数学七年级下册（2024）8.1 平方根优秀同步达标检测题

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知识点01 算术平方根的概念
算术平方根的定义及其表示方法：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。记为 。读作 根号 。所以就表示的算术平方根。
规定0的算术平方根是 0 。
【即学即练1】
1．求下列各数的算术平方根：
（1）900； （2）1； （3）； （4）14．
【分析】首先可将已知数进行变形，然后根据算术平方根的定义即可解答，注意算术平方根是非负数；例如900的算术平方根为，化简即可求得结果，同理求解其他题目．
【解答】解：（1）∵302＝90，
∴900的算术平方根为30；
（2）∵12＝1，
∴1的算术平方根为1；
（3）∵（）2＝，
∴的算术平方根为；
（4）∵（）2＝14，
∴14的算术平方根为．
知识点02 算术平方根的性质
算术平方根的性质：
①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。
②算术平方根的双重非负性：
只有 非负数 才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 非负数 。所以算术平方根本身 大于等于0 ，算术平方根的被开方数也 大于等于0 。即 ≥ 0， ≥ 0。
非负性的应用：
几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
即若，则 0 。
③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 。
④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。
即 。
【即学即练1】
2．下列说法正确的是（ ）
A．4是的算术平方根
B．0的算术平方根是0
C．﹣2是（﹣2）2算术平方根
D．﹣4的算术平方根是﹣2
【分析】根据算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：因为4是16的算术平方根，因此选项A不符合题意；
0的算术平方根是0，所以选项B符合题意；
2是（﹣2）2的算术平方根，因此选项C不符合题意；
﹣4没有平方根，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
3．已知+＝0，则（a﹣b）2的平方根是 ±4 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即
【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，且b﹣5＝0，
解得：a＝1，b＝5，
则（a﹣b）2＝16，则平方根是：±4．
故答案为：±4．
【即学即练3】
4．计算：（1）＝ 5 ；（2）＝ 13 ．
【分析】两式利用平方根定义化简即可得到结果．
【解答】解：（1）（）2＝5；
（2）（﹣）2＝13．
故答案为：（1）5；（2）13
【即学即练4】
5．计算的结果是 5 ．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：＝|﹣5|＝5．
知识点03 算术平方根的估算
估算算术平方根的方法——夹逼法：
具体步骤：
①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）；
②确定无理数的整数步骤；
③按要求估算。
理论依据：
被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。
【即学即练1】
6．估计在那两个整数之间（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间．
【解答】解：∵＜＜，即：3＜＜4，
∴在整数3与整数4之间，
故选：C．
【即学即练2】
7．的小数部分为（ ）
A．B．C．D．
【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的小数部分为﹣2，
故选：B．
题型01 求一个数的算术平方根
【典例1】64的算术平方根是（ ）
A．±8B．8C．﹣8D．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：64的算术平方根是8．
故选：B．
【变式1】的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的意义知．＝6，故可以得到的算术平方根．
【解答】解：∵＝6，故的算术平方根是．
故填．
【变式2】的算术平方根是（ ）
A．±9B．±3C．9D．3
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
【解答】解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故选：D．
【变式3】（﹣5）2的算术平方根是（ ）
A．±5B．﹣5C．5D．25
【分析】首先计算（﹣5）2＝25，然后再找出25的算术平方根即可．
【解答】解：（﹣5）2＝25，
25的算术平方根是5，
故选：C．
【变式4】一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1B．x2+1C．D．
【分析】先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的下一个自然数的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个自然数的算术平方根是x，
∴这个自然数是x2，
下一个自然数是x2+1，
∴下一个自然数的算术平方根是：．
故选：D．
题型02 利用算术平方根的非负性求值
【典例1】如果，则＝ 2 ．
【分析】根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于a，b的方程求得a，b的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，4﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝4，
则＝＝2．
故答案为：2．
【变式1】已知与互为相反数，求ab的算术平方根．
【分析】根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式求出ab的值，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：根据题意得，1﹣3a＝0，b﹣27＝0，
解得a＝，b＝27，
所以，ab＝×27＝9，
∵32＝9，
∴ab的算术平方根是3．
【变式2】已知与互为相反数，求（xy）2019的值．
【分析】根据算术平方根的非负性解决此题．
【解答】解：由题意，得2x﹣4＝0，x﹣3y﹣3.5＝0．
由2x﹣4＝0，解得x＝2．
∴2﹣3y﹣3.5＝0，
∴．则．
【变式3】已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 ±2 ．
【分析】根据算术平方根的非负性分别求出x、y、z，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：∵，
∴＝0，＝0，＝0，
解得，x＝0，y＝1，z＝2，
则（x﹣yz）2＝4，
∵4的平方根为±2，
∴（x﹣yz）2的平方根为±2，
故答案为：±2．
【变式4】，则a+b﹣c＝ 1 ．
【分析】利用非负数的性质得出a，b，c的值，代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵|a﹣2|++（c﹣4）2020＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝4，
则a+b﹣c＝2+3﹣4＝1．
故答案为：1．
题型03 估算一个数的整数部分和小数部分
【典例1】45的算术平方根在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【分析】直接利用算术平方根的定义得出的取值范围．
【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
∴45的算术平方根在6和7之间．
故选：B．
【变式1】若在两个连续整数a、b之间，那么a+b的值是 13 ．
【分析】根据算术平方根估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵62＝36，72＝49，而36＜39＜49，
∴6＜＜7，
∵在两个连续整数a、b之间，
∴a＝6，b＝7，
∴a+b＝6+7＝13，
故答案为：13．
【变式2】若的整数部分是a，小数部分是b，则a+b＝ ．
【分析】先估算出的取值范围，进而得出a，b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴a＝1，b＝﹣1，
∴a+b＝1+﹣1＝．
故答案为：．
【变式3】已知﹣2的整数部分为m，小数部分为n，则3m+2n＝ 2﹣2 ．
【分析】根据4＜＜5，可得m，n的值，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴2＜﹣2＜3
得m＝2，n＝﹣4，
3m+2n＝3×2+2（﹣4）＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
1．9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：9的算术平方根是3，即＝3，
故选：A．
2．下列正确的是（ ）
A．6是36的算术平方根，即
B．6是（﹣6）2的算术平方根，即
C．±7是49的平方根，即±
D．±2是4的平方根，即
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．6是36的算术平方根，即＝6，因此选项A不符合题意；
B．6是（﹣6）2的算术平方根，即＝6，因此选项B符合题意；
C．±7是49的平方根，即±＝±7，因此选项C不符合题意；
D．±2是4的平方根，即±＝±2，因此选项D不符合题意．
故选：B．
3．一个数的算术平方根是3，则这个数是（ ）
A．B．9C．D．±9
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：一个数的算术平方根是3，这个数是9．
故选：B．
4．若x2＝a（a＞0），则下列说法正确的是（ ）
A．a是x的平方根B．x是a的平方根
C．x是a的算术平方根D．a是x的算术平方根
【分析】根据平方根及算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵x2＝a（a＞0），
∴x是a的平方根．
故选：B．
5．式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≥3D．x≤3
【分析】根据负数没有平方根进行解答即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣3≥0，
即x≥3，
故选：C．
6．如果一个正方形的面积为5，那么这个正方形的边长是（ ）
A．B．25C．D．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，再根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：由条件可知正方形的边长为，
故选：A．
7．已知，则的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答．
【解答】解：由题意可得：
，|b﹣4|＝0，
∴a＝9，b＝4，
∴，
∴的平方根是．
故选：B．
8．估算的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，而16＜20＜25，
∴4＜＜5，
即介在4和5之间，
故选：D．
9．若是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．5
【分析】根据算术平方根性质解答即可．
【解答】解：∵有意义，
∴16﹣n≥0，即n≤16，
∵是整数，
∴16﹣n＝16，9，4，1，0，
对应n的值也有16，7，12，15，0．
故选：D．
10．若a是的算术平方根，b是的小数部分，则的值为（ ）
A．﹣1B．1C．0D．﹣2
【分析】根据算术平方根的概念和无理数的估算求出a，b即可．
【解答】解：∵a是的算术平方根，
∴a＝2，
∵，即，
∴，
∴，
故选：A．
11．一个正方体的表面积是384，则这个正方体的棱长是 8 ．
【分析】根据正方体的表面积公式进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
正方体一个面的面积为：384÷6＝64，
则正方体的棱长是：＝8．
故答案为：8．
12．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，那么a﹣2b的平方根是 ±1 ．
【分析】首先根据2a﹣1的平方根是±3，可得：2a﹣1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据3a+b﹣1的算术平方根是4，可得：3a+b﹣1＝16，据此求出b的值是多少，进而求出a﹣2b的平方根是多少即可．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
解得a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴3a+b﹣1＝16，
∴3×5+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a﹣2b＝5﹣2×2＝1，
∴a﹣2b的平方根是：±＝±1．
故答案为：±1．
13．若|a|＝5，＝3，ab＜0，则a+b＝ 4 ．
【分析】先根据绝对值的性质分类讨论，由已知条件及二次根式的性质即可确定a，b的值，再代入代数式求解即可．
【解答】解：∵|a|＝5，
∴a＝5或a＝﹣5，
∵，
∴b＝9，
∵ab＜0，
∴a＜0，
∴a＝﹣5，
∴a+b＝﹣5+9＝4，
故答案为：4．
14．若，则x＝ 4或6 ．
【分析】根据算术平方根等于它本身的数有0和1计算即可．
【解答】解：∵，
∴或，
解得x＝4或x＝6，
故答案为：4或6．
15．先计算下列各式：，，，，通过观察并归纳结论：
（1）请写出：＝ n ；
（2）计算：＝ 102 ．
【分析】（1）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为n2，开方即可；
（2）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可．
【解答】解：（1）
＝
＝n．
故答案为：n；
（2）原式＝
＝
＝
＝2×51
＝102．
故答案为：102．
16．如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n+2的算术平方根是1．
（1）求m和n的值．
（2）求m﹣11n的算术平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出m，利用算术平方根即可求出n；
（2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，
∴2a﹣3+a﹣9＝0，
解得：a＝4，
∴2a﹣3＝5，
∴m＝25，
∵n+2的算术平方根是1
∴n+2＝1
∴n＝﹣1；
（2）由（1）得m＝25，n＝﹣1，
∴m﹣11n＝25+11＝36，
∴m﹣11n的算术平方根为6．
17．已知实数a，b，c满足：，求：
（1）a，b，c的值；
（2）a+b+c的平方根．
【分析】（1）根据题意易得，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得a+b+c的值，然后根据平方根可进行求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
解得：a＝5，b＝﹣4，c＝3；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝3，
∴a+b+c＝4，
∴4的平方根为±2，
即a+b+c的平方根为±2．
18．如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形．
（1）大正方形的边长是 30 cm．
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2？
【分析】（1）求出大正方形的面积，再由正方形的面积公式求出其边长即可；
（2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm，根据长方形的面积公式列方程并求解；若x的值小于30，则说明能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2；否则，则不能．
【解答】解：（1）＝＝30（cm），
∴大正方形的边长是30cm．
故答案为：30．
（2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm．
根据题意，得6x2＝600，
解得x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
3×10＝30（cm），2×10＝20（cm），
∵20＜30，
∴能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2．
19．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来估计．
（1）一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？
（2）一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？
【分析】（1）将h＝125代入计算即可；
（2）将t＝2代入计算即可．
【解答】解：（1）当h＝125米时，
＝5（秒），
答：一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要5秒；
（2）当t＝2秒时，，
，
解得h＝20，
答：物体下落前离开地面20米．
20．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根；
（2）已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．
【分析】（1）根据新定义解答即可；
（2）分三种情况讨论得出答案即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴2、18、8这个三个数是“和谐组合”
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）①当16≤a≤25时，3＝，得：a＝0（不符合题意舍去）；
②当a≤16＜25时，3＝20，得：16a＝（不符合题意舍去）；
③当16＜25≤a时，3＝得：a＝144．
故a的值为144．
课程标准
学习目标
①算术平方根的概念
②算术平方根的性质
③算术平方根的估算
掌握算术平方根的概念并能够熟练的求一个数的算术平方根。
掌握算术平方根的性质，并能够熟练的应用算术平方根的非负性求值。
掌握算术平方根的估算方法，能够熟练的对算术平方根进行估算。