人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第2课时学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第2课时学案设计，共7页。学案主要包含了思路导引，补偿训练，变式探究等内容，欢迎下载使用。

1．充要条件
2.充分性、必要性的其他情况
【批注】充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成p当且仅当q，或p与q等价等．
[诊断]
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ )
提示：当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确．
(2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( √ )
提示：若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确．
(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．( √ )
提示：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．
2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】选B.“攻破楼兰”不一定会返回家乡，不充分；“返回家乡”了一定是在攻破楼兰的前提下，必要．
学习任务一 充要条件的判断(逻辑推理)
1．(多选题)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
【解析】选BD.由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．
2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x＝1，q：|x|＝1；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数．
【解析】(1)当x＝1时，|x|＝1成立；
当|x|＝1时，x＝1或x＝－1.
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，
所以p是q的充要条件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故pq；又 eq \f(1,2) 是正数，但 eq \f(1,2) 不是自然数，故qp.故p是q的既不充分又不必要条件．
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
学习任务二 充要条件的证明(逻辑推理)
【典例】1.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程(※)有一个根为1，
所以a＋b＋c＝0⇒方程(※)有一个根为1.
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
所以方程(※)有一个根为1⇒a＋b＋c＝0，
从而a＋b＋c＝0⇔方程(※)有一个根为1，
因此a＋b＋c＝0是方程(※)有一个根为1的充要条件．
2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【证明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝ eq \f(c,a) ＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝ eq \f(c,a) ＜0(x1，x2为方程的两根).所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【思路导引】从充分性和必要性两个方面证明．
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确
p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
提醒：证明时一定要注意，要从充分性和必要性两个方面进行，而且分清充分性与必要性的证明方向．
求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
【证明】(1)充分性：因为m≥2，
所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，
所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，
所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2；
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，
设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝m2－4≥0，,x1＋x2＝－m<0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥2或m≤－2，,m>0，))
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．
【补偿训练】
设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋2ax0＋b2＝0，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝ eq \f(b2,c－a) ，将此式代入x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：因为∠A＝90°，
所以b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c).
所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
学习任务三 充要条件的应用(逻辑推理)
【典例】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解题思维]
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m＜10)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＞－2，,1＋m≤10，))
解得m≤3.又m＞0，
所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
应用充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
【变式探究】
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m＞10)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＜－2，,1＋m≥10.))
解不等式组得m＞9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).
若p是q的充要条件，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＝1－m，,10＝1＋m，)) m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
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定义
如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)
记法
p⇔q
读法
“p与q等价”“p当且仅当q”
推出关系
充分性、必要性
p⇒q且qp
p是q的充分不必要条件
pq且q⇒p
p是q的必要不充分条件
pq且qp
p是q的既不充分
也不必要条件
观察
已知两个命题的范围及它们之间的条件关系
联想
充分、必要条件知识
转化
根据p是q的必要不充分条件转化为集合之间的真子集关系求解