高中物理简谐运动的回复力和能量精品练习题

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一、核心知识点梳理
知识点1：简谐运动的回复力
1.定义：使振动物体回到平衡位置的力。
2.动力学特征（核心公式）：F=-kx
F：回复力
k：回复力系数（或劲度系数，对于弹簧振子就是弹簧的劲度系数）。它是一个常数，由系统本身性质决定（如弹簧的软硬、单摆的摆长和重力加速度）。k>0。
x：振动物体相对于平衡位置的位移。方向总是从平衡位置指向物体所在位置。
“-”号的意义：表示回复力F的方向总是与位移x的方向相反，即始终指向平衡位置。这是简谐运动的核心判据。
3.来源：回复力是根据效果命名的力。它可以是：
弹力：如水平弹簧振子（k就是弹簧劲度系数）。
重力沿切线方向的分力：如单摆（在小角度摆动下近似有k=mg/L）。
弹力和重力的合力：如竖直弹簧振子（平衡位置时弹簧已被压缩或拉伸一定量Δl=mg/k，回复力为F=-k(x)，其中x是相对于新平衡位置的位移）。
其它性质的力（只要满足F=-kx）。
4.与合外力的关系：在简谐运动中，回复力就是物体在振动方向上的合外力。
5.牛顿第二定律的应用：由F=-kx=ma，可得a=-(k/m)x。
这表明简谐运动的加速度a也与位移x成正比，方向相反。
加速度a的大小和方向都随时间周期性变化。
6.运动学参量与动力学参量的联系：
角频率ω=(k/m)
周期T=2π(m/k)
频率f=1/T
关键：简谐运动的周期（频率、角频率）只由系统本身的固有性质（质量m和回复力系数k）决定，与振幅A无关（等时性）。
【题型1：回复力的理解与判断】
例1.在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（ ）
A．振子受到的回复力是恒力
B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力
C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比
D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
【答案】C
【详解】AB．回复力是效果力，振子不受回复力，振子只受重力、支持力、弹簧弹力，故AB错误；
CD．根据
可知，振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比，方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C正确，D错误。
【举一反三】：
1.如图甲所示，在轻质弹簧下端挂上手机组成振动装置，同时用手机的加速度传感器记录手机的振动情况。以竖直向上为正方向，某段时间内其加速度a随时间t变化的曲线为余弦曲线，如图乙所示。已知手机的质量，弹簧的劲度系数，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（ ）
A．时，手机的回复力为5N
B．时，手机向下运动
C．0~0.25s内手机的动能先减小后增大
D．弹簧的最大形变量为20cm
【答案】D
【详解】A．由F=ma得，t=0时刻手机的回复力为1.5N，故A错误；
B．内，手机从最低点运动到平衡位置，故t=0.1s时手机向上运动，故B错误；
C．0~0.25s内手机从最低点一直向上运动，速度先增大后减小，故动能先增大后减小。其中时到达平衡位置，速度达到最大值，动能达到最大值，之后向上做减速运动，速度减小，动能减小，故C错误；
D．手机到达最低点时弹簧的形变量最大，加速度为，由
解得弹簧的最大形变量为，故D正确。
2.如图，倾角为的光滑斜面上，可看作轻质的弹簧一端固定，另一端连着一个质量的小球，静止在斜面上，此时弹簧伸长。现将小球在弹簧弹性限度内沿斜面又下拉一小段距离，然后松手（不计空气阻力），小球将作简谐运动。则（ ）
A．弹簧劲度系数为
B．松手时回复力为
C．松手时回复力为
D．若增大振幅，周期变短
【答案】C
【详解】A．根据受力平衡可得
可得弹簧劲度系数为
故A错误；
BC．松手时回复力为
故B错误，C正确；
D．周期与振幅无关，若增大振幅，周期不变，故D错误。
3.如图，一质量为m的物块与轻弹簧相连在光滑水平面上往复运动。当物块运动到距弹力为0处最远的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两物块恰好始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后一起运动的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．下面物块的回复力是弹簧的弹力
B．上面物块在运动过程中所受摩擦力不变
C．整体做简谐运动的振幅会变小
D．在平衡位置两物块间摩擦力为0
【答案】D
【详解】A．下面物块的回复力是弹簧的弹力和摩擦力的合力，故A错误；
B．把两物块看成一个整体有
对上面物体有
联立解得上面物块在运动过程中所受摩擦力
由此可知上面物块在运动过程中所受摩擦力随着振动的位移做周期性变化，故B错误；
C．弹簧振子的总机械能在放上另一物块后并未发生变化，振动过程中系统机械能守恒，而弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，所以振幅不变，故C错误；
D．由上分析可知在平衡位置时振子的加速度为零，所以在平衡位置两物块间摩擦力为0，故D正确。
知识点2：简谐运动的能量
1.能量转化：简谐运动过程中，动能Ek和势能Ep相互转化。
平衡位置(x=0)：
位移x=0，回复力F=0，加速度a=0。
速度v最大(vmax=ωA)。
动能Ek最大(Ekmax=(1/2)mvmax²=(1/2)mω²A²)
势能Ep最小(通常规定平衡位置势能为零，则Epmin=0)。
最大位移处（振幅处x=±A)：
位移x=±A最大，回复力F=±kA最大，加速度a=±(k/m)A最大。
速度v=0。
动能Ek最小(Ekmin=0)。
势能Ep最大(Epmax=(1/2)kA²)
2.机械能守恒：在只有回复力（保守力，如弹力、重力）做功的条件下，简谐运动系统的总机械能E守恒。
E=Ek+Ep=常数
大小：E=(1/2)kA²（也等于最大动能(1/2)mω²A²或最大势能(1/2)kA²）。
意义：总能量由振幅A决定。振幅越大，系统的总能量越大。
3.能量表达式：
势能(Ep):取决于位移x。对于弹簧振子，势能是弹性势能Ep=(1/2)kx²。对于单摆，势能是重力势能（需要选取合适的零势能面）。
动能(Ek):取决于速度v。Ek=(1/2)mv²。
总机械能(E):E=Ek+Ep=(1/2)mv²+(1/2)kx²=(1/2)kA²=常数。
4.能量-位移(E-x)图像：是一条平行于x轴的直线（总能量E），下方是抛物线（势能Ep），总能量线与势能线之间的部分代表动能Ek。在x=0处Ep=0,Ek=E；在x=±A处Ep=E,Ek=0。
5.能量-时间(E-t)图像：动能Ek和势能Ep都随时间做周期性变化，变化频率是振动频率的两倍。总能量E是一条平行于t轴的直线。
【题型2：能量的转化与守恒】
例2.如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图（乙）（ ）
A．时刻小球动能最大
B．时刻小球动能最大
C．这段时间内，小球的动能先增大后减小
D．这段时间内，小球增加的重力势能等于弹簧减少的弹性势能
【答案】C
【详解】A．时刻小球小球刚与弹簧接触，与弹簧接触后，弹力先小于重力，小球做加速度运动，当弹力增大到与重力平衡，即加速度减为零时，速度达到最大，动能达到最大，故A错误；
B．时刻，弹力最大，故弹簧的压缩量最大，小球运动到最低点，速度等于零，故B错误；
C．这段时间内，小球处于上升过程，先做加速度不断减小的加速运动，后做加速度不断增大的减速运动，动能先增大后减小，故C正确；
D．段时间内，小球和弹簧系统机械能守恒，故小球增加的动能和重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能，故D错误。
【举一反三】：
1.如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知（ ）
A．在时，振子的动能最小
B．在时，系统的势能最小
C．在时，振子加速度方向沿轴正方向
D．振子在内通过的路程为
【答案】C
【详解】A．由题图可知，在0.1s时，振子处于平衡位置，振子的速度最大，振子的动能最大，故A错误；
B．由题图可知，在0.2s时，振子处于负向最大位移处，系统的势能最大，故B错误；
C．由题图可知，在0.25s时，振动的位移沿x轴负方向，则振子加速度方向沿x轴正方向，故C正确；
D．由题图可知，周期为0.4s，则振子在0.4s内通过的路程为
故D错误。
2.如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为轴原点，竖直向下为轴正方向，小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图乙所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．时刻弹簧弹力大小为
B．时间内，弹簧的弹性势能先减小后增大
C．小球的机械能守恒
D．弹簧劲度系数为
【答案】D
【详解】AD．由题可知，时刻小球位于负的最大位移处，位移大小为A，弹簧弹力为0，则有
解得
时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为2A，则弹力大小为
A错误，D正确；
B．由题可知，时间内，弹簧由原长逐渐拉伸到最大位移处，弹性势能一直增大，B错误；
C．整个过程中，小球的机械能不守恒，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，C错误；
3.如图所示，与地面夹角为的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板，劲度系数为的轻弹簧一端固定一个质量为的小球，另一端固定在挡板上。当弹簧处于原长时静止释放小球，整个运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度为。则（ ）
A．小球在最低点时受到的弹力大小为
B．运动过程中小球的最大动能为
C．运动过程中弹簧的最大弹性势能为
D．若小球释放时弹簧处于压缩状态，则小球从释放点运动到最低点的时间将变长
【答案】C
【详解】A．可以判断倾斜弹簧振子做的是简谐运动，小球在原长位置有
在最低点时，受力分析可得
联立可得最低点弹力
故A错误；
在平衡位置处回复力为零，小球的动能最大，从原长到平衡位置处，小球的位移为
减小的重力势能为
增加的弹性势能
根据机械能守恒，动能
故B错误；
C．根据简谐运动规律，物体在最低点时弹簧伸长量为，物体从最高点运动到最低点，由动能定理可得
又
联立可得
故C正确；
D．根据简谐运动规律可知，简谐运动的周期与振幅无关，当释放位置发生变化时，运动到最低点的时间即半个周期不变，故D错误。
【题型3：综合应用与临界问题】
例3.图为某物体做简谐运动的图像，在范围内回答下列问题。
（1）哪些时刻物体的回复力与时的回复力相同？
（2）哪些时刻物体的速度与时的速度相同？
（3）哪些时刻的动能与时的动能相同？
（4）哪段时间的加速度在减小？
（5）哪段时间的势能在增大？
【答案】（1）0.6s、1.2s、1.4s；（2）0.2s、1.0s、1.2s；（3）0.2s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s；（4）0.1~0.3s、0.5~0.7s、0.9~1.1s、1.3~1.5s；（5）0~0.1s、0.3~0.5s、0.7~0.9s、1.1~1.3s
【知识点】简谐运动的图像、弹簧振子模型
【详解】（1）根据回复力
可知在0~1.5s范围内，0.6s、1.2s、1.4s的回复力与0.4s时的相同；
（2）根据简谐运动的规律可知，在0~1.5s范围内0.2s、1.0s、1.2s的速度与0.4s时的相同；
（3）根据
可知在0~1.5s范围内，0.2s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s的动能与0.4s时的相等；
（4）根据
可知在0~1.5s范围内，0.1~0.3s、0.5~0.7s、0.9~1.1s、1.3~1.5s加速度在减小；
（5）物体的势能增大，则动能减小，即速度减小也即远离平衡位置，则在0~1.5s范围内0~0.1s、0.3~0.5s、0.7~0.9s、1.1~1.3s。
【举一反三】：
1.如图所示，质量为M=0.5kg的框架B放在水平地面上．劲度系数为k=100N/m的轻弹簧竖直放在框架B中，轻弹簧的上端和质量为m=0.2kg的物体C连在一起．轻弹簧的下端连在框架B的底部．物体C在轻弹簧的上方静止不动．现将物体C竖直向下缓慢压下一段距离x=0.03m后释放，物体C就在框架B中上下做简谐运动．在运动过程中，框架B始终不离开地面，物体C始终不碰撞框架B的顶部．已知重力加速度大小为g=10m/s2．当物体C运动到最低点时，试求：
（1）物体C的加速度大小
（2）此时框架B对地面的压力大小．
【答案】（1）a=15m/s2；（2）10N
【详解】（1）物体C放上之后静止时：设弹簧的压缩量为x0，
对物体C，有：mg=kx0
解得：x0=0.02m
当物体C从静止向下压缩x后释放，物体C就以原来的静止位置为中心上下做简谐运动，振幅A=x=0.03m
当物体C运动到最低点时，
对物体C，有：k(x+x0)-mg=ma
解得：a=15m/s2
（2）当物体C运动到最低点时，设地面对框架B的支持力大小为F，
对框架B，有：F = Mg +k(x+x0)
解得：F=10N
根据牛顿第三定律，框架B对地面的压力大小为10N
2.如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。（已知做简谐运动的物体所受的回复力满足）
【答案】(1)；(2)；(3)物块做简谐运动
【详解】(1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。根据平衡条件，有
mgsinα＝k·Δx
解得
故弹簧的长度为
(2)物块做简谐运动的振幅为
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为
k（x＋Δx）＝k（x＋）
故合力为
F＝mgsinα－k（x＋）＝－kx
故物块做简谐运动。
3.弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放着质量为m的砝码，m随M一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k,试求：
（1）使砝码做简谐运动的回复力是什么？它和位移成正比的比例常数是多少？
（2）当滑块运动到振幅一半的位置时，砝码所受回复力有多大？
（3）当砝码与滑块的摩擦因数为μ时，则要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多少？
【答案】（1） (2) (3)
【分析】滑块的回复力是由静摩擦力提供，根据牛顿第二定律，结合胡克定律，即可求解；根据牛顿第二定律，结合形变量的大小，即可求解；根据x增大时，f也增大，结合最大静摩擦力等于滑动摩擦力，即可求解．
【详解】解：(1)使砝码随着滑块一起振动，砝码所受静摩擦力是产生砝码与滑块一起变加速运动的加速度，故M对m的静摩擦力是回复力；
其大小由牛顿第二定律有：
整体法求共同加速度a，则有：；
联立上两式，解得： (k为弹簧的倔强系数)
(2)当滑块运动到振动幅的一半位置时回复力：
方向指向平衡位置；
(3)从,可以看出，,当x增大时,f也增大，当时，有最大振动幅，
因
所以：
解得：
二、易错点与总结
1. 回复力概念：
回复力是效果力，是振动方向上的合外力。
牢记公式 F = -kx 和负号的意义（方向相反）。
回复力最小（为零）在平衡位置；回复力最大在振幅处。
2. 能量守恒：
总机械能守恒： E = (1/2)kA²。
动能和势能相互转化： 平衡位置动能最大势能最小；振幅处动能最小势能最大。
振幅决定总能： 改变振幅就改变总能量。
周期、频率、角频率由系统本身决定 (m, k)，与振幅无关。
3. 竖直弹簧振子：
平衡位置是重力和弹力平衡的位置，不是弹簧原长位置。
以平衡位置为位移起点和势能零点分析最方便。
回复力 F = -kx 依然成立，k是弹簧劲度系数。
总能量 E = (1/2)kA² (相对于平衡位置的振动能量) + 平衡位置处的势能。
4. 临界问题：
不脱离接触： 通常要求支持力N ≥ 0。分析在最大位移处或加速度最大的位置（通常是最大位移处）。
不发生相对滑动： 静摩擦力不足以提供回复力时发生。分析最大位移处所需回复力（最大）与最大静摩擦力的关系。
图像联系：
能将位移-时间(x-t)、速度-时间(v-t)、加速度-时间(a-t)、回复力-时间(F-t)、能量-位移(E-x)、能量-时间(E-t)等图像联系起来，理解各物理量变化的同步性和相位关系。