初中8.3 实数及其简单运算精品同步测试题

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知识点01 无理数的概念
无理数的概念：
无限不循环小数叫做无理数。
无理数的三种形式：
①含有 ，且被开方数开方 。
②π以及化简后含有π的数。
③具有特定结构的数。如
【即学即练1】
1．在3.14，8，−16，325，π5，227中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
知识点02 实数及其分类
实数的概念：
与 统称为实数。
实数的分类：
①按定义分类：
②按性质分类：
【即学即练1】
2．将下列各数填入相应的集合中：﹣7，0，227，−2213，﹣2.555555…，3.01，+9，4.020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1），+10%，−π2．
无理数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
非负整数集合：{ …}．
知识点03 实数与数轴的关系
实数与数轴的关系：
实数与数轴上的点是 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。
利用数轴表示实数的大小：
同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数 。
【即学即练1】
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）
A．a+b＞0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．ab﹣1＜0
知识点04 实数的性质
相反数：
只有 的两个数互为相反数。实数的相反数是 。
若与互为相反数，则 。
绝对值：
实数到原点的距离用 来表示。
；
①任意实数的绝对值都是一个 ，即|| 0；
②互为相反数的两个数绝对值 。
倒数：
是数的倒数为 。若与互为倒数，则 。
【即学即练1】
4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1）−64；（2）2−1；（3）3﹣π．
知识点05 实数的大小比较
估算法：
先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。
作差法比较：
对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ；
②若，则 ；
①若，则 ；
平方法比较：
两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 。
其他比较方法：
参照有理数的大小比较方法。
【即学即练1】
5．三个数﹣π，﹣3，−3的大小关系是（ ）
A．﹣π＜﹣3＜−3B．﹣π＜−3＜−3C．﹣3＜﹣π＜−3D．−3＜−3＜﹣π
知识点06 实数的简单运算
实数的运算法则：
在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。
注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。
【即学即练1】
6．计算：
（1）25+|2−1|+3−27−(−1)2024； （2）−12+(3−64+8÷1625)×(−3)2．
题型01 对无理数的判断
【典例1】在下列各数中是无理数的有（ ）
A．12B．﹣1C．3D．0
【变式1】在4，π，23，0这四个数中，无理数的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【变式2】在实数：3.14159，364，1.010010001…，4.21⋅⋅，π，227中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 对实数进行分类
【典例1】已知下列实数：
①0，②33，③4，④π2，⑤3.21⋅，⑥236．（只需填写序号）
其中整数有： ，分数有： ，无理数有： ．
【变式1】将下列各数填入相应的集合中：
﹣7，0，﹣2213，﹣2.55555……，3.01，+9，4.020020002…，+10%，﹣2π
有理数集合：{ ……}；
无理数集合：{ ……}；
整数集合：{ ……}；
分数集合：{ ……}．
【变式2】把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
①−π3，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥227，⑦−|−13|．
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【变式3】以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分家吧．
题型03 实数与数轴的关系的应用
【典例1】如图，实数10在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【变式1】有理数a，b在数轴上的对应点如图，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．ba＜0C．a+b＜0D．b﹣a＜0
【变式2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（ ）
A．2aB．﹣2aC．﹣2bD．2b
【变式3】如图，一个边长为1的正方形ABCD放置在数轴上，边AD与数轴重合，点A对应数字1．现将正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向滚动，那么2025对应的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
题型04 实数的性质的应用
【典例1】实数−32的相反数是（ ）
A．−32B．32C．−132D．132
【变式1】已知实数a＝|﹣2024|，则实数a的倒数为（ ）
A．2024B．12024C．﹣2024D．−12024
【变式2】下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．﹣3与(−3)2B．﹣3与3(−3)3
C．3与−13D．|﹣3|与3
【变式3】若33y−1和31−2x互为相反数，求x：y的值为（ ）
A．2：3B．3：2C．2：5D．5：2
题型05 对实数进行大小比较
【典例1】下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣5B．−2C．1D．π
【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A．8＜10B．5−12＜0.5C．5+12＞0.5D．50＞7
【变式2】已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣b＜﹣a＜a＜bB．﹣b＜a＜﹣a＜bC．﹣a＜﹣b＜a＜bD．﹣b＜b＜﹣a＜a
【变式3】若a=3，b＝﹣|−2|，c=−3(−2)3，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
题型06 实数的简单运算
【典例1】计算：
（1）25+3−64−(−3)2； （2）3−27+49−2+|1−2|．
【变式1】计算：
（1）364+(−3)2−3−1； （2）49−327+|1−2|+(1−54)2．
【变式2】定义新运算：a※b＝ab+a﹣b，a▽b＝a2+1b，a，b是实数，如：2※（﹣3）＝2×（﹣3）+2﹣（﹣3）＝﹣1，2▽5＝22+15=215．
（1）求（﹣2）※（﹣1）的值；
（2）求[1※（﹣3）]▽（﹣2）的值．
1．下列四个数：2，−65，5，﹣1，其中最小的数是（ ）
A．2B．−65C．5D．﹣1
2．下列各数中：227，0，π3，8，3−27，34，0.101001中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．33+23=56B．(−5)2=−5
C．9=±3D．3−64=−4
4．下列各数中与15最接近的是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．下列说法：
①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；
②任何正数都有两个互为相反数的平方根；
③立方根等于本身的数有1，0，﹣1；
④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．若2的整数部分用a表示，小数部分用b表示，则a+b的值为（ ）
A．2B．2+1C．2D．2−1
7．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＞|b|C．﹣a＜bD．a+b＜0
8．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．﹣4B．2C．4D．6
9．如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示﹣1的点重合，若将该圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与数轴上的点B重合，则点B对应的实数为（ ）
A．π﹣1B．π+1C．2π﹣1D．2π+1
10．已知，实数a，b在数轴上的对应的点如图所示，化简(3−a+1)3+a2−|2a+b|的结果正确的是（ ）
A．b﹣1B．﹣2a+b+1C．﹣2a﹣b+1D．b+1
11．比较大小：5−13 12．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12．−827的立方根是 ，81的平方根是 ，2−5的绝对值是 ．
13．已知整数m满足m＜15＜m+1，则m的值为 ．
14．规定一种新的定义：a★b=b−a2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝ ．
15．已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=−1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 （写出正确的序号）．
16．把下列各数分别填入相应的集合里：
﹣2.4，3，−103，114，−，0，π2016，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，﹣|﹣4|，0.141041004…（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）．
正有理数集合：{ …}．
负分数集合：{ …}．
无理数集合：{ …}．
17．计算：
（1）5﹣（﹣2）+（﹣3）； （2）56+(−34)−(+0.25)−(−16)+3；
（3）(−112−16+38)×(−24)； （4）−12×(−2)3+(−3)2−3−64×|−4|．
18．已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，|b|＝1，|c|＝5，且b与c乘积小于0，b+c＞0，请回答问题．
（1）请直接写出a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）计算a×b﹣c+d的值．
（3）若x是c的算术平方根的小数部分，求2x+6的值．
19．
请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题．
（1）15的相反数是 ，15的整数部分是 ；8−15的整数部分是 ，8+15的整数部分是 ；
（2）已知8−15的小数部分是m，8+15的小数部分是n．若（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
20．（1）用“＞”、“＜”或“＝”填空：1 2 3 4；
（2）由（1）可知：
①|1−2|= ；
②|2−3|= ；
③|3−4|= ；
（3）计算（结果保留根号）：
①|1−2|+|2−3|+|3−4|；
②|1−2|+|2−3|+|3−4|+⋯+|2023−2024|．
课程标准
学习目标
①无理数的概念及其常见的形式
②实数的概念及其分类
③实数与数轴
④实数的性质
⑤实数的大小比较
⑥实数的运算
掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。
掌握无理数的概念及其分类，能够准确的进行分类。
掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。
掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。
掌握实数的大小比较方法，能够准确的判定实数的大小关系。
掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。能够熟练运用。
例：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，
∴7的整数部分为2，小数部分为7−2．