数学七年级下册（2024）7.3 定义、命题、定理学案

这是一份数学七年级下册（2024）7.3 定义、命题、定理学案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主学习，合作探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 掌握定理的概念，并能分清命题与定理之间的关系.
2. 了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理.
【学习重点】掌握定理的概念，了解证明的意义.
【学习难点】掌握推理的方法和步骤.
【自主学习】
1. 什么叫定义?
2. 命题的结构是什么?
思考：如何证实一个命题是真命题呢？
古希腊数学家欧几里得 (公元前 300 年前后) 编写了一本书，书名叫做《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
【合作探究】
探究点一、定理
讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题?
(1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；
(4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
(1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
(4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
上面练习中的(1)的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.
定理也可以作为继续推理的依据.(4)(5)是真命题，属于基本事实.
基本事实：不需要证明，除了基本事实外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
思考1：你能举例说出几个学过的定理吗?
思考2：你能举例说出几个学过的基本事实吗?
探究点二、证明
讨论：前面我们学习了命题、定理，现在我们来学习证明，命题、定理和证明之间有什么联系和区别?
定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系：
【典型例题】例1如图，已知直线 a⊥b，b∥c，求证：a⊥c．
例2 如图，给出下列论断：(1) AB∥DC，(2)AD∥BC，(3) ∠A +∠ABC = 180°，(4)∠ABC +∠C = 180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接 BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗?
思考：证明需要注意些什么?
归纳小结
课堂检测
1. 请把下面证明过程补充完整.
如图，已知 AD⊥BC 于点 D，点 E 在 BA 的延长线上，EG⊥BC 于点 C，交 AC 于点 F，∠E =∠1.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC = ∠EGC = 90°( ).
∴ AD∥EG ( ).
∴∠1=∠2( )，
∠E =∠3( ).
∵∠E =∠ (已知)，∴∠2 =∠3( ).
∴AD 平分∠BAC ( ).
2. 如图，现有以下 3 个论断：①AB∥CD；
②∠B =∠C；③∠E =∠F. 请以其中 2 个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.
(1) 你构造的是哪几个命题?
(2) 请选择其中一个真命题加以证明.
3.如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA 中任选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明.
题设：_______，结论：_______. (均填写序号)
参考答案
【自主学习】
1.我们举例的一些描述称为数学对象的定义，一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
2.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
【合作探究】
探究点一、定理
讨论 （1）真命题 （2）假命题 （3）假命题 （4）真命题 （5）真命题
思考1 对顶角相等，内错角相等，两直线平行
思考2 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
探究点二、证明
讨论：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
【典型例题】
例1证明：∵ a⊥b(已知)，∴ ∠1 = 90°(垂直的定义).
又 ∵ b∥c(已知)，∴∠2 =∠1 = 90°(两直线平行，同位角相等).
∴∠2 = 90°(等式的基本事实).∴ a⊥c(垂直的定义).
例2 如果 AB∥DC，那么∠A +∠B = 180°.如果 AB∥DC，那么∠ABD =∠BDC.
证明：∵AB∥DC(已知)，∴∠ABD =∠BDC(两直线平行，同位角相等).
思考 证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
课堂检测
1. 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 1 等量代换 角平分线的定义
2. 解：(1)由①②得③；由①③得②； 由②③得①.
(2) 由①②得③，证明过程如下：
∵ AB∥CD，∴∠EAB =∠C.又∵∠B =∠C，∴∠EAB = ∠B.∴CE∥BF. ∴∠E =∠F. (答案不唯一)
3. ①② ③ 证明:∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC．
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE＝∠EAC.∴∠DAE＝∠DEA．(答案不唯一)