初中数学苏科版（2024）八年级上册2.4 线段、角的轴对称性当堂检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册2.4 线段、角的轴对称性当堂检测题，文件包含苏科版数学八上同步讲练专题22角平分线的性质与判定原卷版doc、苏科版数学八上同步讲练专题22角平分线的性质与判定解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
1、利用尺规作已知角的平分线的方法；
2、理解角的平分线的性质并初步运用。
【教学重难点】
1、掌握角平分线的尺规作图；
2、理解角的平分线的性质并初步运用；
3、对角平分线的性质定理中点到角两边的距离的理解。
【知识亮解】
知识点 角平分线的性质与判定
角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
3、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图步骤：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。
角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系：
角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。
角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上
理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。
角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。
【例1】★如图，点P在∠AOB内，因为PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，PM＝PN，所以OP平分∠AOB，理由是 ．

【分析】由在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可求解．
【解析】∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，
∴OPOP平分∠AOB，（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【例2】★如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10

【分析】作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△ABD+S△BCD进行计算．
【解析】作DF⊥BC于F，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD6×24×2＝10．故选：D．
【例3】★如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，
△ABC的面积等于30，则DE＝ ．

【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE，再利用三角形面积公式得到DE×18DF×12＝30，然后解方程即可．
【解析】过点D作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴DE×18DF×12＝30，即9DE+6DE＝30，∴DE＝2．
故答案为2．
【例4】★（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．

【分析】过O作射线BP，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
【解析】过O作射线BP，
∵线段AB、BC的垂直平分线11、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，故答案为：78°．
【例5】★如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）

A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
【例6】★如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为10，求BC的长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的
性质得到DA＝DB，FA＝FC，得到∠DAB＝∠ABC＝30°，∠FAC＝∠ACB＝50°，结合图形计算，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解析】（1）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
∵FG是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝20°；
（2）∵△DAF的周长为10，∴AD+DF+FC＝10，∴BC＝BD+DF+FC＝AD+DF+FC＝10．
【例7】★★（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．

【解析】（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判断P就是∠AOB的角平分线，关键是缺少△OPM≌△OPN的条件，只有“边边”的条件；
方案（Ⅱ）中△OPM和△OPN是全等三角形（三边相等），则∠MOP=∠NOP，所以OP为∠AOB的角平分线；
（2）可行．此时△OPM和△OPN都是直角三角形，可以利用HL证明它们全等，然后利用全等三角形的性质即可证明OP为∠AOB的角平分线．
【答案】（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN，∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等），∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，是一个开放性试题，可以提高学生解决实际的能力．
【例8】★★已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，
（1）求：∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD．

【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）在AC上截取AF=AE，利用“边角边”证明△AOE和△AOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOF=∠AOE，根据邻补角的定义求出∠AOE=60°，再求出∠COF=60°，然后求出∠COD=∠COF，然后利用“角边角”证明△COD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=CD，再根据AC=AF+CF整理即可得证．
【答案】（1）∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
在△AOC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-60°=120°；
（2）证明：如图，在AC上截取AF=AE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠OAE=∠OAF，
在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF=∠AOE，
∵∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，∴∠AOF=60°，
∵∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∠COD=∠AOE=60°，∴∠COD=∠COF，
∵CE是△ABC的平分线，∴∠OCD=∠OCF，
在△COD和△COF中，∴△COD≌△COF（ASA），∴CF=CD，∵AC=AF+CF，∴AC=AE+CD．
【例9】★★如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）BQ=CQ；
（2）BQ+AQ=AB+BP．

【解析】（1）由三角形的内角和就可以得出∠ABC=80°，再由角平分线就可以得出∠QBC=40°，就有∠QBC=∠C而得出结论；
（2）延长AB至M，使得BM=BP，连结MP，根据条件就可以得出∠M=∠C，进而证明△AMP≌△ACP可以得出结论．
【答案】证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，∴
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，∴，∴∠QBC=∠C，∴BQ=CQ；
（2）延长AB至M，使得BM=BP，连结MP．∴∠M=∠BPM，
∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，∴∠ABC=80°，
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC=40°=∠C，∴BQ=CQ，
∵∠ABC=∠M+∠BPM，∴∠M=∠BPM=40°=∠C，
∵AP平分∠BAC，∴∠MAP=∠CAP，
在△AMP和△ACP中，，∴△AMP≌△ACP，∴AM=AC，
∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，∴AB+BP=AQ+BQ．
【亮点训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若面积分别为、、，则（ ）
A．B．C．D．无法确定与的大小
【答案】A
【解析】
【分析】
过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系求解．
【详解】
解：过点作于，于，于，如图，
是的三条角平分线的交点，
，
，，，
，
，
．
故选：．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握解平分线的性质是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC边于点D，若BD＝5，则CD的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
过点作，根据角平分线的性质可得，根据点到直线的距离垂线段最短可得即可求解．
【详解】
由作图可知，是的角平分线，
过点作，根据角平分线的性质可得，
根据点到直线的距离垂线段最短可得
故选D
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，理解题意，是的角平分线是解题的关键．
3．（2022·辽宁本溪·八年级期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ）
A．24B．12C．15D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质计算出的高DE，从而计算出的面积．
【详解】
过点D做于点E，如图
∵
∴
∵，，且是的角平分线
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质并作出辅助线，从而完成求解．
4．（2022·广东·化州市第一中学八年级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
过D作DF⊥AC于点F，首先根据角平分线的性质可求出DF，再根据三角形面积公式求出△ABD的面积，即可求出△ADC面积，据此即可求出答案．
【详解】
解：如图：过D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
，△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9−5=4，
∴，
∴AC=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
5．（2022·云南红河·八年级期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【详解】
如图，连接CD，BD，

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11cm，AC=5cm，
∴BE=3cm．
故应选D．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
【答案】8
【解析】
【分析】
由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】
解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，AD是的角平分线，过点D作，若，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】
先利用角平分线性质证明CD=DE，再求出的值即可．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，，DE⊥AB，
∴CD=ED．
∵，
∴BD+CD=7，
∴，
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为________．
【答案】12
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，由角平分线的性质可得CE=CF，由△ACD的面积和底求得高CF的值，便可解答；
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵AD=8，△ACD面积=16，
∴CF=4，
∵AB=6，CE=CF=4，
∴△ACB面积=12，
故答案为：12；
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握角平分线的性质是解题关键．
9．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，平分，于点，，点是射线上一个动点，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】
解：如图，过点P作PB⊥OM于B，
∵平分，，PB⊥OM，
∴PB=PA=3，
∵点是射线上一个任意点，
∴PQ≥PB，
∴m≥3，
故答案为：m≥3．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，垂直线段最短，解题的关键是熟练作PB⊥OM于B，证得PB=PA=3．
10．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC中，高AE交BC于点E，若，，△ABC的面积为10，则AB的长为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
以AC为边，点C为顶点作，延长BA与CD交于点D，先通过角度等量代换证明，再依据角平分线的性质证明，进而证明，得出，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】
解：如图，以AC为边，点C为顶点作，延长BA与CD交于点D，
则，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，，AC平分，
∴．
在和中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积公式等，通过作辅助线构造是解题的关键．
11．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得，再用HL证明．
【详解】
证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴，，
又∵（公共边），
∴．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
12．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求，根据角平分线的性质定理可得到点P到AB的距离等于PD的长．
【详解】
解：如图，点P即为所求．
．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（2022·云南·红河县教育科学研究室八年级期末）如图，在中，，AD是的平分线，，垂足为点E．若，，求BE的长．
【答案】
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可知CD=DE，再证明≌R（HL），即可得到AE=AC，则问题得解．
【详解】
解：∵AD是的平分线，，，
∴，
在和中，，
∴≌R（HL），
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，利用角平分线的性质得到CD=DE是解答本题的关键．
14．（2022·山东·青岛三十九中八年级期中）如图，在中，，是的平分线，于，在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，不用写过程直接给出的值．
【答案】(1)见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据，是的平分线，于，得到DE=DC，结合，证明△CDF≌△EDB即可．
（1）先证明△CDA≌△EDA，得到AE=AC=AF+CF=AF+BE，结合AB=AE+BE=AF+BE+BE，代入计算即可．
(1)
∵，是的平分线，于，
∴DE=DC，
∵，
∴△CDF≌△EDB，
∴．
(2)
∵，是的平分线，于，
∴DE=DC，
∵，
∴△CDA≌△EDA，
∴AE=AC=AF+CF=AF+BE，
∴AB=AE+BE=AF+BE+BE，
∴8=6+BE+BE，
解得BE=1，
故CF=1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
15．（2022·全国·八年级）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．
(1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)5cm；
(2)见解析．
【解析】
【分析】
（1）过点作于，根据角平分线的性质即可解答；
（2）根据角平分线的性质得到，进而得到，根据角平分线的判定定理即可证明．
(1)
解：过点作于，
点在的平分线，，，
cm，
即点到直线的距离为；
(2)
证明：点在的平分线，，，
，
同理：，
，
，，
点在的平分线上．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和判定定理，根据题意添加辅助线是解题关键．
【培优检测】
1．（2022·全国·八年级）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9B．5C．10D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．
【详解】
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是利用全等把所求的三角形的周长的各边整理到已知的线段上，难度适中．
2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
【详解】
解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
3．（2022·山东济南·一模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A．2B．1C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由点为线段上的一个动点，最短时，如图，由题意知，是的角平分线，由角平分线的性质可得，证明，则有，由求出的值，根据计算求解即可．
【详解】
解：由点为线段上的一个动点，最短时，，如图，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
在和中
∵
∴
∴，
∴，
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2022·河南周口·八年级期末）如图，的三条角平分线交于点，边、、的长分别是40、30、20，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，根据角平分线的性质可得EO＝DO＝FO，再根据三角形的面积公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．
【详解】
解：过O分别作OE⊥CB，FO⊥AB，OD⊥AC，
∵BO是∠ABC平分线，
∴EO＝FO，
∵CO是∠ACB平分线，
∴EO＝DO，
∴EO＝DO＝FO，
∵S△ABO＝AB•FO，S△BCO＝CB•EO，S△CAO＝AC•DO，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．
故选：B
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．（2022·重庆长寿·八年级期末）如图，已知，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则下面结论：①；②点P到AD、BC的距离相等；③PD＝PC；④AD＋BC＝AB；⑤PA＝PB．
其中正确结论的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行线的性质及角平分线定义得出∠DAB+∠ABC= 180° ，∠DAP=∠PAB ，∠ABP=∠PBC，那么∠PAB+∠ABP= 90°，AP⊥BP，判断结论①正确；由AP平分∠DAB ，BP平分∠ABC ，根据角平分线的性质得出点P到AD、AB、BC的距离相等判断结论②正确；延长AP与BC的延长线交于点E，利用ASA证明△APB≌△EPB，得出AP= EP，再根据AAS证明△APD≌△EPC，得出PD= PC，AD= EC，判断结论③正确；由BP是AE的垂直平分线，得出AB= BE，再根据BE= EC+ BC，AD= EC，判断结论④正确；当PA＝PB时，则∠ABP=∠BAP=45°，得到∠BAD=∠ABC=90°，由此判断⑤错误．
【详解】
解：在四边形ABCD中，，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠DAB+ ∠ABC= 180°， ∠DAP= ∠PAB，∠ ABP= ∠PBC，
∴∠PAB+ ∠ABP= 90°，
∴AP⊥BP，故结论①正确；
∵AP平分∠DAB，
∴点P到AB、AD的距离相等，
∵BP平分∠ABC，
∴点P到AB、BC的距离相等 ，故结论②正确；
如图，延长AP与BC交于点E，
∵∠APB=∠EPB = 90°，BP= BP，∠ABP= ∠ЕВР，
∴△АPВ≌△ЕРВ(АSА)，
∴AP= EP，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECP，∠DAP=∠E，
∴△APD ≌△EPC(AAS)，
∴PD= PC，AD= EC，故结论③正确；
∵AP= EP ，BP⊥AE，
∴BP是AE的垂直平分线，
∴AB= BE，
∵BE= EC+ BC，AD= EC，
∴AD + BC= AB，故结论④正确；
当PA＝PB时，则∠ABP=∠BAP=45°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
由已知不能确定∠BAD=∠ABC=90°，故不能判断⑤正确，故⑤错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，准确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·广东梅州·八年级期中）如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D．若，，则△ABD的面积为_________．
【答案】44
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可以得到CD=DE，根据BD=6，BC=10，可以得到CD的长，从而可以得到DE的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=9°，∠DEA=90°，
∴DC=DE，
∵BD=6，BC=10，AB=22，
∴CD=BCBD=106=4，
∴DE=4，
∴△ABD的面积为：，
故答案为：44．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形的面积、利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝_____°．
【答案】23.5##
【解析】
【分析】
首先作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，再利用角平分线的性质得出BE为∠ABC的角平分线，即可求解．
【详解】
解：作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分别为M、N、O，如图所示，
∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分线，
∴EM＝EO，EO＝EN，
∴EM＝EN，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABC＝23.5°．
故答案为：23.5．
【点睛】
此题考查角平分线的性质：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，反之也是成立的．解题关键是利用角平分线的判定定理．
8．（2022·广东茂名·八年级期中）如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO ：S△CAO = ______________．
【答案】3：4：5
【解析】
【详解】
解：如图：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线将△ABC分为三个三角形，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD
＝AB：BC：AC
＝6：8：10
=3：4：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键.
9．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知，如图DC平分，DB平分的外角，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，过点D作DG⊥BE交BE延长线于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延长线于H，由角平分线的性质可得DF=DH，证明Rt△AFD≌Rt△AHD得到∠HAD=∠FAD；然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质求出∠BAC=2∠BDC=40°，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，过点D作DG⊥BE交BE延长线于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延长线于H，
∵CD、BD分别是∠ACB和∠ABE的角平分线，
∴DF=DG，DH=DG，
∴DF=DH，
又∵AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AHD（HL），
∴∠HAD=∠FAD；
∵CD、BD分别是∠ACB和∠ABE的角平分线，
∴，，
∵∠BAC+∠ACB=∠ABE，∠BDC+∠BCD=∠DBE，
∴∠BAC+2∠BCD=2∠BCD+2∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC=40°，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．
10．（2022·河南商丘·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是 _____．
【答案】①②
【解析】
【分析】
利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得①正确；构造全等三角形，即可确定②正确；利用角平分线性质，通过等面积法，分解成三个三角形表示即可确定③错误．
【详解】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴∠OBA＝，，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝
＝
＝
＝，故①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO与△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO与△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AH＝AF，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC与∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴
＝
＝ab，故③错误，
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查角平分线的定义和性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，结合问题作出恰当的辅助线是解决问题的关键．
11．（2022·广东·化州市第一中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
(1)求证：CF＝EB；
(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)CF＝2
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，从而得出CF=EB；
（2）设CF=x，则AE=12-x，证明Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，即，计算求解即可．
(1)
证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
(2)
解：设CF＝x，则AE＝12-x，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12-x，
解得x＝2，即CF＝2．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2cm
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的性质可知，证明，进而结论得证；
（2）由，可得，证明，则，根据，计算求解即可．
(1)
证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
(2)
解：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
13．（2022·山西临汾·八年级期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，
(1)结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图②，点P是的角平分线上一点，，垂足为点D，且，点M是射线上一动点，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【解析】
【分析】
(1)利用AAS证明即可．
(2)利用垂线段最短原理和角平分线的性质定理计算即可．
(1)
证明：
∵是的角平分线，
∴，
∵于E，于D，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
(2)
根据垂线段最短可知：当时，最小．
当时，
又∵平分，，，
∴，
∴的最小值为3．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂线段最短原理，熟练掌握垂线段最短原理和角平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·全国·八年级课时练习）已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．
(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
【答案】(1)BC＝DC
(2)成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DC=BC．
(1)
∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC；
(2)
（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．
15．（2021·重庆·七年级阶段练习）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D．
(1)∠CBD＝_____；
(2)若点P运动到某处时，恰有∠ACB＝∠ABD，此时AB与BD有何位置关系？请说明理由．
(3)在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB之间的关系是否发生变化？若不变，请写出它们的关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)60°
(2)AB⊥BD，理由见解析
(3)不变，∠APB：∠ADB＝2：1，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义证明∠CBD∠ABN即可；
（2）证明∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN即可解决问题；
（3）利用平行线的性质可以证明∠APB＝∠PBN，角平分线的性质得∠ADB＝∠DBN∠PBN，进而可说明结论．
(1)
解：∵，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°，
故答案为：60°；
(2)
解：AB⊥BD，理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，∠A+∠ABN＝180°，
∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN﹣∠CBD＝∠ABD﹣∠CBD，
即∠DBN＝∠ABC，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABC＝∠CBP，∠DBP＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN∠ABN，
∵∠A+∠ABN＝180°，∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°，
∴∠ABC120°＝30°，
∴∠ABD＝3×30°＝90°，
∴AB⊥BD；
(3)
解：∠APB与∠ADB之间的关系不变，∠APB：∠ADB＝2：1，理由如下：
∵，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB＝∠DBN∠PBN∠APB，
∴∠APB：∠ADB＝2：1．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．