苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试题

这是一份苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步测试题，文件包含苏科版数学八上同步讲练专题23等腰三角形的性质与判定原卷版doc、苏科版数学八上同步讲练专题23等腰三角形的性质与判定解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共101页， 欢迎下载使用。
1、理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；
2、利用等腰三角形的性质解决相应数学问题
【教学重难点】
1、理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；
2、利用等腰三角形的性质解决相应数学问题
3、等腰三角形的性质和判定的探索和运用
【知识亮解】
知识点一 等腰三角形的性质
1、等腰三角形
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）性质
①两腰相等
②两底角相等（简称等边对等角）
③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）
④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。
证明题目中的写法：
①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD
（3）等腰三角形的构造
“角平分线+平行线”构造等腰三角形
①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形
②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形
“角平分线+垂线”构造等腰三角形
如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形
“角平分线+中线”构造等腰三角形
如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形
“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示

(5)“平行+等腰”构造等腰三角形
已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线

亮题一 等腰三角形的性质
1．（2022·福建·漳州三中八年级期中）在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（ ）
A．或B．或C．或或D．或或
2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形
D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
3．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建漳州·模拟预测）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
5．（2022·广东·深圳市高级中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
6．（2022·辽宁朝阳·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，交AC于E,若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为______．
7．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，连接BE．若AB=5，BC=3，则△BCE的周长是_______．
8．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）等腰三角形的一个外角是100°，则其底角是___________ .
9．（2022·云南文山·二模）如图，在中，，、、分别是边、、上的点，，且，，，则边的长是______．
10．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接MN，∠DMN=70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a、b分别交与点D、E，
（1）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置：___________________；
（2）当△NPE是等腰三角形时，则∠NPE的度数为___________________．
11．（2022·全国·八年级）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2
(1)说明△ADE≌△BFE的理由；
(2)联结EG，那么EG与DF的位置关系是 ，请说明理由．
12．（2022·广东·佛山市惠景中学三模）如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D．
(1)请用直尺和圆规按下列要求作图：过点C作AB的垂线CM，交AB边于点F：（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）问图中，若BD=CF，求证：△ABC为等腰三角形．
13．（2022·辽宁朝阳·八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE＝∠B．
(1)求∠B的度数．
(2)如果AC＝3cm，求AB的长度．
(3)猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．
14．（2020·湖南·常德市第七中学八年级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE．
(1)如果∠BAD = 20°，求∠B的度数，求∠C 的度数；
(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC = 6 cm，求△ABE的周长；
15．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
知识点二 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）
总结：
亮题二 等腰三角形的性质
1．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，在中，，直线DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，则的度数为（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
2．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，点M，N在边AB上，CM＝CN．若MN＝2，则AM＝( )
A．1B．2C．3D．4
3．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，，，则（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
4．（2022·辽宁本溪·八年级期中）如图，已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点（，不与点重合）连接，连交射线于点，且，当是等腰三角形时，则的度数为（ ）
A．或或B．或C．或D．或
5．（2022·甘肃武威·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，，，E是AC的中点，连接BE，BD，则的度数为（ ）
A．15°B．14°C．12°D．10°
6．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
7．（2022·河北保定·一模）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则
（1）________；
（2）阴影部分的面积是________．
8．（2022·贵州毕节·一模）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 _____°．
9．（2022·江苏南京·一模）如图，在正五边形ABCDE中，M是AB的中点，连接AC，DM交于点N，则∠CND的度数是 _____．
10．（2022·上海·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，DF∥AC交BC于点F，若BC＝a，AB＝c，AC＝b，则△DEF的周长为_____．
11．（2022·浙江·金华市第九中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，E，F是边BC上的两点，且BE＝CF．
(1)求证：△ABF≌△DCE．
(2)若∠APE＝70°，求∠ADP的度数．
12．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O．
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论．
13．（2021·浙江温州·一模）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段，如图，在6×6的方格纸中，有一格点线段AB，请按要求画图．

(1)在图1中画格点线段AC，BC，使得AC⊥BC．
(2)在图2中画一格点线段EF，使得EF将AB平分，并且与AB的夹角是45°．
14．（2022·辽宁辽宁·二模）综合与实践：
(1)问题发现如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，CM为中DE边上的高，连接BE．
填空：①的度数为_______；
②线段之间的数量关系为_________，并说明理由．
(3)拓展延伸；在（2）的条件下，若，求四边形ABEC的面积．
15．（2022·广东·江门市第二中学八年级开学考试）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．
(1)如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若AD＝4，求BC的长．
【亮点训练】
1．（2022·云南临沧·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AB于点E，交边BC于点D，如果∠ABC=26°，那么∠CAD的度数为（ ）
A．26°B．38°C．64°D．32°
2．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，E为△ABC内一点，BE平分∠ABC，CD⊥BE，垂足为E，交AB于点D，∠A=∠ACD，CE=1，BC=3，则AB的长为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
3．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD＝CE，则添加下列条件后，仍不能证明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠CC．AD＝AED．∠BAD＝∠CAE
4．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在中，，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，，若的周长为26cm，，则DC的长为（ ）
A．4B．8C．6D．7
5．（2022·云南德宏·八年级期末）以下说法中，正确的命题的个数为（ ）
①三角形的中线、高、角平分线都是直线；
②三角形的一个外角等于两个内角的和；
③有两条边和一角对应相等的两个三角形全等；
④三角形具有稳定性；
⑤如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形
A．2B．3C．4D．5
6．（2022·陕西渭南·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为_____．
7．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，D为的边BC延长线上一点，和的角平分线交于点O，过点О作BC的平行线，分别交AB，AC于点E，F，若，，则__________．
8．（2022·云南曲靖·八年级期末）已知a、b为等腰三角形的两边长，且满足，则等腰三角形的周长是______．
9．（2022·天津西青·八年级期末）如图，在一个三角形纸片ABC中，，，点D在边BC上，将沿直线AD折叠，点B恰好落在AC边上的点E处．若，则AC的长是______．
10．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，若AB＝5cm，AC＝6cm，则△AMN的周长为_______．
11．（2022·江苏盐城·二模）已知：如图，，，AC和BD相交于点O．点M是BC的中点，连接OM．
(1)求证：；
(2)求的度数．
12．（2022·广西百色·八年级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AD与EF相交于点M．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)求证：AD垂直平分EF．
13．（2022·湖南岳阳·八年级期末）已知：如图所示，Rt△ABC中，，，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
(2)如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持．试判断△OMN的形状，并证明你的结论．
(3)如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持，试判断（2）中结论是否依然成立，如果是请给出证明．
14．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在 6×4 的方格纸 ABCD 中，请按要求画格点三角形（端点在格点上），且三角形的各个顶点均不与点 A，B，C，D 重合，各边不落在格线上．
(1)在图 1 中画格点△EFG，使三角形的各顶点落在四边形 ABCD 的边上，且使它为等腰三角形．
(2)在图 2 中画格点△EFG 和△MNH，且使得它们全等，每条对应边都相互垂直．
15．（2022·海南华侨中学八年级期末）如图，在中，，，AD是BC的中线，．
(1)求证：
(2)是什么形状的三角形？请说明理由．
【培优检测】
1．（2022·广东深圳·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．72B．68C．75D．80
2．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则BF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2022·山东济宁·八年级期末）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C=72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC．正确的序号有（ ）
A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤
4．（2022年浙江省温州市中学自主招生模拟数学试题）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF·DE；④∠BDF＋∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD=AC，在AC上截取AE=AB，连接DE，BE，并延长BE交CD于点F，以下结论：①△BAC≌△EAD；②∠CBE=∠CDE；③CF=EF；其中正确的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
6．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB=80°，那么∠BAC等于________．
7．（2022·山东·武城县教育教学研究中心一模）如图，在四边形ABCD中，，，其中，那么______．
8．（2022·陕西延安·八年级期末）如图，在中，直线垂直平分BC交AC于点Q，BP平分交直线于点P.若，，则___________.
9．（2022·安徽宿州·八年级期中）如图，，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝________时，△POQ是等腰三角形．
10．（2022·青海·西宁市教育科学研究院八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是△ABC的高，动点P在线段AB上由A向B运动，速度为1cm/s；动点Q在线段BC上由B向C运动，速度为2cm/s．动点P，Q同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接AQ，交BD于点E．设点P的运动时间为t秒，当∠BPE＝∠BQE时，______秒．
11．（2022·广东中山·三模）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：．
(2)如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分．
12．（2021·湖南·常德市第七中学八年级期中）如图，中，，EF垂直平分，交于点，交于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若周长，，求长．
13．（2022·广东深圳·二模）如图，已知射线BC⊥AB，以AB为斜边作Rt△ABD，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，BF平分∠CBE交AE于点F．
(1)求证：BD＝DF；
(2)若AB＝2，以AE为边向下作∠AEG＝45°，交射线BC于点G，求BG的长．
14．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．

(1)如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求∠AFC的度数；
②若AD=5，CE=3，求AC的长
(2)如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE
15．（2022·河南平顶山·八年级期中）
(1)阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为，“宽臂”的宽度，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边满足，，三点在同一直线上且．
如图所示，下面以三等分为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线使，且这两条平行线之间的距离等于（说明：两条平行线中的一条直线上任意一点，到另一条直线的距离，就是这两条平行线之间的距离）；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点落在上，使勾尺的边经过点，同时让点落在的边上；
第三步：标记此时点和点所在位置，作射线和射线．
请完成第三步操作，图中的三等分线是射线________、________．
(2)在（1）的图中，过点做于点，根据（1）中第一步的操作可知，请你证明．