中学高三开学考试）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量为______
4．（2022·甘肃武威·高一期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.
角度7：垂直问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·盐城市大丰区南阳中学高二阶段练习）已知平面向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·山东·高三开学考试）已知向量、为单位向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若单位向量满足，且，则实数k的值为___________.
例题5．（2022·安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习）已知向量，满足，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
题型归类练
1．（2022·湖北武汉·高二期末）已知单位向量的夹角为，与垂直，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南开封·高一期末）已知单位向量，的夹角为60°，若，则（ ）
A．－2B．C．D．2
3．（2022·广西·模拟预测（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为___________.
4．（2022·江苏·淮海中学高二开学考试）已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
5．（2022·陕西西安·高一期末）已知，且向量的夹角是．
(1)若，求k的值；
(2)求的值．
高频考点三：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（ ）
A．B．61C．75D．60
例题2．（多选）（2022·甘肃兰州·高一期末）已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A．B．C．4D．6
例题3．（2022·上海交大附中高二阶段练习）边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形，点在边上，且满足，设向量，的夹角为，则＝________．
例题5．（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）平面向量满足，则与夹角的最大值为_______
例题6．（2022·上海·高三开学考试）已知、是单位向量，且，设向量，当时，的最小值为______．