(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 二项式定理(高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二 部分：典型例题剖析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
角度2：系数最大问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.
知识点二：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；
③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1）展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知的展开式的各项系数之和为81，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】由题意，令得：，解得：．
故选：B
例题2．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）的展开式中的常数项为___________.
【答案】24
【详解】解：由通项公式得:,
令,即可得,
所以展开式的常数项为:.
故答案为：24
例题3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在的展开式中，的系数为8，则实数的值为______．
【答案】2
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以系数是，解得．
故答案为：2.
例题4．（2022·浙江绍兴·一模）的展开式中常数项为______.（用数字作答）
【答案】84
【详解】根据通项公式,
令 ,解得,所以,
故答案为:84.
同类题型归类练
1．（2022·四川广安·高三阶段练习（理））在展开式中的系数为24，则实数的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【详解】解：展开式中的系数为，解得.
故选：D.
2．（2022·上海市延安中学高三期中）的二项展开式中，的系数为_________.
【答案】
【详解】的二项展开式通项为，
令，解得，
所以，
所以的系数为，
故答案为：.
3．（2022·四川雅安·模拟预测（理））在的展开式中，的系数为，则______．
【答案】##
【详解】的展开式中，含的项为，
所以.
故答案为：
4．（2022·上海奉贤·高三期中）在的展开式中，的系数为______．
【答案】1
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，即的系数为，
故答案为：1
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【详解】由知展开式中含有的项为：
和 ，
所以展开式中的系数为：4+8=12
故选：C．
例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）的展开式中，的系数为_________.（用数字作答）
【答案】–256
【详解】展开式的通项公式为：，
展开式中含x项为：
，
∴展开式中含项的系数为–256.
故答案为：
例题3．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中）的展开式中，记项的系数为，则______．
【答案】30
【详解】含有的项为，则；
含有的项为，则；
则.
故答案为：30.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高二期中）的展开式中所有项的系数和为________．
【答案】0
【详解】令有，故的展开式中所有项的系数和为0.
故答案为：0
2．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习）的展开式中含项的系数是__________（结果用数字表示）.
【答案】
【详解】展开式中含项的系数是.
故答案为：
3．（2022·云南普洱·高二期末）的展开式的常数项为_______．
【答案】
【详解】由于，
故展开式的常数项为，
故答案为：．
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中的系数为（ ）
A．42B．56C．62D．66
【答案】B
【详解】，故的系数为.故选B.
一题多解
可以看成4个相乘，展开式中可以在1个里选择，在1个里选择，在剩下的因式中选择2，此时的系数为，也可以在3个中各选1个，剩下的因式中选择2，此时的系数为，综上所述，展开式中的系数为.故选B.
例题2．（2022·辽宁·模拟预测）记的展开式中含项的系数为（其中），则函数的最小值为（ ）
A．﹣45B．﹣15C．0D．15
【答案】A
【详解】由二项式展开式得：含项的系数为，
即．
故选：A．
例题3．（2022·全国·高二单元测试）的展开式中所有不含的项的系数之和为（ ）
A．B．C．10D．64
【答案】A
【详解】在的展开式中，通项公式为
若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项.
令，得这些项的系数之和为
故选：
同类题型归类练
1．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）关于的展开式，下列结论不正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0
C．常数项为D．系数最大的项为第3项
【答案】D
【详解】解：，可得二项式系数和为，故A正确；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
故选：D.
2．（2022·安徽·高二期中）的展开式中含项的系数为（ ）
A．－120B．120C．－60D．60
【答案】A
【详解】由题意得，的展开式中含项为．
故选：A．
3．（2022·浙江邵外高二阶段练习）的展开式的各项系数和为，则a的值是（ ）
A．2B．3C．6D．8
【答案】B
【详解】∵的展开式的各项系数和为-32，
令，可得，
故（1-，解得，
故选：B.
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【详解】由题意可知：，
故选：A
例题2．（2022·浙江邵外高二期中）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由已知可得，所以，.
故选：A.
例题3．（2022·浙江·绍兴一中高三期中）的展开式中，所有项的二项式系数之和为________.
【答案】
【详解】在展开式中，所有项的二项式系数和为.
故答案为：.
例题4．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）若展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为______．
【答案】5670
【详解】因为二项式系数和等于,所以,
由二项式展开式通项公式,
令解得,所以常数项为.
故答案为: 5670.
例题5．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为___________.
【答案】1120
【详解】所有二项式系数的和为256,,,
则展开式的通项公式为，
令可得，展开式的常数项为.
故答案为：1120.
同类题型归类练
1．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）求的展开式的第4项的二项式系数（ ）
A．B．C．15D．20
【答案】D
【详解】由二项展开式的二项式系数的性质，
可得二项式的展开式的第4项的二项式系数.
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（ ）．
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【详解】根据二项式系数的对称性知，则，
故选：C．
3．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为___________
【答案】
【详解】由题意，二项式的展开式的二项式系数之和为，
令，可得展开式的各项系数之和为，
因为二项式系数之和与各项系数之和比为，可得，即，解得，
所以二项式展开式的项数为.
故答案为：.
4．（2022·北京八十中高二期中）二项式的展开式中各项的二项式系数之和为________.
【答案】32
【详解】由，即二项式系数和为32.
故答案为：32
5．（2022·山东德州·模拟预测）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为______．
【答案】
【详解】解：由题意得：
令，则，所以的展开式中，各项系数和为
又二项式系数和为，所以，解得．
二项展开式的通项，令，得
所以展开式的常数项为．
故答案为：．
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】的展开式通项公式为，
则第3项的系数为，倒数第3项的系数为，
因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，
所以，所以，解得，
所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
故选：C
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】由题意可知,,
,即,
，解得．
故选：C．
例题3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.
【答案】##
【详解】解：因为（）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，
所以，解得
所以展开式的通项为，
由得，，
所以常数项为第四项．
故答案为：
例题4．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）在二项式的展开式中.
(1)求的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)60
(2)
(1)
（1）的展开式的通项公式为，当，即时，的系数，即的系数为60
(2)
二项式的展开式第项的二项式系数为，因为，即展开式中二项式系数最大的项为，故展开式中二项式系数最大的项为
同类题型归类练
1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得
∴系数的最小值为
故选：C.
2．（2022·湖南益阳·高二期末）在的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】ABC
【详解】解：已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则，或，或，
故选：ABC．
3．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）在已知的展开式中各项的二项式系数之和为32．
(1)求；
(2)求展开式各项系数之和；
(3)求展开式中二项式系数取得最大值的项．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(1)
由题知：，解得.
(2)
因为，令得，
所以展开式各项系数之和为.
(3)
因为，所以展开式中第项和第项的二项式系数最大，
因为，，
，.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】，
【详解】解：令，则展开式中各项系数和为，
又∵展开式中二项式系数和为，
∴，即．
∵，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，
．
角度2：系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第项和第项B．第项
C．第项和第项D．第项
【答案】B
【详解】因为的展开式通项为，
其中第项和第项的二项式系数最大，但第项的系数为正，第项的系数为负，
故按降幕排列的展开式中，系数最大的项是第项.
故选：B.
例题2．（2022·河南河南·三模（理））已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．
【答案】1120
【详解】设展开式的通项为，故第四项的系数为，倒数第四项的系数，所以，，解得，所以第五项二项式系数最大，故最大项的系数为.
故答案为:1120
例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)证明见解析
(2)第二项和第三项
(1)
证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，
（舍）或.
二项展开式中第项，令，
所以展开式中没有常数项得证.
(2)
由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，
又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项.
例题4．（2022·全国·高二单元测试）在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.
同类题型归类练
1．（多选）（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项
【答案】BC
【详解】的展开式的通项公式为：
则第项的系数为：
设第项的系数最大，则
即，即
解得，所以或时，的展开式中系数最大
即的展开式中系数最大是第3,4项,
故选：BC
2．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意可得，即，则.
(2)
展开式的通项为，
设展开式的第项的系数最大，则
解得，所以.
所以展开式中系数最大的项为.
3．（2022·江苏·苏州外国语学校高二期末）若展开式中前三项的系数和为163，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项.
【答案】（1）144x3，5376；（2）5376.
【详解】易求得展开式前三项的系数为1，2，4.
由题意得1+2+4=163，可得n=9.
（1）设展开式中的有理项为，
由=，
又∵0≤k≤9，∴k=2，6.
故有理项为，
.
（2）设展开式中项的系数最大，
则
∴≤k≤，
又∵k∈N，∴k=6，
故展开式中系数最大的项为T7=5376.