高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.3 充分条件、必要条件教学设计

第一章 集合与常用逻辑用语

1.2.3充分条件、必要条件

教材分析

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

【教学目标】

1.理解充分条件和必要条件的概念.

2.掌握充分条件和必要条件的判断方法.

3.理解充分必要条件的概念.

4.能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明

【核心素养】

1.数学抽象：在课前导读中抽象出充分、必要的概念.

2.逻辑推理: 判定推出与不推出,推理充分条件与必要条件的基本形式和规则.

3.直观想象：借助坐标轴和几何图形来判定充分条件与必要条件.

4.数学运算:掌握p、q运算，正确判断推出与不推出的关系.

【教学重点】

1.掌握充分条件和必要条件的概念和判断方法.

2.掌握充要条件的概念和判断方法.

【教学难点】

1.能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明

 教学过程

【新课导入】

同学们，当某一天你和你的妈妈在路上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈！”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说你是她的孩子呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以说明你是她的孩子．那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．

【探究新知】

知识点1  充分不必要条件、必要不充分条件

问题1：x>3是x>2的         条件．

师生活动：学生回答，教师补充点评．

我们已经知道，因为x>3x>2，所以x>3是x>2的充分条件，又因为x>2x>3，所以x>3不是x>2的必要条件，把这两方面综合起来，可以说成x>3是x>2的充分不必要条件.

总结：一般地，如果pq且q p，则称p是q的充分不必要条件，相应地，我们称q是p的必要不充分条件．

【尝试与发现】仿照上述做法，给出p是q的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明.

师生活动：学生回答，教师补充点评：如果pq且qp，则称p是q的必要不充分条件.如：x（x-1）=0是x=0的必要不充分条件.

【练一练】（1）设，则“”是“”的         条件．

（2）“a+b<0”是“a<0，b<0”的         条件． 

师生活动：学生分组讨论，然后有学生代表回答．教师书写规范解题过程．

（1）若，则必有，故是充分的，若，则或，故不必要．因此应是充分不必要条件．

（2）当a与b异号且负数绝对值大时，也有a+b<0，所以“a+b<0”推不出“a<0，b<0”，

显然“a<0，b<0”能推出“a+b<0”，所以“a+b<0” 是“a<0，b<0”的必要不充分条件.

设计意图：进一步熟悉充分不必要条件和必要不充分条件．

知识点2  充要条件

问题2：如果pq且qp，则p是q的充分不必要条件；如果pq且qp，则p是q的必要不充分条件．类似地，p、q之间的推出关系还会有哪几种情形？

师生活动：学生讨论，教师总结．

结论：（1）如果pq且qp，则称p是q的充分必要条件（简称为充要条件），记作

pq，

此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.

当然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.

（2）如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

【练一练】判断下列各题中，p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件：

（1) p:x> 1,q:x> 0;

（2) p: |x|=1,q:x=1;

（3) p: |x|=1,q:x2=1;

（4) p:x> 1,q:x <2.

（5) p: x≥0,q:有意义

师生活动：学生思考后回答.

预设的答案：(1) p是q的充分不必要条件； (2) p是q的必要不充分条件； (3) p是q的充

要条件； (4) p是q的既不充分也不必要条件；(5) p是q的充要条件．

设计意图：进一步熟悉条件的判断，关于充分性和必要性，总共有四种情形：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件．

知识点3  充要条件与数学定义的关系

问题3：我们知道数学上的判定定理、性质定理与充分条件、必要条件有关，那么数学定义与充分条件、必要条件有关吗？试以某一定义为例说明！

师生活动：学生分组讨论后，代表叙述！教师点评：充要条件与数学中的定义有关.例如，“三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等．不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件．

注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：“三个角都相等的三角形称为等边三角形．”

设计意图：通过启发学生回顾学过的数学定义，使之理解数学对象的定义是这个对象的充要条件．

问题4：结合实例，说明为什么有些数学对象有多种定义.

预设的答案：因为有些数学对象充要条件不唯一，所以可以有多种定义．如平行四边形，可定义为“两组对边分别平行的四边形”， 也可以定义为“两组对边分别相等的四边形”， 还可以定义为“一组对边平行且相等的四边形”及“对角线互相平分的四边形”等．实际上，当一个条件和某个数学定义互为充要条件时，我们可以用其代替这个定义．这同时还告诉我们，在理解数学概念时，可以用自己较为熟悉的充要条件去替换定义，从而加深自己对数学对象的理解和认识．

【巩固练习】

例1 在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.

师生活动：学生思考并回答，教师完善解题过程．

解： 因为“在三角形中，等角对等边”，所以

∠B=∠CAC=AB；

又因为“在三角形中，等边对等角”，所以

AC=AB∠B=∠C.

从而∠B=∠CAC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件．

设计意图：以此题为例说明从命题角度判断p是q的充分必要条件的原理和方法：

原理：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.

方法：①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；

③若二者都成立，则p与q互为充要条件.

例2 （1）“x≤0”是“|x|=-x”的         条件．

（2）“-1<x<6”是“” 的         条件．

师生活动：学生从命题角度得出结论，教师再引导学生从集合的角度思考并回答．

解：（1）因为，所以“-1<x<6”是“”成立的必要不充分条件.

（2）因为A={x|x≤0}，B={x||x|=-x}，不难看出A=B，因此x≤0|x|=-x，也就是说x≤0是|x|=-x的充要条件，x≤0与|x|=-x等价，x≤0当且仅当|x|=-x.

设计意图：以此题为例说明从集合的观点来看，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B，则p(x)q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充要条件．

例3已知关于x的方程ax2+bx+c=0(*)，试证明a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的充要条件.               

证明：（1）充分性：

因为a+b+c=0，所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0中，

得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.

所以方程(*)有一个根为1，

所以a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的充分条件；

（2）必要性

因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.

所以有a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.

所以a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的必要条件．

从而a+b+c=0⇔方程(*)有一个根为1，

因此a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的充要条件.

设计意图：充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

注意：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.

课堂练习    教材P34  练习A   3，4

师生活动：学生回答，学生纠错，教师点评．

设计意图：通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏．

【课堂小结】

1．板书设计

1.2.3充分条件、必要条件

（1）充分不必要条件、必要不充分条件

（2）充要条件

（3）充要条件与数学定义有关

例1             例2           例3

作业：教材P35 练习B3，习题1-2A 3

2．总体概括

回顾本节课，你有什么收获？

师生活动：学生可以完善下面的表格：

预设的答案：

作业：教材P35 练习B3，习题1-2A 3

【课外拓展】

1.设x∈R，a＜b，若“a≤x≤b”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件，则b-a的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

2.设全集为，对于集合，，则“”是“存在集合，使得且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

3．求证：a=b是a2+b2=2ab的充要条件．

4．在下列电路图中，分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：

参考答案：1．解不等式得

因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且

所以，故选C．

2．由题意,则,当时,,可得;

”能推出“存在集合，使得且.故选C．

3．先证充分性

因为a=b, 所以a2+b2= a2+a2=2a2, 又因为2ab=2a2, 所以a2+b2=2

再证必要性

因为a2+b2=2ab, 所以a2+b2-2ab=0, 即（a-b) 2=0, 所以a=b.

综上可知，a=b是a2+b2= 2ab的充要条件．

4．如题图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件.

如题图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件.

如题图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件.

如题图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.

设计意图：让学生进一步熟悉和理解充分条件和必要条件的判断和证明，会由条件求参数值，培养逻辑推理能力.