苏科版（2024）九年级下册5.1 二次函数习题

这是一份苏科版（2024）九年级下册5.1 二次函数习题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）．
A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为轴D．当时，随的增大而增大
2．如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：
①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①④
3．抛物线y=2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4）B．（4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）
4．已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．已知x1、x2、x3为方程x3+3x2-9x-4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x1x2x30C．x1-x2-x3>0D．x1+x2+x3-1，
则当x=-1时，y＞0，
则
则②错误；
③由图可知c=-1
△=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0
∴③错误
④由图可知，对称轴x=
且1＜＜2
∴
故④正确；
故选D.
【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.
3．A
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【详解】根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
4．A
【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．
【详解】解：∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．
5．D
【分析】由可得则x1、x2、x3可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标，由此画出函数图象求解即可．
【详解】解：∵，当时，，
∴，
∴，
∴x1、x2、x3可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标，
∴由函数图象可知，，根据现有条件无法判定，
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x1、x2、x3可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键．
6．B
【分析】由直线y=3x+m经过第一，三，四象限可判断m的符号，再由抛物线y=（x-m）2+1求顶点坐标，判断象限．
【详解】∵直线y=3x+m经过第一，三，四象限，
∴m＜0，
∴抛物线y=（x-m）2+1的顶点（m，1）必在第二象限．
故选B．
【点睛】要求掌握直线性质和抛物线顶点式的运用．
7．D
【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
8．B
【分析】先求解抛物线的对称轴，再求解点和到抛物线的对称轴的距离，从而可得答案.
【详解】解： 抛物线y＝ax2+bx+c过点（x1，t）和（x2，t），
抛物线的对称轴为：
，
，
点和到抛物线的对称轴的距离相等，

故A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟练的利用抛物线的对称性比较函数值的大小是解本题的关键.
9．C
【分析】直接根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质后即可找到正确的答案．
【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为x=3，有最小值为-1，当x＜3时y随x的增大而减小，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质，难度不大．
10．A
【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
【详解】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解题的关键．
11．B
【详解】可设抛物线解析式为y=a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案．
解：∵顶点为(−6,0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，
∵开口方向,形状与函数y=x2的图象相同，
∴a=，
∴抛物线解析式为y= (x+6)2，
故选B.
12．B
【分析】根据二次函数的性质分析即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，有最低点；
∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，有最高点．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下．
13．3
【分析】根据二次函数的图象性质分析即可；
【详解】由图像可知，，根据对称轴在y轴左侧可得出，
∴，故①正确；
∵二次函数与x轴有2个交点，
∴，故②正确；
当时，，
∴，故③正确；
∵函数图像经过，
∴时，；时，，故④错误；
故正确的有3个．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析计算是解题的关键．
14．或
【分析】分两种情况：①a0时，x=-3时， ，联立抛物线与直线的解析式得到，求出，即可求出答案.
【详解】①a0时，x=-3时， ，
即，
∴，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为，
抛物线与直线联立得，
∴，
∆=，
∴，
∴a的取值范围为或，
故答案为：或.
【点睛】此题考查二次函数与直线的交点问题，二次函数的性质，求一次函数的解析式，正确理解题意中的两个交点是解此题的关键.
15．y=x2+2x（答案不唯一）
【详解】试题分析：可设这个函数的解析式为y=x2+2x+c，根据（0，0）适合这个解析式求解即可.
可设这个函数的解析式为y=x2+2x+c，那么（0，0）适合这个解析式，解得c=0
故平移后抛物线的一个解析式y=x2+2x（答案不唯一）.
考点：二次函数的图象与几何变换
点评：解题的关键是熟练掌握抛物线在平移过程中不改变a的值.
16．4+4
【分析】过点B作BE⊥x轴，由旋转可知AC=AB，易证△ACO≌△BAE，则AE=OC=4，OA=BE，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，得到OB=BD，当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，然后设点A坐标为（x，0），则OA=x（），则点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），得到OD=2x+8，利用勾股定理求出CD，结合二次函数的性质得到当x=0时，OB+BC最小，故可求解．
【详解】解：过点B作BE⊥x轴，
∴∠AEB=∠COA=90°，
∵将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，
∴∠CAB=90°，AC=AB，
∴∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠BAE=90°，
∴∠OCA=∠BAE，
∴△ACO≌△BAE，
∴CO=AE=4，OA=BE，
如图，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，
∴OB=DB，
∴当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，OB+BC的最小值为CD；
设点A坐标为（x，0），则OA=x（），
∴点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），
∴OD=2x+8，
在直角三角形OCD中，由勾股定理，得：，
∴，
∵，
∴当时，CD有最小值，
当x=0时，A（0，0），B（4，0）
∴OB+BC=4+
故答案为：4+4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，轴对称求最短距离问题，以及勾股定理，解题的关键是正确理解题意，找到使OB+BC得到最小值的情况，然后进行分析解答．
17．/
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可．
【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点是，
当时，．
故答案为：．
18．（1）；（2）① 11；②.
【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
19．（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
【详解】解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．
20．（1）y=x2﹣x﹣4；（2）x=；（3）存在，点E的坐标为（，﹣）、（，）或（﹣，）．
【详解】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出抛物线的对称轴；
（3）分线段BC为对角线以及BC为边两种情况考虑，根据点B、C、D的坐标结合平行四边形的性质即可得出点E的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点E的坐标，此题得解．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c（a≠0）中得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣ x﹣4．
（2）∵抛物线的解析式为y=x2﹣ x﹣4，
∴该抛物线的对称轴为x=﹣=．
（3）∵点D在抛物线的对称轴上，∴设点D的坐标为（，m）．
以D、E、B、C为顶点的四边形是平行四边形分两种情况（如图所示）：
①当线段BC为对角线时，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），
∴点E的坐标为（4﹣， ﹣4﹣m），即（，﹣4﹣m），
∵点E在抛物线y=x2﹣ x﹣4上，
∴﹣4﹣m=× ﹣× ﹣4=﹣，此时点E的坐标为（ ，﹣）；
②当线段BC为边时，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），
∴点E的坐标为（+4，m+4）或（ ﹣4，m+4），即（，m+4）或（﹣ ，m+4）．
∵点E在抛物线y=x2﹣ x﹣4上，∴m+4=× ﹣× ﹣4=或m+4= ×﹣ ×（﹣）﹣4=，
此时点E的坐标为（， ）或（﹣， ）．
综上可知：在该抛物线上存在一点E，使得以D、E、B、C为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（，﹣）、（，）或（﹣，）．
考点：二次函数综合题．
21．（1）①，，②， ；（2），；；.
【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标；
（2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
【详解】（1）①，.
②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于.
∵，∴，，∴.
∵，∴.
∵为的中点，∴.
∵，，
∴，.
∴.
∴.
∵点、都在的图象上，∴.
∴，∴，即.∴，.
∵，∴.
∴.
（2）存在三种情况：如图4.
当时，在的两侧各有一点，
分别为：，；
当时，；
当时，.
提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求.
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键.
22．（1）；（2）向上，；（3）
【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解．
【详解】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（−1，3），把点（−1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，−1），
所以原二次函数的解析式为
所以；
（2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）．
（3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∴当x=2时，y的最小值为-1，
∵x=1时，；x=5时，
∴当时，求函数y的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
23． 1
【分析】本题主要考查了两点之间得距离公式，求二次函数的极值，
（1）用纵坐标的差表示，再根据两点之间距离公式表示即可；
（2）将表示的函数配方，再讨论极值；将（1）式子代入求出答案，然后根据互不重合确定答案．
【详解】（1），；
故答案为：；
（2），
当时，
根据题意，得，
即，
解得或（点P，点Q重合，舍去）．
故答案为：．
24．（1）4a+8；（2）①a=-1；②或或
【分析】（1）将原表达式变为顶点式，即可得到答案；
（2）①根据顶点式可得抛物线的对称轴是x=1 ，再根据已知条件得到A、B两点的坐标，将坐标代入，即可得到a的值；②分情况讨论，当 ()经过（1，-1）和A（-1,0）时，以及当 ()经过（1，-1）和B（3，0）时，代入解析式即可求出答案.
【详解】（1）==
所以顶点坐标为（1,4a+8）,则纵坐标为4a+8.
（2）①解：∵原解析式变形为：y=
∴抛物线的对称轴是x=1
又∵ 抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，AB=4
∴ 点A和点B各距离对称轴2个单位
∵ 点A在点B的左侧
∴A（-1,0），B（3，0）
∴将B（3，0）代入
∴9a-6a+5a+8=0
a=-1
②当 ()经过（1，-1）和A（-1,0）时
，
当 ()经过（1，-1）和B（3，0）时
，
∴或或

【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的综合性题目，数形结合是解答此题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
A
D
B
D
B
C
A
题号
11
12








答案
B
B