人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明学案

5.3.2 命题、定理、证明（二）

一、内容和内容解析

1.内容

定理和证明

2.内容解析

   本节在上节课学习的基础上继续了解定理与证明。定理与证明存在着紧密的联系，定理是推理的依据，而推理的过程便是证明。了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步步有理有据地进行推理，这是我们继续学习几何的基础，也是解决一些几何问题的重要方法。

二、目标和目标解析

1.教学目标

（1）掌握定理的概念

（2）了解证明的意义

2.目标解析

学生理解定理和证明的概念，准确把握基本事实和经推理证实正确的命题为定理，成功举出定理的例子，并理解推理的命题正确性的过程就是证明。

三、教学问题诊断分析

学生第一次遇到定理与证明，什么是定理，怎么进行证明。这些概念较为抽象要适时的结合实例进行讲解，才能让学生真正掌握。

本节课的重难点：1.定理与证明概念的理解。

                2. 掌握推理的方法和步骤。

四、教学过程设计

(一) 回顾旧知，引出新课

问题：1 什么是命题？

      2 什么是真命题；什么是假命题？如何判断？

（多媒体展示）判断下列命题是真命题还是假命题？

（1）两点确定一条直线．

（2）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

（3）同角或等角的余角相等；

（4）相等的角是对顶角

（5）同旁内角互补，两直线平行。

学生思考后回答：1、2、3、5为真命题，4为假命题

教师补充：1、2这样的真命题属于基本事实，而3、5这两个真命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理．

学生总结归纳定理的概念：经过推理证实的真命题叫做定理

教师补充：定理是真命题，真命题不一定是定理。

定理也可以作为推理的依据

追问：你能说出几个你学习过的定理吗？

小组活动：收集我们学习过的定理并进行小组展示。

（二）探究证明的意义及方法

过渡语：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理的过程叫做证明。

探究1 感知证明

例题1：在下面的括号内，填上推理的依据.

                                图1

如图，AB 和CD相交于点O，∠A=∠B,求证∠C=∠D

证明：∵∠A=∠B,

      ∴AC∥BD （内错角相等，两直线平行）

∴∠C=∠D （两直线平行，内错角相等）

练习1：如图，∠A＋∠B＝180°，求证∠C＋∠D＝180°.

图2

证明：∵∠A＋∠B＝180°，

∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．

∴∠C＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)

练习2：图3是用一个硬纸板做的旗子，且∠PAD=∠PBC 求证∠ADC+∠BCD=180°

判断下列证明过程是否正确？

∵∠PAD=∠PBC=90°（已知）

∴∠ADC+∠BCD=180°（四边形内角和）

设计意图：通过错误例题的分析让同学们充分认识证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．

 探究2命题的证明

活动1：证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明．

问题：  1这个命题是真命题吗？

2你能写出这个命题的题设和结论分别是什么吗？

3能否用几何语言描述题设和结论？

学生根据命题画出图并写出已知求证。

设计意图：通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

                                   图4

如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c.

证明：∵a⊥b(已知)，

∴∠1＝90°(垂直的定义)，

又b∥c(已知)，

∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．

∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)．

∴a⊥c(垂直的定义)．

教师追问：你还有没有其他的方法呢？

小组活动：小组内讨论得出其他的证明方法并派代表上前展示。

方法二 已知：b∥c，a⊥b  求证：a⊥c．

证明：

∵ a⊥b（已知），

∴∠1=90º （垂直的定义）．   

又∵ b∥c（已知），   

  ∴∠1+∠2=180（两直线平行，同旁内角相等）   

∴∠2=90º（等量代换）．         

∴ a⊥c（垂直的定义）

方法三 已知：b∥c，a⊥b  求证：a⊥c．

证明：∵ a⊥b（已知），

      ∴∠1=90º （垂直的定义）．     

 又∵ b∥c（已知），   

      ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）    

  ∴∠2=∠1=90º（等量代换）．        

∴ a⊥c（垂直的定义）．

过渡语：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？ 

活动2：如何证明一个命题是假命题

例：证明相等的角是对顶角

 问题：1题设和结论是什么

       2能否用几何语言描述

       3怎么证明

教师补充：我们知道假命题是在题设成立的前提下，结论不一定成立，,若为假命题,可通过举一反例说明.

解：不是真命题,如下图中∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.

设计意图：通过例题的讲解让学生掌握证明的过程，然后通过练习逐步加深。讲练结合便于学生真正理解证明。

练习：同位角相等；内错角相等

四．练习巩固 深化理解

举反例说明下列命题是假命题．
      (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
      (2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不

             是对顶角，但是它们相等；

        (2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.

五 归纳小结 形成系统

谈谈本节课的收获

主要是两个核心内容的掌握即定理与证明。

定理：经过推理证实的真命题叫定理

证明： 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理的过程叫做证明。证明过程中每一步推理要步步有据。

六 布置作业

教材作业

【必做题】

教材第21页练习第1题;教材第22页练习第1题.

【选做题】

教材第24页习题5.2第13题.

教学反思

本课时是学生学习证明的正式开始,理解相关几个概念不是难点,难点是领会证明的基本思路和要领.因此本课时在引导学生准确理解相关定义的基础上,通过较多的例题,给学生做证明问题的示范,突出了课时教学的重点,取得了较好的课堂学习效果.

在前面基本定义的教学过程中,老师的讲解过多,出示给学生问题阅读提纲,通过学生交流后老师总结即可.这在一定程度上限制了学生课堂学习的主动性.