苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性教案设计

线段、角的轴对称性（2）教学设计

一、教学目标

1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理；

2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题；

3．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据；

4．经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．

二、教学重点

利用角的轴对称性探索角平分线的性质．

三、教学难点

理解“点在角平分线上”的证明方法．

四、教学过程

思考与探索一：

在一张薄纸上画∠AOB，它是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？

学生积极思考，动手操作，提出猜想，验证猜想，描述发现，明确结论．

得到结论：角是轴对称图形 ，角平分线所在的直线是它的对称轴.

设计意图：让学生动手操作，感知角的轴对称性，猜想对称轴的位置，为后续研究作铺垫，同时激发学生的学习兴趣．

思考与探索二：

角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？

如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？

通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．

学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：

1．利用“AAS”证明△ODP≌△OEP后，说明PD与PE相等．

2．利用角的轴对称性和基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，说明PD与PE相等．

得到结论：角平分线上的点到角两边的距离相等．

几何语言：∵OC平分∠AOB，P在OC上，

             PD⊥OA，PE⊥OB，

           ∴PD＝PE ．

设计意图：问题虽然比较简单，学生都能感受到PD与PE相等，但是要让学生进行推理说明还是有困难的，要提示学生从角平分线的定义入手，说明角相等，再结合证明两个角相等的思路，让学生寻找到演绎推理的过程，培养学生的动手能力和探索精神，为下面的证明积累经验．

交流：下面的两幅图中的PD和PE相等吗？

在上面的两个图，告诉我们：

不是随便在角平分线上找一点，随便在边OA上找一点D,和边OB上找一点E,总能得到PD=PE的.

可见：要想得到PD=PE,必须满足两个条件：

 (1)OC是∠AOB的平分线，点P在OC上； (2)PD⊥OA，PE⊥OB，

才能得出PD=PE，两者缺一不可．

练习：

如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，则下列结论：①∠DOP=∠EOP；②∠OPD=∠OPE；③PD=PE；④OD=OE中，正确的有          ．

思考与探索三：

如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？

如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？

通过上述探索，你得到了什么结论？

1．猜想角平分线性质定理的逆定理．

2．学生证明逆定理．连接OQ，利用HL证明三角形全等，继而得到OQ平分∠AOB．

3．学生讨论、归纳得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

设计意图：

1.教师提示问题，帮助学生利用类比学习法合理猜想，培养学生的逆向思维能力．

2.逆定理的证明，通过引导学生理解“点在线上”的证法基础上，明确辅助线，培养其分析问题和演绎推理的能力．

基础训练

1．如图1，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=5，则P点到OB的距离是      ．

2.如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，交AC于点F，

若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝     ．

      图1                     图2

3.已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上,DE⊥AB,F为AC上一点,且∠DFA=1000,则(     )

A.DE>DF    B.DE<DF      C.DE=DF    D.不能确定DE、DF的大小

例题精讲

例题1:任意画一个三角形ABC,作出∠A, ∠B的角平分线，两线的交点是点I,连接CI,CI是∠C的角平分线吗？

分析：由于AI、BI是∠A, ∠B的角平分线，所以我们可以过点I向角的两边作垂线，IE、IF、IG，根据角平分线的性质得到：IE=IF=IG,再根据角平分线性质定理的逆定理得到：I在∠C的角平分线上,从而CI平分∠C.

设计意图：本题是角平分线定理和逆定理的综合应用问题，需要学生灵活应用本节课的知识点，同时也培养了学生的说理能力和逻辑表达能力；让学生体会遇到角平分线常见的辅助线方法：向角的两边作垂线，进而得到两垂线段相等.

变式训练

有一块三角形的草坪，现在要在草坪上建一个凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（     ）
A.三条角平分线的交点处
B.三条中线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条边的垂直平分线的交点处

例题2:如图，已知 BD=CD，ED⊥BC交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，BM与CN相等吗？为什么？

分析：因为AE平分∠BAC，且EM⊥AB，EN⊥AC，得到EM=EN；由于ED是BC的垂直平分线，如果把EC、EB连起来，则EC=EB.要证明BM=CN,我们有很多种方法，其中一种就是借助于全等三角形，根据前面的分析我们可以用HL证明△ENC≌EMB,进而由全等三角形对应边相等得到CN=BN.

设计意图：本题把线段的轴对称性和角的轴对称性综合起来了，和学生们说明了见到角平分线要知道向角的两边作垂线，得到两垂线段相等，见到垂直平分线要知道过其上一点向线段两端连线，两连线段相等.

拓展提高

已知：如图，在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.

变式训练

已知：如图，在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.

总结

已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.

设计意图：一是强化见到角平分线常见的辅助线作法：向角的两边作垂线，得到两垂线段相等；二是让学生感受同一个题目，图形不同就会导致不同的结论,培养学生思考全面的习惯.

学习小结

同学们,通过本节课的学习，你有哪些收获？有哪些感受?请你谈谈.

1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．

2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系!