(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 等比数列及其前n项和 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度1：等比数列的性质
角度2：等比数列与等差数列的综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等比数列基本量的运算
典型例题
例题1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【详解】因为，
所以
设公比为q，可得：，
两式相除得：
故选：A
例题2．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】因为为等比数列，所以，所以，则，
又单调递增，所以，
解得：，，则，
因为，所以．
故选：A
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若，，成等比数列，则________．
【答案】
【详解】因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）
故答案为：
例题4．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
【答案】(1)；
(2)，，或，；(3)9；(4)±4.
(1)等比数列中，，，
；
(2)等比数列中，，，
，
；
当时，，
当时，，
，或，；
(3)等比数列中，，，
，
；
(4)等比数列中，设公比为q，
∵，，
∴，
两式相除并化简得，，
解得或，
当时，，，
当时，，，
综上，或．
题型归类练
1．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）设是等比数列的前n项和，，，则首项（ ）
A．B．12C．1或D．3或12
【答案】D
【详解】是等比数列的前n项和，，，
∴当公比q＝1时，，此时满足题意，
当公比q≠1时，，
解得，
∴首项的值为3或12．
故选：D．
2．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等比数列中，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，解得，.
故选：C
3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列是等比数列．
(1)如果，，求公比和；
(2)如果，，求公比和．
【答案】(1)，
(2)，
(1)由已知
.
即，；
(2)由已知，
即，.
4．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求.
【答案】(1)或
(2)或
（1）设等比数列的公比为，
由得：，即，解得：或，
或.
（2）当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：或.
题型二：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由，得（，），两式相减得，（，），则（，）．
又时，，所以此数列从第2项起是公比为4的等比数列，所以（，），则．
故选：A．
例题2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））数列中，若，，（，），则_________．
【答案】
【详解】由题意知：，又由得，故数列是首项为，公比为3的等比数列，故.
故答案为：.
例题3．（2022·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是
(1)由已知，，又
故数列是以3为公比，3为首项的等比数列；
(2)由已知，，又
故数列是以8为公比，16为首项的等比数列；
(3)由已知，，又
故数列是以为公比，为首项的等比数列；
(4)，等比数列中各项均不能为0，
故数列不是等比数列.
例题4．（2022·内蒙古通辽·二模（文））已知数列的前项和为，且.
(1)证明：为等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(1)证明：因为，所以当时，，可得；
当时，由可得，
所以，所以.
即是首项为，公比为的等比数列，所以，.
题型归类练
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））数列的前项和为，且满足，，则________.
【答案】.
【详解】因为，所以，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以.
故答案为
2．（2022·天津河东·高二期末）若数列的通项公式，其前5项和___________
【答案】
【详解】数列的通项公式，
则，故数列首项为2公比为2的等比数列，
所以
故答案为：
3．（2022·山东淄博·高二期末）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
【答案】(1)证明见解析，
(1)解：因为①，
当时，解得，
当时②，
①②得，即，即，
所以，，所以是以为首项、为公比的等比数列，
所以.
4．（2022·山西临汾·一模（理））已知数列的前n项和为，满足
(1)证明：数列为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
(1)
证明：由题可知，
①
②
得∶，即
当时，由①知
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度1：等比数列的性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A．成等比数列B．成等比数列
C．成等比数列D．成等比数列
【答案】D
【详解】由等比数列的性质得，
因此一定成等比数列．
故选：D.
例题2．（2022·四川成都·高一期末（文））已知在递减等比数列中，，，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【详解】由，且可解得 ，因此可得等比数列的公比为 ，所以
故选：A
例题3．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】C
【详解】∵，∴，
∴.
故选：C.
例题4．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，
显然，
故选：B
例题5．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
【答案】D
【详解】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
例题6．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.
故选：A
例题7．（多选）（2022·浙江·高二期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【详解】因为，，，
所以，，所以，故A正确.
，故B错误；
因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；
又，，所以的最大值为，故D正确.
故选：AD
题型归类练
1．（2022·全国·高二）已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【详解】等比数列满足，
.
故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【详解】对于A项，，得，，故A正确；
对于B项，当时，，但，故B错误；
对于C项，，，
，即，故C正确；
对于D项，当时，，但，故D错误；
故选：AC
3．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）在等比数列中，若，是方程的两根，则_________.
【答案】
【详解】若，是方程的两根，则
∵数列为等比数列，则
故答案为：．
4．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．10B．70C．30D．90
【答案】B
【详解】由等比数列的性质可得，，，成等比数列
∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）
∴400＝10·（S30－30）
∴S30＝70
故选：B.
5.（2022·全国·高二课时练习）等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．16B．48C．32D．63
【答案】D
【详解】因为为等比数列的前n项和，结合条件，所以，，成等比数列，
所以，即，解得Sn=63.
故选D.
6．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【详解】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；
故选：
7．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
【答案】
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
角度2：等比数列与等差数列的综合问题
典型例题
例题1．（2021·宁夏育才中学高二期中（理））已知等差数列满足，，等比数列满足，，则
A．32B．64C．128D．256
【答案】B
【详解】由，可知数列,所以,故.故选B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比等于________．
【答案】
【详解】∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案为：.
例题3．（2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试）已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）
【详解】解：（Ⅰ）∵，∴①
∵，，成等比数列，∴，∴化简得，
若，
若，②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是或
题型归类练
1．（2021·陕西宝鸡·模拟预测（理））在等差数列中，，且，，成等比数列，则公差__________．
【答案】3
【详解】 ，，成等比数列，
， 解得d=3或d=-1,当d=-1时， 不符合等比数列，故d=3
故答案为3
2．（2021·河南·南阳中学高二阶段练习）已知1、、、9成等差数列，1、、、、9成等比数列，且、、、、都是实数，则________．
【答案】
【详解】因为1、、、9成等差数列，所以，
因为1、、、、9成等比数列，
所以且，，
所以，答案为
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）当时，.当时，.
【详解】设的公差为d，的公比为q，则，.
由得.①
（1）由得②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式为.
（2）由得.
解得.
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.