高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理达标测试

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知识点01 空间向量的基本定理
【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知a,b,c是空间的一组基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b构成基底的向量是（ ）
A．aB．bC．a+2bD．a+c
【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体ABCD−A1B1C1D1中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A．AB,AC,ADB．AB,AD,AA1C．AB,AB1,AD1D．AB1,AC1,AD1
难点：空间向量基本定理与外接球结合问题
示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥P−ABC中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若AB=PD=1，记BA=a，BC=b，PD=c，则下列说法正确的是（ ）
A．a,b,c为一组单位正交基底
B．BP=a+b+c
C．三棱锥P−ABC的体积为16
D．三棱锥P−ABC的外接球表面积为3π
【题型1：空间向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且向量OA=2e1+e2+e3，OB=e1−e2+2e3，OC=ke1+3e2+2e3不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．83B．5C．−5D．−13
变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）p: a，b，c是三个不共面的单位向量，q: a,b,c可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．b，c，a+bB．b，a+c，a+bC．a−b，c，a+bD．a−b，c−b，c−a
变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基a,b,c，则可以与向量a−2b−c，a+b+c构成空间的另一组基的向量是（ ）
A．2a+2bB．2a−b
C．3a+cD．3b+2c
变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量a=e1+e2，b=e2−e3，c=e1+te3不能构成空间的一个基底，则t=（ ）
A．−1B．1C．0D．−2
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量a,b,c能构成空间的一组基底，则能与向量m=a−b,n=b−c构成空间另一组基底的向量是（ ）
A．a−cB．a+c
C．a+bD．a+b+c
变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若a,b,c是空间的一个基底，则a+b,a−b,c也是空间的一个基底
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【题型2：用基底表示向量】
例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥C−OADB中，底面OADB为平行四边形，E为AC的中点，F为BD的中点，OA=a，OB=b，OC=c，则EF=（ ）

A．b−12cB．a−b−12c
C．a−12b−cD．12a+12b−c
变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，AD=c，且M，G分别是BC，CD的中点，则MG+AG等于（ ）
A．−12a+12b+cB．a+12b+cC．−12a+b+cD．−12a+12b−c
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1交点，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则BM的长为（ ）

A．54B．34C．52D．32
变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用BA，BD，BC表示EG，则EG= ．
变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥A−BCD中，点O为三角形BCD的中心，AO=xAB+yAC+zAD，则xyz= ．
变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为1， ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4，则AC12= ．
变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB=b，SC=c，则SG= ．

变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若AG=xAB+yAA1+zAC，则x+y+z= .
【方法技巧与总结】
1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.
2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：
①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；
②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；
③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.
【题型3：空间向量基本定理及其应用】
例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M,N分别为线段OA,BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC，则x+y−z的值为（ ）

A．−12B．14C．12D．1
变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1=2AB，N是B1C1的中点，G是CN的中点，若A1G=xA1B1+yA1C1+zA1A，则x+y+z=（ ）
A．34B．1C．54D．32
变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=（ ）

A．13B．12C．23D．1
变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足DE=2EC，EA1=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=（ ）
A．-23B．23C．−43D．43
变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC，则x+y+z= ．
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN=15CA1，若MN=xa+yb+zc，则x+y+z= .
变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）{a,b,c}是空间的一个基底，向量p=3a+b+c，{a+b,a−b,c}是空间的另一个基底，向量p=xa+b+ya−b+c，则x−y = ．
变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示D1B,EF；
(2)若D1F=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值.
一、单选题
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量m=3a+2b−c，则向量m在b上的投影为（ ）
A．3B．2C．-1D．4
2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，用空间的一组基CA,CB,CC1表示MN，则（ ）
A．MN=16CA−16CB+CC1B．MN=−16CA−16CB+CC1
C．MN=−16CA+16CB+CC1D．MN=16CA+16CB+CC1
3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足AB=2MB，CN=2ND，若MN=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=（ ）
A．−13B．13C．12D．1
4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，则与向量D1B相等的是（ ）

A．a+b+cB．a+b−cC．a−b−cD．−a−b+c
5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若a,b,c构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A．b+c,a+c,a−bB．a+b+c,12a+b,12a+c
C．a−b+c,a−b,a+cD．b−c,a+b,a+c
6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量a,b,c，下列命题正确的是（ ）
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．若a,b,c非零且共面，则它们所在的直线共面
C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一有序实数组x,y,z，使得p→=xa→+yb→+zc→
D．若a,b不共线，向量c=λa+μb（λ,μ∈R且λμ≠0），则a,b,c可以构成空间的一个基底
7．（23-24高二上·全国·课后作业）当|a|=|b|≠0，且a、b不共线时，a+b与a−b的关系是（ ）
A．共面B．不共面C．共线D．无法确定
8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．−34B．34C．43D．−43
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是0,π2
B．若直线l与平面α相交，则该直线l与平面α所成角的取值范围是0,π2
C．二面角的平面角的取值范围是0,π2
D．若a，b，c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0
10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线
B．空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，c共面
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC，则P，A，B，C四点共面
D．设{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+b，n=a−b，则{m,n,c}不能为空间的一组基底
11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．AB，AD，AE不能构成空间的一个基底
B．AC，AD，AE不能构成空间的一个基底
C．BC，CD，DE不能构成空间的一个基底
D．AB，CD，EA能构成空间的一个基底
三、填空题
12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设AA1=a，AB=b，AC=c.用a，b，c表示AE= .
13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知ABCD−A'B'C'D'是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'的对角线BC'上的点，且BN:NC'=3:1，设MN=αAB+βAD+γAA'，α+β+γ= ．

14．（23-24高二上·贵州·开学考试）a,b,c是空间的一个基底，向量p=3a+b+c，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，向量p=xa+b+ya−b+c，则x+y= .
四、解答题
15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体ABCD−A1B1C1D1，点E在棱CC1的延长线上，且C1E=CC1．设AA1=a，AB=b，AD=c，试用a、b、c的线性组合表示下列向量：

(1)AC1；
(2)D1B1；
(3)BD1；
(4)AE．
16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，PA=4，PB=5，PC=3，∠APB=∠BPC=60°，∠CPA=90°，D，E分别是PA，BC的中点，点F在DE上，且DF=2FE，记PA=a，PB=b，PC=c．

(1)试用基底a,b,c表示向量PE，DE，PF；
(2)求PA⋅PB和PF⋅AC的值．
17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA的长为4，且PA与AB、AD的夹角都等于80°，N是PC的中点，设AB=a，AD=b，AP=c.
(1)用基底{a,b,c}表示向量AN；
(2)求AN的长.
18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记OA=a，OB=b，OC=c，点E在棱OC上，OC=4OE .
(1)若D是棱AB的三等分点（靠近点A），用向量a，b，c表示向量DE；
(2)若D是棱AB的中点，BE·OD=−5，求三棱锥的棱长.
19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．
(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求csBD1,AC．
课程标准
学习目标
1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义;
2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用;
1.理解空间向量基本定理的概念和原理
2.掌握空间向量基本定理的运用方法
3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。
空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
1.1.2 空间向量基本定理
知识点01 空间向量的基本定理
【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知a,b,c是空间的一组基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b构成基底的向量是（ ）
A．aB．bC．a+2bD．a+c
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断．
【详解】因为p=a+b，q=a−b，
又2a=a+b−b−a,2b=a+b+b−a,a+2b=32a+b+12b−a，
显然A，B，C三个选项中的向量都与p,q共面，
而D选项中多了个c，无论如何，a+c是无法用p,q线性表示的．
．
【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体ABCD−A1B1C1D1中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A．AB,AC,ADB．AB,AD,AA1C．AB,AB1,AD1D．AB1,AC1,AD1
【答案】A
【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用AB,AD,AA1表达出三个向量，设AC1=mAB1+nAD1，得到方程组，无解，得到AC1,AB1,AD1不共面，能作为空间中的一组基底.
【详解】A选项，AB,AC,AD共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；
B选项，AB,AD,AA1不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；
C选项，AB,AB1,AD1不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；
D选项，因为AC1=AB+AD+AA1，AB1=AB+AA1,AD1=AD+AA1，
设AC1=mAB1+nAD1，
即AB+AD+AA1=mAB+mAA1+nAD+nAA1，
m=1n=1m+n=1，无解，
故AC1,AB1,AD1不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.

难点：空间向量基本定理与外接球结合问题
示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥P−ABC中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若AB=PD=1，记BA=a，BC=b，PD=c，则下列说法正确的是（ ）
A．a,b,c为一组单位正交基底
B．BP=a+b+c
C．三棱锥P−ABC的体积为16
D．三棱锥P−ABC的外接球表面积为3π
【答案】ACD
【分析】如图，将三棱锥P−ABC补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公式、球的表面积公式依次求解即可．
【详解】A：将三棱锥P−ABC补形为正方体，则三棱锥P−ABC内接于直径为3的球，
如图所示，则AB,BC,PD两两垂直，故A正确；
B：BP=BD+DP=BA+BC+DP=a+b−c，故B错误；
C：由题意知PD⊥平面ABCD，又S△ABC=12×1×1=12，PD=1，
所以V三棱锥P−ABC=13S△ABC⋅PD=16，故C正确；
D：由选项A知，该正方体的对角线长为3，三棱锥P−ABC外接球即为正方体得外接球，
所以该球的表面积S外接球=4π×322=3π，故D正确.
CD．
【题型1：空间向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且向量OA=2e1+e2+e3，OB=e1−e2+2e3，OC=ke1+3e2+2e3不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．83B．5C．−5D．−13
【答案】C
【分析】根据给定条件，由向量OA,OB,OC共面列式求解即得.
【详解】依题意，OA,OB,OC共面，则存在实数x,y，使得OC=xOA+yOB，
于是ke1+3e2+2e3=x(2e1+e2+e3)+y(e1−e2+2e3)=(2x+y)e1+(x−y)e2+(x+2y)e3，
因此k=2x+yx−y=3x+2y=2，解得x=83,y=−13,k=5.
变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）p: a，b，c是三个不共面的单位向量，q: a,b,c可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】根据基底的定义，可知，若 a，b，c是三个不共面的单位向量，则a,b,c可为空间的一个基底，
反过来，若a,b,c为空间的一个基底，则a，b，c是三个不共面的向量，不一定是单位向量，
所以p是q的充分不必要条件.
变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．b，c，a+bB．b，a+c，a+bC．a−b，c，a+bD．a−b，c−b，c−a
【答案】A
【分析】
由题意可知a,b,c不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案.
【详解】由于a,b,c构成空间的一个基底，故a,b,c不共面，
对于A，a+b与a,b共面，a,b,c不共面，故b，c，a+b不共面，
否则，若b，c，a+b共面，则a,b,c共面，不符题意，A错误；
对于B，假设b，a+c，a+b共面，则存在实数λ,μ，使得b=λ(a+c)+μ(a+b)，
即b=(λ+μ)a+λc+μb，则λ+μ=0λ=0μ=1，方程组无解，
假设不不成立，故b，a+c，a+b不共面，B错误；
对于C，a−b，a+b与a,b共面，由于a,b,c不共面，
故a−b，a+b与c不共面，C错误；
对于D，a−b=(c−b)−(c−a)，故a−b，c−b，c−a共面，
变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基a,b,c，则可以与向量a−2b−c，a+b+c构成空间的另一组基的向量是（ ）
A．2a+2bB．2a−b
C．3a+cD．3b+2c
【答案】A
【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可.
【详解】不存在实数m，n，使得2a+2b=m(a−2b−c)+n(a+b+c)，所以a−2b−c，a+b+c，2a+2b不共面，可以构成空间的另一组基；
因为2a−b=a+b+c+a−2b−c，所以a−2b−c，a+b+c，2a−b共面，不能构成空间的另一组基；
因为3a+c=a−2b−c+2(a+b+c)，所以a−2b−c，a+b+c，3a+c共面，不能构成空间的另一组基；
因为3b+2c=a+b+c−(a−2b−c)，所以a−2b−c，a+b+c，3b+2c共面，不能构成空间的另一组基.
.
变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量a=e1+e2，b=e2−e3，c=e1+te3不能构成空间的一个基底，则t=（ ）
A．−1B．1C．0D．−2
【答案】C
【分析】根据向量共面列方程，化简求得t的值.
【详解】由于a=e1+e2，b=e2−e3，所以a,b不共线，
由于a,b,c不能构成空间的一个基底，
所以存在x,y∈R使得c=xa+yb，即
e1+te3=xe1+e2+ye2−e3=xe1+x+ye2−ye3，
所以1=x0=x+yt=−y，解得x=1,y=−1,t=1.
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量a,b,c能构成空间的一组基底，则能与向量m=a−b,n=b−c构成空间另一组基底的向量是（ ）
A．a−cB．a+c
C．a+bD．a+b+c
【答案】CCD
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为a−c=a−b+b−c，
所以a−b,b−c,a−c三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项B：因为a+c=xa−b+yb−c=xa+−x+yb−yc，
则x=1−x+y=0y=−1，方程无解，即不存在实数x,y使得该式不成立，
所以a−b,b−c,a+c不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：因为a+b=xa−b+yb−c=xa+−x+yb−yc，
则x=1−x+y=1−y=0，方程无解，即不存在实数x,y使得该式不成立，
所以a−b,b−c,a+b不共面，可以作为基底向量，故C正确；
对于选项D：因为a+b+c=xa−b+yb−c=xa+−x+yb−yc，
则x=1−x+y=1−y=1，方程无解，即不存在实数x,y使得该式不成立，
所以a−b,b−c,a+b+c不共面，可以作为基底向量，故D正确；
CD.
变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若a,b,c是空间的一个基底，则a+b,a−b,c也是空间的一个基底
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量，
由于非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
即向量a，b与任何一个向量均共面，则a，b必共线，A正确；
对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误；
对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确；
对于D，由于a,b,c是空间的一个基底，故a,b,c不共面，
而a+b,a−b与a,b共面，故与c不共面，且a+b,a−b不共线，
故a+b,a−b,c也是空间的一个基底，D正确，
CD
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【题型2：用基底表示向量】
例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥C−OADB中，底面OADB为平行四边形，E为AC的中点，F为BD的中点，OA=a，OB=b，OC=c，则EF=（ ）

A．b−12cB．a−b−12c
C．a−12b−cD．12a+12b−c
【答案】A
【分析】连OE，OF，根据空间向量的线性运算分析求解.
【详解】连OE，OF，

可得EF=OF−OE=OB+BF−12OA+OC=OB+12OA−12OA+OC
=OB−12OC=b−12c.
.
变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令AB=a，AC=b，AD=c，且M，G分别是BC，CD的中点，则MG+AG等于（ ）
A．−12a+12b+cB．a+12b+cC．−12a+b+cD．−12a+12b−c
【答案】A
【分析】结合条件用a,b,c表示MG,AG，即可得出结果.
【详解】因为AB=a，AC=b，AD=c，
所以AM=12a+b，AG=12b+c，
所以MG=AG−AM=12b+c−12a+b=12c−a，
所以，MG+AG=12c−a+12b+c=−12a+12b+c.
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1交点，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则BM的长为（ ）

A．54B．34C．52D．32
【答案】D
【分析】以AA1，AD，AB作为一组基底表示出BM，再根据数量积的运算律求出BM，即可得解.
【详解】依题意BM=BB1+B1M=BB1+12B1D1=BB1+12A1D1−A1B1
=AA1+12AD−12AB，
所以BM2=AA1+12AD−12AB2
=AA12+14AD2+14AB2+AA1⋅AD−AA1⋅AB−12AD⋅AB
=12+14×12+14×12+1×1×12−1×1×12−12×1×1×12=54，
所以BM=52，即BM=52.
变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用BA，BD，BC表示EG，则EG= ．
【答案】−12BA+12BD+12BC
【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可.
【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
所以EG=EB+BC+CG=−12BA+BC+12CD
=−12BA+BC+12(BD−BC)
=−12BA⃗+12BD⃗+12BC⃗.
故答案为：−12BA+12BD+12BC
变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥A−BCD中，点O为三角形BCD的中心，AO=xAB+yAC+zAD，则xyz= ．
【答案】127
【分析】取BC中点N，连接DN，AN，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】取BC中点N，连接DN，AN
AO=AN+NO=12(AB+AC)+13ND
又ND=−DN=−12(DB+DC)=−12(AB−AD+AC−AD)=−12(AB+AC−2AD)
∴AO=AN+NO=12(AB+AC)−16(AB+AC−2AD)=13AB+13AC+13AD
∴x=y=z=13，xyz=127.
故答案为：127.
变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为1， ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4，则AC12= ．
【答案】3+32
【分析】利用空间向量基本定理，选取AB,BC,CC1为基底表示向量，再通过平方的方法求出其模长.
【详解】因为平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为1，
∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4，
所以AC12=AB+BC+CC12
=AB2+BC2+CC12+2AB⋅BC+2AB⋅CC1+2BC⋅CC1
=3+6csπ4=3+32．
故答案为：3+32.
变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF=12，若SA=a，SB=b，SC=c，则SG= ．

【答案】13a+16b+16c
【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.
【详解】连接SF，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足EGGF=12，

所以SG=SE+EG=12SA+13EF=12SA+13(SF−SE)=12SA+13SF−16SA
=13SA+13×12(SB+SC)=13SA+16SB+16SC，
所以SG=13a+16b+16c.
故答案为：13a+16b+16c.
变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若AG=xAB+yAA1+zAC，则x+y+z= .
【答案】32
【分析】由G是MN的中点，可得AG=12(AN+AM)，再由向量的线性运算可得AG=12AB+34AA1+14AC,即可得答案.
【详解】解：连接AM,AN，如图所示：
因为G是MN的中点，M,N分别是A1C1，BB1的中点，
所以AG=12(AN+AM)
=12(AB+BN+AA1+A1M)
=12(AB+12BB1+AA1+12A1C1)
=12(AB+12AA1+AA1+12AC)
=12(AB+32AA1+12AC)
=12AB+34AA1+14AC,
又因为AG=xAB+yAA1+zAC，
所以x=12,y=34,z=14，
所以x+y+z=32.
故答案为：32
【方法技巧与总结】
1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.
2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：
①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；
②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；
③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.
【题型3：空间向量基本定理及其应用】
例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M,N分别为线段OA,BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC，则x+y−z的值为（ ）

A．−12B．14C．12D．1
【答案】A
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示MN，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体OABC中，由M,N分别为线段OA,BC的中点，
得MN=ON−OM=12(OB+OC)−12OA=−12OA+12OB+12OC，
而MN=xOA+yOB+zOC，由空间向量基本定理得：x=−12,y=12,z=12，
所以x+y−z=−12.
变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，A1B1=2AB，N是B1C1的中点，G是CN的中点，若A1G=xA1B1+yA1C1+zA1A，则x+y+z=（ ）
A．34B．1C．54D．32
【答案】D
【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可.
【详解】结合图形可知：
∵G是CN的中点，A1B1=2AB,∴A1C1=2AC,
∴A1G=12A1C+A1N=12A1A+AC+A1N=12A1A+12A1C1+A1N，
∵N是B1C1的中点，∴A1N=12A1C1+A1B1,
A1G=12A1A+12A1C1+A1N=12A1A+12A1C1+12A1C1+A1B1,
即A1G=12A1A+12A1C1+14A1B1,
∵A1G=xA1B1+yA1C1+zA1A，∴x=14,y=12,z=12，∴x+y+z=54.
.
变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=（ ）

A．13B．12C．23D．1
【答案】C
【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解.
【详解】MN=ON−OM=OB+BN−OM，
=OB+λBC−12OA，
=OB+λOC−OB−12OA，
=−12OA+1−λOB+λOC，
即x=−12，y=1−λ，z=λ，
所以x+y+z=12.
变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足DE=2EC，EA1=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z=（ ）
A．-23B．23C．−43D．43
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理以及空间向量线性运算，即可求解．
【详解】因为点E在线段DC上满足DE=2EC，
由向量的运算法则，可得ED1→=ED→+DA→+AA1→=−23AB→−AD→+AA1→，
因为EA1=xAB+yAD+zAA1，所以x=−23,y=−1,z=1，
所以x+y+z=−23.
.
变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC，则x+y+z= ．
【答案】12/0.5
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示MN，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体OABC中，由M,N分别为线段OA,BC的中点，
得MN=ON−OM=12(OB+OC)−12OA=−12OA+12OB+12OC，
而MN=xOA+yOB+zOC，由空间向量基本定理得：x=−12,y=12,z=12，
所以x+y+z=12.
故答案为：12.
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN=15CA1，若MN=xa+yb+zc，则x+y+z= .
【答案】310/0.3
【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以a,b,c为基底，用基向量表示MN，再空间向量基本定理待定系数即可.
【详解】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,
因为点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点,
所以MN=A1N−A1M=45A1C−12A1D1
=45AC−AA1−12A1D1=45AB+AD−AA1−12A1D1
=45AB+AD−AA1−12AD
=45AB+310AD−45AA1
=45a+310b−45c.
又MN=xa+yb+zc，
由空间向量基本定理得，x=45,y=310,z=−45，
则x+y+z=310.
故答案为：310.
变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）{a,b,c}是空间的一个基底，向量p=3a+b+c，{a+b,a−b,c}是空间的另一个基底，向量p=xa+b+ya−b+c，则x−y = ．
【答案】1
【分析】将p转化成以{a,b,c}为基底的向量，与p=3a+b+c联立，即可求出x−y的值．
【详解】因为p=xa+b+ya−b+c=x+ya+x−yb+c，且p=3a+b+c，
∴x−y=1．
故答案为：1．
变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示D1B,EF；
(2)若D1F=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值.
【答案】(1)D1B=a−b−c，EF=12a−12c；
(2)x=12,y=−12,z=−1.
【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用a,b,c表示D1F，再利用空间向量基本定理求解即得.
【详解】（1）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
D1B=AB−AD1=AB−(AD+AA1)=a−b−c，
由E,F分别是AD1,BD的中点，
得EF=AF−AE=12(AB+AD)−12(AD+AA1)=12a−12c.
.
（2）D1F=AF−AD1=12(AB+AD)−(AD+AA1)=12AB−12AD−AA1=12a−12b−c，
而D1F=xa+yb+zc，且a,b,c不共面，
所以x=12,y=−12,z=−1.
一、单选题
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量m=3a+2b−c，则向量m在b上的投影为（ ）
A．3B．2C．-1D．4
【答案】C
【分析】由空间向量基本定理即可得出结论.
【详解】由空间向量基本定理可知m在b上的投影即为b的系数2.
2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1C1的中心，用空间的一组基CA,CB,CC1表示MN，则（ ）
A．MN=16CA−16CB+CC1B．MN=−16CA−16CB+CC1
C．MN=−16CA+16CB+CC1D．MN=16CA+16CB+CC1
【答案】C
【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.
【详解】取下底面ABC的中心Q，连接NQ,CM，则MQ=−13CM，
∴MN=MQ+QN=−13CM+CC1=−13×12CA+CB+CC1=−16CA−16CB+CC1．
故选:B．
3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足AB=2MB，CN=2ND，若MN=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=（ ）
A．−13B．13C．12D．1
【答案】D
【分析】直接利向量的线性运算求出结果．
【详解】在四面体ABCD中，由于点M，N满足AB=2MB，CN=2ND，
如图所示：
故MN=AN−AM=AC+23CD−12AB=AC+23AD−AC−12AB=−12AB+13AC+23AD=xAB+yAC+zAD，
故x+y+z=−12+13+23=12．
4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，则与向量D1B相等的是（ ）

A．a+b+cB．a+b−cC．a−b−cD．−a−b+c
【答案】D
【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可.
【详解】因为D1B=AB−AD1=AB−AD+AA1,
所以D1B=a−b−c.
.
5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若a,b,c构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A．b+c,a+c,a−bB．a+b+c,12a+b,12a+c
C．a−b+c,a−b,a+cD．b−c,a+b,a+c
【答案】D
【分析】根据共面定理逐一判断即可.
【详解】因为b+c=a+c−a−b，所以b+c，a+c，a−b共面，
所以b+c,a+c,a−b不是空间的另一个基底，A错误．
因为a+b+c=12a+b+12a+c，所以a+b+c，12a+b，12a+c共面，
所以a+b+c,12a+b,12a+c不是空间的另一个基底，B错误．
假设存在m，n，使得a−b+c=ma−b+na+c=m+na−mb+nc，
则m+n=1−m=−1n=1，显然无解，所以a−b+c，a−b，a+c不共面，
所以a−b+c,a−b,a+c是空间的另一个基底，C正确．
因为b−c=a+b−a+c，所以b−c，a+b，a+c共面，
所以b−c,a+b,a+c不是空间的另一个基底，D错误．
6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量a,b,c，下列命题正确的是（ ）
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．若a,b,c非零且共面，则它们所在的直线共面
C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一有序实数组x,y,z，使得p→=xa→+yb→+zc→
D．若a,b不共线，向量c=λa+μb（λ,μ∈R且λμ≠0），则a,b,c可以构成空间的一个基底
【答案】D
【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】A选项，若a与b共线，b与c共线，当b为零向量时，
a与c不一定共线，所以A选项错误.
B选项，若a,b,c非零且共面，则它们所在的直线不一定共面，
比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，
对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.
C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.
D选项，若a,b不共线，向量c=λa+μb（λ,μ∈R且λμ≠0），
则a,b,c共面，所以a,b,c不能构成基底，D选项错误.
7．（23-24高二上·全国·课后作业）当|a|=|b|≠0，且a、b不共线时，a+b与a−b的关系是（ ）
A．共面B．不共面C．共线D．无法确定
【答案】A
【分析】
利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.
【详解】根据平行四边形法则可得，以a，b为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为a+b,a−b，
所以a+b与a−b共面.
.
8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．−34B．34C．43D．−43
【答案】A
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=xAC+yAD，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=xAC+yAD，
即2a−3b=xa−c+y2b+λc，
则2a−3b=xa+2yb+λy−xc，
则x=2，y=−32，λy−x=0，解得λ=−43.
.
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是0,π2
B．若直线l与平面α相交，则该直线l与平面α所成角的取值范围是0,π2
C．二面角的平面角的取值范围是0,π2
D．若a，b，c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0
【答案】AB
【分析】ABC选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D选项，根据空间基底的概念得到a，b，c不共面，故结论不不成立.
【详解】A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是0,π2，A正确；
B选项，直线与平面的夹角范围为0,π2，但直线l与平面α相交，夹角不为0，
则该直线l与平面α所成角的取值范围是0,π2，B正确；
C选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误；
D选项，若a，b，c是空间向量的一组基底，则a，b，c不共面，
不存在非零实数x，y，z，使得xa+yb+zc=0，，D错误.
B
10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线
B．空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，c共面
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC，则P，A，B，C四点共面
D．设{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+b，n=a−b，则{m,n,c}不能为空间的一组基底
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．
【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则13(OC−OA)=23(OB−OC)，即AC=2CB，则A，B，C三点共线，故A正确；
对于B，因为a//b，则a,b共线，则根据共面向量的定义可得，a，b，c共面，故B正确；
对于C，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+2022OB−2023OC，又2+2022−2023=1，则P，A，B，C四点共面，故C正确；
对于D，若a+b，a−b，c共面，则c=xa+b+ya−b=x+ya+x−yb，则a,b,c共面，与{a,b,c}是空间的一组基底矛盾，所以a+b，a−b，c不共面，所以{m,n,c}能为空间的一组基底，故D错误，
BC．
11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．AB，AD，AE不能构成空间的一个基底
B．AC，AD，AE不能构成空间的一个基底
C．BC，CD，DE不能构成空间的一个基底
D．AB，CD，EA能构成空间的一个基底
【答案】ABC
【分析】由AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，可得空间五点A，B，C，D，E共面，从而可作判断
【详解】解：因为AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点A，B，C，D，E共面，
所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
BC
【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题
三、填空题
12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设AA1=a，AB=b，AC=c.用a，b，c表示AE= .
【答案】a+14b+14c
【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用AA1=a，AB=b，AC=c表示出AE即可.
【详解】AE=AA1+A1E=AA1+12A1D=AA1+14(A1C1+A1B1)=AA1+14AB+14AC=a+14b+14c.
故答案为：a+14b+14c
13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知ABCD−A'B'C'D'是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'的对角线BC'上的点，且BN:NC'=3:1，设MN=αAB+βAD+γAA'，α+β+γ= ．

【答案】32
【分析】由空间向量基本定理得到MN=12AB+14AD+34AA'，从而求出α=12，β=14，γ=34，得到答案.
【详解】∵AD=BC，CC'=AA'，
∴MN=MB+BN =12DB+34BC' =12(DA+AB)+34(BC+CC')
=12AB+14AD+34AA'，
又MN=αAB+βAD+γAA'，
∴α=12，β=14，γ=34，故α+β+γ=32.
故答案为：32
14．（23-24高二上·贵州·开学考试）a,b,c是空间的一个基底，向量p=3a+b+c，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，向量p=xa+b+ya−b+c，则x+y= .
【答案】3
【分析】将p=xa+b+ya−b+c转化成以a,b,c为基底的向量，与p=3a+b+c联立，即可求出x+y的值.
【详解】∵ p=xa+b+ya−b+c=(x+y)a+(x−y)b+c，且p=3a+b+c
∴ x+y=3.
故答案为：3
四、解答题
15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体ABCD−A1B1C1D1，点E在棱CC1的延长线上，且C1E=CC1．设AA1=a，AB=b，AD=c，试用a、b、c的线性组合表示下列向量：

(1)AC1；
(2)D1B1；
(3)BD1；
(4)AE．
【答案】(1)b+c+a
(2)b−c
(3)−b+a+c
(4)b+c+2a
【分析】根据空间向量加减运算法则，将各向量表示成以a,b,c为基底即可．
【详解】（1）AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=b+c+a．
（2）D1B1=A1B1−A1D1=AB−AD=b−c．
（3）BD1=BA+AA1+A1D1=−AB+AA1+AD=−b+a+c．
（4）AE=AB+BC+CE=AB+AD+2CC1=AB+AD+2AA1=b+c+2a．
16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，PA=4，PB=5，PC=3，∠APB=∠BPC=60°，∠CPA=90°，D，E分别是PA，BC的中点，点F在DE上，且DF=2FE，记PA=a，PB=b，PC=c．

(1)试用基底a,b,c表示向量PE，DE，PF；
(2)求PA⋅PB和PF⋅AC的值．
【答案】(1)PE=12b+12c，DE=12b+12c−12a，PF=13b+13c+16a
(2)PA⋅PB=10，PF⋅AC=−12
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的定义及运算律计算可得.
【详解】（1）因为D，E分别是PA，BC的中点，
所以PE=12PB+PC=12PB+12PC=12b+12c，
PD=12PA=12a，
DE=PE−PD=12b+12c−12a，
又DF=2FE，所以DF=23DE，
则PF=PD+DF=PD+23DE=12a+2312b+12c−12a=13b+13c+16a.
（2）因为PA=4，PB=5，PC=3，∠APB=∠BPC=60°，∠CPA=90°，
所以PA⋅PB=PA⋅PBcs∠APB=4×5×12=10，
又AC=PC−PA=c−a，
所以PF⋅AC=c−a⋅13b+13c+16a
=13c2+13b⋅c−16a2−13b⋅a+16a⋅c−13a⋅c
=13×32+13×3×5×12−16×42−13×4×5×12−16×4×3×0=−12.
17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA的长为4，且PA与AB、AD的夹角都等于80°，N是PC的中点，设AB=a，AD=b，AP=c.
(1)用基底{a,b,c}表示向量AN；
(2)求AN的长.
【答案】(1)AN=12a+12b+12c
(2)10.
【分析】（1）根据空间向量的加减运算以及数乘运算，即可求得答案；
（2）结合（1）的结论，利用AN=12a+12b+12c2，结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得AN=AC+CN=AC+12CP=AC+12AP−AC
=12AC+12AP=12AB+12AD+12AP=12a+12b+12c;
（2）由已知，得a=b=2，c=4，
a2=b2=4，c2=16,
a⋅b=2×2×cs90°=0，a⋅c=b⋅c=2×4×cs60°=4,
所以AN=12a+12b+12c2
=12a2+b2+c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c=124+4+16+20+4+4=10,
所以AN的长为10.
18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记OA=a，OB=b，OC=c，点E在棱OC上，OC=4OE .
(1)若D是棱AB的三等分点（靠近点A），用向量a，b，c表示向量DE；
(2)若D是棱AB的中点，BE·OD=−5，求三棱锥的棱长.
【答案】(1)DE=−23a−13b+14c
(2)m=22
【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；
（2）根据正三棱锥的性质，结合BE⋅OD=14c−b⋅12a+12b求解即可.
【详解】（1）DE=DA+AO+OE=13BA+OE−OA =13(OA−OB)+14OC−OA=−23a−13b+14c.
（2）因为三棱锥O−ABC的棱长都为m，所以三棱锥各面都是正三角形，
则a2=b2=c2=m2，a⋅b=a⋅c=c⋅b=m22，BE=OE−OB=14c−b， OD=12a+12b，
所以BE⋅OD=14c−b⋅12a+12b=18c⋅a+18c⋅b−12b⋅a−12b2 =−58m2=−5，
又因为m>0，所以m=22
19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．
(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求csBD1,AC．
【答案】(1)BD1=AD+AA1−AB，BD1=6
(2)33
【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【详解】（1）BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，
则BD12=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AB⋅AA1
=1+4+1+2×1×2×12−0−2×2×1×12=6，
所以BD1=6.
（2）由空间向量的运算法则，可得AC=AB+AD，
因为AB=AD=1,AA1=2且∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
所以AC=AB+AD2=AB2+2AB⋅ADcsπ2+AD2
=1+0+1=2，
BD1⋅AC=(AD+AA1−AB)⋅(AB+AD)
=AD⋅AB+AD2+AA1⋅AB+AA1⋅AD−AB2−AD⋅AB
=1×1×csπ2+12+2×1×csπ3+2×1×csπ3−12−1×1×csπ2=2，
则csBD1,AC=BD1⋅ACBD1⋅AC=26×2=33.
课程标准
学习目标
1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义;
2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用;
1.理解空间向量基本定理的概念和原理
2.掌握空间向量基本定理的运用方法
3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。
空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.