高中数学1.2.3 充分条件、必要条件导学案

这是一份高中数学1.2.3 充分条件、必要条件导学案，共7页。

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．
[问题] (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？


知识点一 充分条件与必要条件
1．下列结论正确的是________(填序号)．
①“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件；
②若p是q的充分条件，则p是唯一的；
③若q不是p的必要条件，则“p⇒/ q”成立；
④“x>1”是“x>0”的充分条件．
答案：③④
2．设集合M＝{x|0答案：必要
3．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)
答案：充分
知识点二 充要条件
如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．设p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0，则p是q的________条件．
答案：充要
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
答案：充要
[例1] (1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)“x<2”是“eq \f(1,x－2)<0”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
(2)由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．
即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.
(3)由eq \f(1,x－2)<0得x－2<0得x<2，
即“x<2”是“eq \f(1,x－2)<0”的充要条件，故选A.
[答案] (1)A (2)B (3)A
eq \a\vs4\al()
充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法：若p⇒q，q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
若p⇒/ q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；
若p⇒/ q，q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A⊆B，则p是q的充分条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件．
[跟踪训练]
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．
(1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件．
(3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件.
[例2] (1)不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0，2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0，1) D．x∈(1，3)
(2)函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图像与x轴的交点，一个在原点的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B．a＞0
C．a＜－1 D．a＞1
(3)在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是________．
[解析] (1)因为x(x－2)＜0的解集为(0，2)，
且(0，2)[－1，＋∞)，
所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)＜0成立”的一个必要不充分条件．
(2)∵函数图像一定过(0，1)点，
∴函数图像与x轴的两个交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为a＜0.结合选项知，充分不必要条件是a＜－1.故选C.
(3)由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.
[答案] (1)B (2)C (3)0＜x＜1
eq \a\vs4\al()
探求充分条件、必要条件、充要条件问题时，首先应确定“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件．
[跟踪训练]
1．实数a，b，c不全为0的充要条件是( )
A．实数a，b，c均不为0
B．实数a，b，c中至多有一个为0
C．实数a，b，c中至少有一个为0
D．实数a，b，c中至少有一个不为0
解析：选D 实数a，b，c不全为0等价于a，b，c中至少有一个不为0，故选D.
2．(多选)下列条件能成为x＞y的充分条件的是( )
A．xt2＞yt2 B．xt＞yt
C．x2＞y2 D．0＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)
解析：选AD 由xt2＞yt2可知t2＞0，所以x＞y，故xt2＞yt2⇒x＞y，故A正确；
当t＞0时，x＞y，当t＜0时，x＜y，故xt＞yt⇒/ x＞y，故B错误；
由x2＞y2，得|x|＞|y|⇒/ x＞y，故x2＞y2⇒/ x＞y，故C错误；
0＜eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇒x＞y，故D正确．故选A、D.
3．a＜0，b＜0的一个必要条件为( )
A.eq \f(a,b)＞1 B.eq \f(a,b)＜－1
C．a＋b＜0 D．a－b＞0
解析：选C a＜0，b＜0⇒a＋b＜0，反之不成立.
[例3] 已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[证明] 充分性：
若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)·(a＋b－1)＝0.
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，
即a＋b＝1，成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
eq \a\vs4\al()
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反；
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练]
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
证明：(1)必要性：由eq \f(1,x)又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)综上所述，eq \f(1,x)0.
[例4] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m>－2，,1＋m≤10，))
解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10.))
解得m≥9.
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＝1－m，,10＝1＋m，))方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
eq \a\vs4\al()
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B “1∴“12．已知a，b是实数，则“a＜0，且b＜0”是“ab(a－b)＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 已知a，b是实数，则若a＜0，且b＜0，则不一定有ab(a－b)＞0，比如当a＜b＜0时，ab(a－b)＜0；反之，若ab(a－b)＞0，则a－b和ab同号，当a＞b＞0时满足ab(a－b)＞0，当b＜a＜0时也满足ab(a－b)＞0，故不能确定a和b的正负．故“a＜0，且b<0”是“ab(a－b)＞0”的既不充分也不必要条件．
3．使x＞3成立的一个充分条件是( )
A．x＞4 B．x＞0
C．x＞2 D．x＜2
解析：选A ∵x＞4⇒x＞3，∴x＞4是x＞3成立的一个充分条件．
4．设α：1≤x＜4，β：x＜m.若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，由题意知A⊆B，故m≥4.
答案：[4，＋∞)
新课程标准解读
核心素养
1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系
数学抽象、逻辑推理
2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系
数学抽象、逻辑推理
3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系
数学抽象、逻辑推理
命题真假
“如果p，那么q”是真命题
“如果p，那么q”是假命题
推出关系
peq \a\vs4\al(⇒)q
peq \a\vs4\al(⇒/) q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
充分、必要、充要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件的探求
充要条件的证明
利用充分条件、必要条件求参数的范围