高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量复习练习题

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思维导图
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知识梳理
（一）课前研读课本，梳理基础知识
一、简谐运动的回复力
1．回复力
①定义：使振动物体回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。
2．简谐运动：理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
二、简谐运动的能量
1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
①在最大位移处，势能最大，动能为零。
②在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
三、简谐运动中各物理量的变化
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从C运动到O的过程中，位移方向为正，大小逐渐减小；回复力方向为负，大小逐渐减小；振子速度方向为负，大小逐渐增大；动能逐渐增大；势能逐渐减小。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
（二）辨析
1. (1)回复力的方向总是与位移的方向相反吗?
(2)回复力为0时,物体所受合力一定为0吗?
(3)如图所示,m和M保持相对静止,在弹簧的作用下一起在光滑的水平面上做简谐运动。m的回复力由谁提供?
【答案】(1)回复力的方向总是指向平衡位置,而位移的方向是由平衡位置指向物体所在位置,所以回复力的方向总是与位移的方向相反。
(2)物体做简谐运动回到平衡位置时，回复力为0,但合力可能不为0。例如:物体沿圆弧做简谐运动,如图所示。当小球运动到圆弧的最低点(平衡位置)时,回复力为0,小球所受的合力用来提供向心力,所以小球所受的合力不为0。
(3)由M对m的静摩擦力提供。
2. (1)公式F=-kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数?
(2)弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力如何变化?从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢?
【答案】(1)不一定。做简谐运动的物体，其回复力特点为F=-kx,这是判断物体是否做简谐运动的依据,但k不一定是弹簧的劲度系数。
(2)由回复力F=-kx可知:从平衡位置到达最大位移处的过程中,回复力逐渐增大,方向一直指向平衡位置。从最大位移处向平衡位置运动的过程中,回复力逐渐减小,方向一直指向平衡位置。
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题型精讲
【题型一】简谐运动的回复力
【点拨】
1．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。
2.简谐运动的动力学特征:回复力F=-kx
(1)凡是满足F=-kx的运动都是简谐运动。k是比例系数,并非一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数),其值由振动系统决定,与振幅无关。
(2)“-”号表示回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移的方向相反。
(3)判断一个物体是否做简谐运动,可找出回复力F与位移x之间的关系,若满足F=-kx,则物体做简谐运动,否则就不是简谐运动。
3.简谐运动的运动学特征:加速度a=-k'x
(1) 可以简化为a=-k’x,表示加速度跟位移大小成正比,并总指向平衡位置。当然k也可以写为k,这里用k'表示是为了与F=-kx的比例系数相区别
(2)a=-k'x表明简谐运动是变加速运动,且加速度和速度都在做周期性的变化。
(3)判断一个振动是否为简谐运动就看它是否满足动力学特征或运动学特征。F=-kx与a=-k'x都可以作为判断的依据。
4.判断振动物体是否做简谐运动的方法
①振动物体的回复力满足F＝－kx；
②振动物体的位移x与时间t满足函数关系；
③振动物体的振动图像是正弦曲线。
【典型例题1】（23-24高二上·四川达州·期中）如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】物体在跟位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下振动，叫简谐运动。选项C的图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动。
故选C。
【典型例题2】（2024·河南焦作·一模）在野钓时，如图所示的圆柱形浮漂只在重力和浮力的作用下沿竖直方向一上一下地振动，忽略钓鱼绳拉力的作用，可将这种振动视为简谐振动，其回复力为。已知河水的密度为，浮漂的横截面积为S，重力加速度为，则比例系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设圆柱形浮漂与液面交点为O，浸在水中的体积为V0，根据平衡条件得
振动视为简谐振动，振动过程中任意时刻，O点偏离液面的位移为x，回复力的大小为
已知回复力大小为
联立解得
故选B。
【对点训练1】（23-24高二上·海南·期末）（多选）如图所示，将一劲度系数k=50N/m的轻弹簧与一质量为m的小圆柱体连接在一起，弹簧左端固定在墙上，保持弹簧水平且整个装置放在光滑的水平面上，小圆柱体刚好静止在O点。用手缓慢拉动小圆柱体到达N点，松开手后小圆柱体一直在MN之间振动，振幅A=20cm。下列说法正确的是（ ）
A．小圆柱体振动过程中，弹簧最大弹力为10N
B．小圆柱体运动到O点时弹簧弹性势能最大
C．小圆柱体从M→O→N的过程，弹簧弹性势能先减小后增大，动能先增大后减小
D．小圆柱体从M→O→N的过程，回复力大小先减小后增大，方向先向左后向右
【答案】AC
【详解】A．小圆柱体振动过程中，弹簧最大弹力为
故A正确；
BC．小圆柱体运动到O点时，弹簧处于原长，弹簧弹性势能最小，小圆柱体的动能最大；则小圆柱体从M→O→N的过程，弹簧弹性势能先减小后增大，动能先增大后减小，故B错误，C正确；
D．小圆柱体从M→O→N的过程，回复力大小先减小后增大，方向先向右后向左，故D错误。
故选AC。
【题型二】简谐运动的能量
【典型例题1】（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图所示，竖直弹簧上端固定，质量为的小球在竖直方向做振幅为的简谐运动。当小球振动到最高点时弹簧恰好为原长，重力加速度为，则小球在简谐运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
B．小球最大动能等于
C．弹簧最大弹性势能等于
D．小球在最低点时弹簧的弹力大小为
【答案】D
【详解】A．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，因此弹簧的弹性势能和小球的动能、重力势能之和保持不变，A错误；
B．小球在平衡位置的速度最大，动能最大，根据
解得
即小球的最大动小于，B错误；
C．由于小球在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长，则小球运动到最低点时，小球下降的高度为2A，减小的重力势能全部转化为弹性势能，即弹簧的最大弹性势能等于，C错误；
D．当小球振动到最高点时，弹簧正好为原长，则在最高点小球仅仅受到重力作用，加速度为a=g
根据简谐运动的对称性可知小球在最低点时有
解得
D正确。
故选D。
【对点训练1】（23-24高二下·浙江·期中）关于图中弹簧振子的简谐运动，下列说法中正确的是（ ）
A．振幅越大，则弹簧振子的周期越大
B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力提供
D．振子在振动过程中，动能与重力势能之和保持不变
【答案】B
【详解】A．弹簧振子的周期与振幅无关，与弹簧的劲度系数和振子的质量有关，故A错误；
B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧的弹力竖直向上，弹簧弹力始终做正功，故B正确；
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和重力的合力提供，故C错误；
D．振子在振动过程中，动能、重力势能与弹性势能之和保持不变，故D错误。
故选B。
【题型二】简谐运动中各物理量的变化
【点拨】
1. 规律总结
①当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
②当小球位于B与O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O与C点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；B→O→C过程中，速度方向向右，C→O→B过程中，速度方向向左。
③简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
2.分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
①分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
②分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
【典型例题1】（22-23高二下·四川达州·期末）如图所示，小球在轻弹簧作用下在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（ ）

A．小球在O点受到重力、支持力和回复力作用
B．小球由O向B运动过程中，小球做匀减速运动
C．小球由A向O运动过程中，弹簧弹性势能减小
D．小球在往复运动过程中机械能守恒
【答案】C
【详解】A．小球在O点回复力为零，即弹簧的弹力为零，受到重力、支持力作用，故A错误；
B．小球由O向B运动过程中，弹簧的弹力逐渐增大，方向指向O，小球做非匀减速运动，故B错误；
C．小球由A向O运动过程中，弹簧的形变量逐渐减小，弹性势能减小，故C正确；
D．小球在往复运动过程小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧对小球做功，小球的机械能不守恒，故D错误。
故选C。
【对点训练1】（23-24高二下·湖北·期中）一弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置，P、Q是振动过程中关于O点对称的两个位置，下列说法正确的是（ ）
A．振子运动到P、Q两点时，加速度相同
B．振子在从P点向Q点运动时，动能先减小后增大
C．振子在从M点向N点运动过程中，回复力先增大再减小
D．振子在OP间与OQ间的运动时间相等
【答案】D
【详解】A．P、Q两点加速度大小相同，方向不同。故A错误；
B．从P到Q运动时，速度先增大后减小，动能先增大再减小。故B错误；
C．从M到N过程，回复力先减小再增大。故C错误；
D．由对称性可知，振子在OP间与OQ间运动时间相等。故D正确。
故选D。
【基础强化】
1．（23-24高二下·四川泸州·期中）某一弹簧振子做简谐运动，其运动中的各物理量，下列说法正确的是（ ）
A．速度越大，回复力越大B．振幅越大，周期越大
C．振幅越小，频率越小D．位移越大，回复力越大
【答案】D
【详解】AD．根据回复力公式
回复力与位移成正比，与速度无关，故A错误，D正确；
BC．根据周期、频率关系式
周期与频率成反比，与振幅大小无关，故BC错误。
故选D。
2．（23-24高二下·重庆江津·期中）如图所示，三个完全相同的弹簧振子，分别置于光滑水平面上、竖直悬吊在天花板上、置于倾角为θ的光滑斜面上，现将三个物块拉离各自的平衡位置由静止释放，物块做简谐运动。下列说法正确的是（ ）
A．物块的振幅一定相同B．物块的振动周期一定相同
C．物块的最大回复力一定相同D．物块的动量一定相同
【答案】B
【详解】AC．图中三者的振幅与三者偏离平衡位置的初位置有关，物块的振幅不一定相同，则物块的最大回复力不一定相同，故AC错误。
B．根据简谐运动的周期公式可知，简谐运动的周期只与质量m和弹簧的劲度系数k有关，故物块的振动周期一定相同，故B正确；
D．物块做简谐运动，物块的速度时刻发生变化，物块的动量时刻发生变化，无法比较物块的动量是否相同，故D错误。
故选B。
3．（23-24高二下·河南信阳·期中）如图所示为某水平放置的弹簧振子做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．0.6s时和0.8s时物体的速度相同
B．0.2s时与0.4s时的回复力相同
C．0.7s-0.9s时间内，系统的弹性势能减小
D．0.7s-0.9s时间内，振子的加速度在减小
【答案】A
【详解】A．0.6s时和0.8s时物体的速度相同，方向均指向位移负方向，故A正确；
B．0.2s时与0.4s时的回复力大小相同但方向不同，故B错误；
CD．0.7s~0.9s时间内，振子远离平衡位置，系统的弹性势能增加，加速度增加，故CD错误。
故选A。
4．（23-24高二下·福建福州·期中）钓鱼可以修身养性、陶冶情操，有助于提高人们的生活乐趣，而鱼漂是钓具里面必不可少的。某鱼漂的示意图如图所示、、为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。某鱼咬钩后将鱼漂向下拉了一下，使点到达水面，但鱼随后脱钩，鱼漂便上下运动，上升到最高处时，点到达水面。假设水面静止，鱼漂在、间的横截面积不变，不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．鱼漂的上下运动不一定是简谐运动
B．点过水面时，鱼漂有向下方向的最大加速度
C．点向水面运动过程，鱼漂做加速度减小的加速运动
D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大
【答案】B
【详解】A．鱼漂在O位置时，受到的重力与浮力等大反向，合力为0，处于平衡，当鱼漂位移为x时，受到的合外力为
合外力方向与位移方向相反，即
所以，鱼漂的上下运动是简谐运动。故A错误；
B．鱼漂运动是简谐运动，点N过水面时，合力向下指向平衡位置，有向下方向的最大加速度。故B正确；
C．点向水面运动过程，鱼漂从最大位移处向平衡位置运动，做加速度减小的加速运动。故C错误；
D．鱼漂由下往上运动时，从负的最大位移处运动到正向最大位移处，速度先增大再减小。故D错误。
故选B。
5．（21-22高二下·北京海淀·期中）如图所示，A、B两物体组成弹簧振子做简谐运动，在振动过程中A、B始终保持相对静止，图中能正确反映振动过程中A受的摩擦力与振子位移x关系的图线是（ ）

A． B．
C．D．
【答案】C
【详解】设弹簧的劲度系数为k，振子距平衡位置的位移x时系统的加速度为a， 根据牛顿第二定律有
所以当位移为x时，整体的加速度为
隔离对A分析，则摩擦力
故选C。
6．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）光滑的水平面上放有质量分别为m和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如下图所示。已知两木块之间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使这两个木块组成的系统一起振动，系统的最大振幅为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】质量分别为m和的两木块作为一个整体同步振动，两者具有共同的加速度。当两木块之间静摩擦力达到最大值时，即
时，木块的加速度达到最大值，为
设系统的振幅为A，此时两木块组成的系统有
联立解得系统振幅最大为
故选C。
7．（21-22高二·全国·课时练习）从简谐运动受力角度分析说明图中小球做的是简谐运动。
【答案】见解析
【详解】设小球的平衡位置为O，竖直向下为正方向，此时弹簧的形变为x0，根据平衡条件有
当小球向下偏离平衡位置为x时，回复力（即合外力）为
同理可得当小球向上偏离平衡位置为x时，回复力为
可见，与x的方向相反、大小成正比，故图中小球做的振动为简谐运动。
8．（23-24高二下·河南南阳·期中）如图1所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成，拆下其中单个浮筒如图2所示。单个浮筒的横截面积一定，在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动，浮筒的质量为m，浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g，求：
（1）浮筒做简谐运动时回复力的最大值；
（2）浮筒做简谐运动时回复力与位移的比例系数k。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）浮筒静止时，排水体积为V，可知
排水体积最大时，回复力为
解得
（2）根据回复力与位移的关系可知
解得
【素养提升】
9．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一弹簧振子，并将其悬挂于教室内一体机白板的前方，使弹簧振子沿竖直方向上下自由振动，白板以速率v水平向左匀速运动，激光笔在白板上留下书写印迹，图中相邻竖直虚线的间隔均为（未标出），印迹上P、Q两点的纵坐标分别为和。忽略一切阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．该弹簧振子的振幅为
B．该弹簧振子的振动周期为
C．激光笔在留下P、Q两点时所受的回复力相同
D．激光笔在留下PQ段印迹的过程中，弹簧的弹性势能增大了
【答案】D
【详解】AB．白板做匀速运动，振子振动的周期等于白板运动位移所用的时间，则周期
振幅为
故AB错误；
C．加速度是矢量，激光笔在留下两点时加速度大小相等，方向相反，回复力大小相同，方向相反，故C错误；
D．在激光笔留下段印迹的过程中，由机械能守恒可知，重力势能减小，故弹性势能增加了，故D正确。
故选D。
10．（22-23高二上·江西吉安·期末）如图所示，物块A、B叠放在光滑水平地面上，物块B与自由长度为的轻弹簧相连，当系统振动时，物块A、B始终无相对滑动，已知，，当振子距平衡位置的位移时，系统的加速度为a，求：
（1）弹簧的劲度系数；
（2）物块A、B间摩擦力与位移x的函数关系。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）物块A、B始终无相对滑动，可看作整体，当振子距平衡位置的位移时，整体运用牛顿第二定律，得
解得弹簧的劲度系数
（2）当位移为x时，整体满足
则
对物块A分析，满足
即物块A、B间摩擦力与位移x的函数关系为
【能力培优】
11．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）如图所示，与地面夹角为θ的光滑固定斜面顶端固定一垂直斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方向上做简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ）
A．振幅为
B．物体在最低点时受的弹力大小为
C．平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
D．弹簧的最大弹性势能等于
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，设物体在平衡位置时，弹簧的形变量为，则有
解得
由于物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，则振幅为
故A错误；
B．根据题意，设物体在最低点时受的弹力大小为，由对称性有
解得
故B错误；
C．根据题意可知，弹簧和物体组成的系统机械能守恒，平衡位置处，物体速度最大，动能最大，则弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故C错误；
D．根据题意可知，物体在最低点时，弹簧的弹性势能最大，由能量守恒定律可得，弹簧的最大弹性势能为
故D正确。
故选D。
12．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几圈铁丝，竖直浮在一个较大的盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标原点O建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离后放手，木筷就在水中上下振动。已知水的密度为，重力加速度为g，不计水的阻力。
（1）试证明木筷的振动是简谐运动；
（2）观测发现筷子每10秒上下振动20次，从释放筷子开始计时，写出筷子振动过程位移随时间变化的关系式。
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）如图所示
取向下为正方向，将木筷往下按x之前
按下x后
令
所以，木筷在水中的运动为简谐运动。
（2）因为筷子每10秒上下振动20次，则筷子简谐运动的周期为
则筷子振动过程位移随时间变化的关系式
物理素养
学习目标
1. 物理观念：①知道回复力的概念，理解简谐运动的能量。②利用守恒观点研究弹簧振子，分析能量转化过程。
2.科学思维：应用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。
3.科学探究：经历探究弹簧振子系统的能量转化过程。
4.科学态度与责任：培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
1.会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
2.认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
3.会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动遵从机械能守恒定律。
重点关注：①回复力②加速度③动能、势能