苏科版（2024）八年级上册2.4 线段、角的轴对称性一等奖ppt课件

这是一份苏科版（2024）八年级上册2.4 线段、角的轴对称性一等奖ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了学习目标，问题情境，把OA沿直线l翻折，知识回顾，操作与思考，三角形全等，符号语言，推出相等的线段，新知归纳，新知应用等内容，欢迎下载使用。

1.探索并掌握线段垂直平分线的性质定理；
2.能灵活运用线段垂直平分线的性质定理解决问题.
如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
因为 ∠1＝∠2＝90°，OA=OB，
如图， 直线l 是线段AB的垂直平分线，l交AB于点O.
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
操作 在折痕上任意取一点P，连接PA、PB，度量PA、PB，你发现了什么？沿刚才的折痕翻折纸片，验证你的结论.
思考1 你能利用线段的轴对称性验证你的结论吗？
理由如下：把△POA沿直线l翻折，∵∠POA=∠POB，∴OA落在射线OB上．∵OA=OB，∴点A与点B重合．依据基本事实“两点确定一条直线”，∴PA与PB重合，∴PA=PB．
思考2 你还有其他的证明方法吗？
思考3 像这样的点P还有吗？为什么？
线段的垂直平分线的性质定理：
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？为什么？
答：不相等.理由如下：如图，连接QB．∵点Q在AB的垂直平分线上∴ QA＝QB．∵ PA＝PQ＋QA．∴ PA＝PQ＋QB∵ 三角形的两边之和大于第三边∴ PQ＋QB＞PB∴即PA＞PB．
到A、B两村的距离相等只要连接AB，作出线段AB的垂直平分线找出与公路交点即可.
例 在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.(1)若△ABD的周长为13 cm，则AB+BC=　　　　cm; 
解：(1)∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).∵AB+BD+AD=13 cm，AD=CD,∴AB+BC=AB+BD+CD=13 cm.
(2)在(1)的条件下，若AE=3 cm，求△ABC的周长.
解：(2)∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE=3 cm.∴AC=6 cm.又∵AB+BC=13 cm，∴AB+BC+AC=13+6=19(cm)，即△ABC的周长为19 cm.
1. 如图所示，PO是AB的垂直平分线，则有下列结论:①PA=PB；②OA=OB；③∠A=∠B；④∠APO=∠BPO.其中正确的有(　　)A.①②③B.①②④ C.①②③④ D.②③④
2. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若△ADC的周长为21，AC的长为8，则CB的长为　　　　. 
3.如图，OM垂直平分AB，ON垂直平分AC，BC与OM、ON分别交于点D、E，连接AD、AE.若BC=10，求△ADE的周长.
解：∵OM垂直平分AB，点D在OM上， ∴BD=AD. 同理可得CE=AE. ∴△ADE的周长=AD+DE+AE =BD+DE+CE =BC=10.
4.你会利用网格线画线段PQ的垂直平分线吗？
5.某市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
变式：已知：如图，在△ABC中, 边AB、BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC
证明：连接PA、PB、PC. ∵ 点P在AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB. 同理 PB=PC. ∴ PA=PB=PC.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
已知线段的垂直平分线时，常考虑将线段垂直平分线上的点到线段两端的距离作出来.
笔直的河岸l旁有A、B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场. (1)如图①，当A、B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸 l的什么位置？请画在图①中，并说明理由.
解：(1)连接AB ，交直线l于点M，则AM+BM最短. 理由是两点之间线段最短.
(2)如图②，当A、B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸 l的什么位置？请画在图②中，并说明理由.
解: (2)作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B ,交直线l于点M，则AM+BM最短.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
∴ AP=A'P，AM=A'M，
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:A'B＜A'P+BP.
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
2．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则(　　　)A．BC＞PC＋AP B．BC＜PC＋APC．BC＝PC＋AP D．BC≥PC＋AP
3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，且BE＝DE，下列结论不一定成立的是(　　　)A. AB=AD B. AC平分∠BCD C. AB=BD D. △BEC≌△DEC
4. 如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线MN交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(　　　)A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
5. 点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=　　　　. 
6．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.4 cm，则四边形ACBD的周长为________cm.
7. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，且分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为15 cm，则AB＝________cm；(2)若∠MFN＝65°，则∠MCN＝________．
8.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？
2.连接A'B，交a于点P.
作法：1.做点A关于a的对称点A'.
点P即为抽水站的位置.
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC．
证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∠EDB＝90°.∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠DBE.∵∠C＝∠EDB＝90°，BE＝BE，∴△BED≌△BEC， ∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC.
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC、BC的长.
解：∵D是AB的中点，DE⊥AB.∴DE为AB的中垂线.∴AE=BE.∵△BCE的周长为12.∴BC+CE+BE=12.∴AC+BC=12.∵AC-BC=2.∴AC=7，BC=5.
解：分两种情况：①如图所示，当∠BAC为钝角时，∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC∴BD=AD，AE=CE∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．（用含α的代数式表示）
2α-180°或180°-2α
②如图所示，当∠BAC为锐角时，∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC∴BD=AD，AE=CE∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α∵∠BAC=(∠BAD+∠CAE)-∠DAE∴∠DAE=(∠BAD+∠CAE)-∠BAC=180°-2α