高中数学第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.3 充分条件、必要条件一等奖第1课时教案设计

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第1课时 充分条件与必要条件











1．充分条件与必要条件





思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？


(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？


提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．


2．充分条件与必要条件的判断





3.充分条件、必要条件与集合的关系


A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}


思考2：“x<2”是“x<3”的________条件，“x<3”是“x<2”的________条件．


提示：充分 必要





1．下列命题中q是p的必要条件的是( )


A．p：A∩B＝A，q：A⊆B


B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1


C．p：|x|<1，q：x<0


D．p：x2>2，q：x>eq \r(2)


A [由A∩B＝A能得出A⊆B，其余选项都不符合要求．]


2．“x＝1”是“x2－1＝0”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充分必要条件


D．既不充分也不必要条件


A [当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是“x2－1＝0”的充分不必要条件．]


3．“ △ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的________条件．(填“充分”或“必要”)


必要 [若△ABC三边关系满足a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的必要条件．]


4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(用“充分”“必要”填空)


必要 充分 [由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]





【例1】 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)


(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；


(2)若函数y＝x，则函数为递增的；


(3)若x为无理数，则x2为无理数；


(4)若x＝y，则x2＝y2；


(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；


(6)若a>b，则ac>bc.


[解] (1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－ 4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件．


(2)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．


(3)∵pq，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．


(4)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．


(5)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．


(6)∵pq，而qp，∴p是q的既不充分也不必要条件．





本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.








1．指出下列命题中p是q的什么条件？


(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq \r(2x＋1)；


(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；


(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq \r(x－1)；


(4)p：sin α>sin β，q：α>β.


[解] (1)∵x2＝2x＋1D/⇒x＝eq \r(2x＋1)，


x＝eq \r(2x＋1)⇒x2＝2x＋1，


∴p是q的必要不充分条件．


(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，


a＋b＝0D/⇒a2＋b2＝0，


∴p是q的充分不必要条件．


(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝eq \r(x－1)成立，反过来，当x－1＝eq \r(x－1)成立时，可以推出x＝1或x＝2，


∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．


(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．





【例2】 若“x2>1”是“x

[解] ∵x2>1，∴x<－1或x>1.


又∵“x2>1”是“x

∴x1但x2>1D⇒/x




∴a≤－1，∴a的最大值为－1.





例2中“xa”，其他条件不变，求a的最小值．


[解] ∵x2>1，∴x<－1或x>1，


∵“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件，


∴x>a⇒x2>1，但x2>1D/⇒x>a.如图所示：





∴a≥1，∴a的最小值为1.





设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集.








【例3】 (1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )


A．0 B．2 C．4 D．16


(2)已知p：－4

(1)B (2)[－1,6] [(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确．


(2)化简p：a－4




应用充分条件和必要条件的两个思路


1条件与结论：确定p和q谁是条件，谁是结论.


2p⇒q和q⇒p的应用：充分条件确保p⇒q为真，必要条件确保q⇒p为真.








2．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．


[解] 由3x＋m<0得，x<－eq \f(m,3).


∴p：A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜－\f(m,3))))).


由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.


∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．


∵p⇒q而q p，


∴A是B的真子集，


∴－eq \f(m,3)≤－1，


∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．





1．充分条件、必要条件的判断方法


(1)定义法：直接利用定义进行判断．


(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．


(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件，也是q的必要条件．


2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．





1．“同位角相等”是“两直线平行”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．既是充分条件，也是必要条件


D．既不充分也不必要条件


[答案] C


2．使x>3成立的一个充分条件是( )


A．x>4 B．x>0


C．x>2 D．x<2


A [只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]


3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]


4．有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中可以成为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．


②③④ [由x2＜1，得－1＜x＜1.故②③④都可作为x2＜1的充分条件．]


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点)


2．会判断充分条件、必要条件．(重点)


3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点)
1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．


2．通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件


q是p的必要条件
p不是q的充分条件


q不是p的必要条件
A⊆B
p是q的充分条件


q是p的必要条件
p是q的不充分条件


q是p的不必要条件
B⊆A
q是p的充分条件


p是q的必要条件
q是p的不充分条件


p是q的不必要条件
充分条件、必要条件的判断
充分条件、必要条件与集合的关系
充分条件和必要条件的应用