初中数学人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明学案

 5．3．2  命题、定理、证明

学习目标：1．了解命题、真命题、假命题、定理、证明的定义，会区分命题的题设和结论，知道反例的作用；

2．通过小组合作，独立思考，展示质疑，进一步认识证明数学问题的正确性和真实存在性；

3．激情投入，主动探究，发展辩证思维能力及主动探究的能力．

重点：命题的定义与真假命题的判断．

难点：反例的构造．

【自主学习】

一、知识链接

1．平行线的判定方法有哪些？

2．平行线的性质有哪些？

二、新知预习

1．判断一件事情的语句，叫做            ．命题由            和            两部分组成，            是已知事项，            是由已知事项推出的事项．

2．根据命题结论正确与否，命题可分为            和            ，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做            ，如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做            ．

3．数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做            ．

三、自学自测

1．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果                        ，那么                        ．

2．命题“同位角相等”的题设是                        ．

四、我的疑惑

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【合作探究】

一、要点探究

探究点1：命题的定义与结构

阅读下面的几个语句，回答后面的问题：  

（1）北京是中华人民共和国的首都；

（2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2；

（3）1+1＜2；

（4）如果一个整数各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除．

问题1：观察上面的语句，它们有什么共同点？并总结命题的定义．

问题2：上面的语句有什么不同点？                           

典例精析

例1 判断下列四个语句中，哪个是命题？哪个不是命题？并说明理由：

（1）对顶角相等吗？

（2）画一条线段AB=2cm;

（3）两直线平行，同位角相等；

（4）相等的两个角，一定是对顶角．

练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“× 表示．

（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?（    ）

（2）两条直线相交，有且只有一个交点（    ）

（3）不相等的两个角不是对顶角（     ）

（4）相等的两个角是对顶角（    ）

（5）取线段AB的中点C（    ）

（6）画两条相等的线段（    ）

问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流．

（1）如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等；

（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；

（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3．

练一练：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．并指出它的题设和结论．

（1）对顶角相等；

（2）内错角相等；

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（4）平行于同一直线的两直线平行；

（5）等角的补角相等．

探究点2：真命题与假命题

问题：观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？

命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”

命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”

练一练：判断下列命题的真假．真的用“√”，假的用“× 表示．

（1）同旁内角互补（   ）

（2）一个角的补角大于这个角（    ）

（3）相等的两个角是对顶角（    ）

（4）两点可以确定一条直线（   ）

（5）两点之间线段最短（    ）

（6）同角的余角相等（   ）

（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（   ）

探究点3：证明与举反例

问题1：什么叫证明？

问题2：如何判定一个命题是假命题呢？

典例精析

例2 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行？

二、课堂小结

【达标练习】

1．下列语句中，不是命题的是(　　)

 A．两点之间线段最短        B．对顶角相等

 C．不是对顶角不相等        D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线

2．下列命题中，是真命题的是(　　)

A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0       B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0

C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0     D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

3．下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？

（1)马有四只脚；

（2)内错角相等；

（3)画一条直线；

（4)四边形是正方形；

（5)你的作业做完了吗？

（6)内错角相等，两直线平行；

（7)垂直于同一直线的两直线平行；

（8)过点P画线段MN的垂线．

4．举反例说明下列命题是假命题．

(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

(2)若ab＝0，则a＋b＝0．

5．在下面的括号内，填上推理的依据． 

如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,求证：∠ B+ ∠D=180°．

证明： ∵ AB ∥ CD,

 ∴ ∠B= ∠C(                                   )．

 ∵ CB ∥ DE，

 ∴ ∠ C+ ∠ D=180°(                            )．

 ∴ ∠ B+ ∠ D=180°(                   )．

6．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分

∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ．

3．（1）是  真命题  （2）是  假命题   （3）否   （4）是  真命题   （5）否     （6）是  真命题  （7）是  假命题    （8）否

4．解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等．

(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0．

5．两直线平行，内错角相等    两直线平行，同旁内角互补   等量代换

6．证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．

又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，

∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，

∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，

∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．