初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）第十一章 不等式与不等式组11.1 不等式11.1.2 不等式的性质第1课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）第十一章 不等式与不等式组11.1 不等式11.1.2 不等式的性质第1课时教案设计，共3页。教案主要包含了素养目标，教学重点，教学难点，教学过程，作业布置等内容，欢迎下载使用。
【素养目标】
1.通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质.
2.初步体会不等式与等式的异同.
【教学重点】理解并掌握不等式的性质.
【教学难点】探究不等式的性质的过程.
【教学过程】
活动一：旧知回顾，复习导入
[设计意图]
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以类比等式的性质研究不等式的性质，启发学生对不等式的性质进行初步思考.
对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式x＋4＞10的解集是x＞6，不等式2x＜6的解集是x＜3.但是对于比较复杂的不等式，例如5x＋16－2＞x－54，直接得出它的解集就比较困难.因此，还要讨论怎样解不等式.
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质.
回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来.
等式的性质文字语言符号语言
性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc
等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？
[教学建议]通过引导学生回顾旧知，为下一步类比学习不等式的性质做好铺垫和准备，并使学生明确本节课的学习目标，自然而然地进入新知识的学习.教师也可让学生类比等式的性质，在进入正课之前猜想不等式有哪些性质.
活动二：问题引入，探究新知
[设计意图]
引导学生通过类比、归纳的数学思想总结出不等式的性质，培养学生的逻辑思维能力和分析总结能力.
探究点 不等式的性质
(1类比等式的性质l,我们来看看下列问题:a.用“>”或“3,5＋2>3＋2,5十0_>3十0,5＋(—2)>3十(一2);第二组:一1b一5_;10年后老师的年龄为_(a+10)岁，学生的年龄为_(b＋10)岁,不等关系表示为_a＋10>b＋10 .
(2)类比等式的性质2，我们来看看下列问题：
a.用“＞”或“＜”完成下列两组填空：
第一组：6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)；
第二组：－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－0.5).
b.观察不等号的方向，你发现了什么规律？换一些其他的数，这个规律仍然成立吗？
不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变.仍然成立.
c.这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立吗？为什么？
仍然成立.由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立.
d.请你类比等式的性质2归纳出不等式的性质2和性质3.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或ac＞bc).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或ac＜bc).
(3)比较不等式的性质2和性质3，指出它们有什么区别.再比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同？
不等式的性质2和性质3的区别是在不等式两边乘(或除以)的数一个是正数，一个是负数，性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变.不等式的性质有三条，它们表明了不等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，大小关系有时不变，有时改变；等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，相等关系不变.对于乘法运算，不等式的性质要分乘数的正、负分别论述，两者的结果不同.
例1 (教材P125例2)已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1)a＋3与b＋3； (2)－2a与－2b.
解：(1)因为a>b，所以a＋3>b＋3(不等式的性质1).
(2)因为a>b，所以－2a＜－2b(不等式的性质3).
[对应训练]
1.教材P125练习第1，2题.
2.根据不等式的性质，下列变形正确的是（B）
A.由a＞b得ac2＞bc2 B.由ac2＞bc2得a＞b
C.由－12a＞2得a＜2 D.由2x＋1＞x得x＜－1
[教学建议]教师引导学生通过类比思想进行迁移，使学生经过计算、观察、分析、猜想、验证等过程，体会不等式的性质的结论形成的推理过程，并通过创设生活中的实际情境解释不等式的性质1，再加上与等式的性质比较，加深学生的理解和记忆.
[教学建议]教师提问不等式两边乘0，结果是怎样的，学生发现两边都为0，而0不可以作除数，所以在归纳不等式的性质2，3时，是需要排除0的情况的，另外，教学中还应强调：
(1)在运用不等式的性质对不等式进行变形时，两边要“同时”进行“相同”的变形，且要注意符号的方向是否需要改变.
(2)不等式还具备其他性质，比如：①对称性；②传递性。
[设计意图]
对不等式的性质进行逆向考查，求参数的值，使学生在练习中巩固本节课所学.例2 如果关于x的不等式(m＋1)x>3的解集为x＜3m＋1，求m的取值范围.
解：由题意，可得m＋1＜0.
由不等式的性质1，可得m＋1－1＜0－1，
所以m＜－1.
[对应训练]
[题组训练]已知a>b.
(1)若a＋x>b＋x，则x的取值范围为全体实数；
(2)若axbx2，则x的取值范围为x≠0；
(4)若ax2＋1＞bx2＋1，则x的取值范围为全体实数.
[教学建议]学生分组交流，自主完成本题，启发学生的逆向思维：变形前后不等号的方向不变，说明两边乘(或除以)的数是正数；变形前后不等号的方向改变，说明两边乘(或除以)的数是负数.
活动四：随堂训练，课堂总结
[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.不等式的性质有几条？各是什么？
2.你能利用不等式的性质对不等式进行变形吗？
【作业布置】
1.教材P128习题11.1第4，7题.